第25章 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系-【金牌导学案】2026-2027学年九年级上册数学课堂本课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系，通过求根公式推导韦达定理，衔接已学的一元二次方程解法，搭建从具体运算到抽象规律的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于采用分层检测设计，A基础练巩固公式应用，B级升级结合等腰三角形等实际问题，C培优引入“立格方程”新定义，培养学生推理意识与应用意识。讲练结合的教学方法让学生在实例中提升思维能力，教师可通过分层设计实现精准教学。

 第二十五章 金牌导学案 一元二次方程 金牌导学案 金牌导学案 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 2 课堂讲练 1 知识导学 3 分层检测 知识导学 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ， x1·x2＝ . （2）重要变形：① ＝（x1＋x2）2－2x1x2；②（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；③ 一元二次方程的根与系数的关系 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 1．设x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则 x1＋x2＝　　　　，x1·x2＝　　　　． 2 2．已知x1，x2是一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个根，则 x1x2＋x1＋x2的值为　　　　. 11 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 3．已知x1，x2是一元二次方程2x2－6x－1＝0的两个根，求下列各式的值： 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 4．已知x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，求下列各式的值： （1）（x1＋3）（x2＋3）. 　 （2）（x1－x2）2. 解：由条件得x1＋x2＝5，x1x2＝6. (1)(x1＋3)(x2＋3)＝x1x2＋3(x1＋x2)＋9＝6＋3×5＋9＝30. (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝52－4×6＝1. 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 5．已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 ＝9，求m的值． 解：(1)由题意得Δ＝(2m－1)2－4(m2－1)≥0，解得m≤ . (2)由条件得x1＋x2＝1－2m，x1x2＝m2－1.∵ ＝9， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝9.即(1－2m)2－2(m2－1)＝9.整理得m2－2m－3＝0.解得m1＝3，m2＝－1.由(1)得m≤ ，则m的值为－1. 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 6．已知关于x的方程x2－（2m－1）x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2. （1）求m的取值范围． 解：(1)由题意得Δ＝[－(2m－1)]2－4m2≥0，解得m≤ . （2）若（x1＋1）（x2＋1）＝3，求m的值． (2)由条件得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2.∵(x1＋1)(x2＋1)＝3， ∴x1x2＋x1＋x2＋1＝3.∴m2＋2m－1＋1＝3.解得m1＝1，m2＝－3. ∵m≤ ，∴m＝－3. 课堂讲练 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 1．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根为x＝1，则另一个根是（　　） A．x＝5 B．x＝4 C．x＝3 D．x＝2 2．设x1，x2是方程x2－x－2＝0的两个根，则4x1＋ x1x2＋4x2＝（　　） A．－3 B．－2 C．2 D．3 C　 C　 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 3．已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋（2m＋1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围． （2）如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1x2－x1－x2＞8，求m的取值范围． 解：(1)由题意得Δ＝62－4(2m＋1)＝36－8m－4＝32－8m≥0，解得m≤4. (2)由条件得x1＋x2＝－6，x1x2＝2m＋1. ∵2x1x2－x1－x2＞8，∴2(2m＋1)＋6＞8.解得m＞0. 由(1)可得m≤4，∴m的取值范围是0＜m≤4. 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 4．等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋2＋m＝0的两个实数根，求m的值． 解：当4为腰长时，将x＝4代入原方程得42－6×4＋2＋m＝0， ∴m＝6.∴原方程为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4. ∵2＋4＝6＞4，∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形． 当4为底边长时，关于x的一元二次方程x2－6x＋2＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(2＋m)＝0.∴m＝7. ∴原方程为x2－6x＋9＝0，解得a＝b＝3.∵3＋3＝6＞4， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形，综上，m的值为6或7. 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 5．已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2. （1）填空：x1＋x2＝　　　　，x1x2＝　　　　． （2）求 和x1＋ 的值． p 1 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 （3）已知 ＝2p＋1，求p的值． (3)由条件得x1＋x2＝p，x1x2＝1. ∵ ＝2p＋1，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1. ∴p2－2＝2p＋1.∴p2－2p－3＝0.解得p＝－1或p＝3. ∴一元二次方程x2－px＋1＝0为x2＋x＋1＝0或x2－3x＋1＝0. 当p＝－1时，Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，不合题意，舍去； 当p＝3时，Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，符合题意． ∴p＝3. 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 6．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1<x2<0，且3< <4，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程x2＋21x＋80＝0的两个根分别为x1＝－16，x2＝－5， ∵－16<－5<0，3< <4， ∴一元二次方程 x2＋21x＋80＝0为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 （1）判断一元二次方程 x2＋17x＋52＝0是否为“立格方程”，并说明理由． 解： (1)此方程为“立格方程”，理由如下： (x＋13)(x＋4)＝0，解得x1＝－13，x2＝－4， ∵－13＜－4<0，3< <4， ∴此方程为“立格方程”． 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 （2）若关于x的一元二次方程x2＋（3k－3）x＋k2－2＝0是“立格方程”，且两个根x1，x2满足x1＋x2－x1x2＝－23，求k的值． (2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝3－3k，x1x2＝k2－2， ∵x1＋x2－x1x2＝－23，∴3－3k－k2＋2＝－23, k2＋3k－28＝0. 因式分解，得(k＋7)(k－4)＝0, ∴k＝－7或k＝4. ∵x2＋(3k－3)x＋k2－2＝0是立格方程，将k＝－7代入得x2－24x＋47＝0，解得x＝ ，∵ ＞0，∴k＝－7不符合题意． 同理．当k＝4时，方程为x2＋9x＋14＝0，解得x1＝－2，x2＝－7， ∵－7＜－2＜0，且3＜ ＜4，∴k＝4符合题意． 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 （3）若关于x的一元二次方程x2＋（1－m）x－m＝0是“立格方程”，求m的取值范围． 分层检测 第6课时　一元二次方程的根与系数的关系 感谢聆听 19 $