25.3实际问题与一元二次方程（第2课时 病毒传染、平均下降率问题）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心讲解病毒传播模型（a(1+x)^n=b）与平均下降率模型（a(1-x)^n=b）。通过传染病传播实例导入，知识回顾列方程六步法作为学习支架，衔接旧知与动态变化问题的建模过程。 其亮点是以公共卫生、经济生活情境为载体，通过“情境观察—动态分析—模型归纳”培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理运算）、数学语言（公式表达），如病毒传播从1人到多人的变式探究，平均下降率中绝对与相对变化的对比。课堂小结系统梳理模型、思想与易错点，助力学生提升建模能力，教师可高效实施情境化教学。

25.3实际问题与一元二次方程 第2课时 病毒传播、平均下降率问题 第二十五章 一元二次方程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理方程根. 经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力. 通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心. 01. 审 — 审清题意 仔细读题，圈画出已知条件和未知量，厘清题目中的数量关系，这是解题的基础。 02. 设 — 巧妙设元 根据题意，合理选择未知数并用字母（通常是 x）表示，设元要便于后续列方程计算。 03. 列 — 列出方程 找出题目中的等量关系，把语言描述转化为数学式子，建立方程模型，这是解题的核心。 04. 解 — 求解方程 运用等式的性质或解方程的方法，求出未知数的值，计算过程要细心，避免计算错误。 05. 验 — 检验结果 将解代入原方程检验是否成立，并结合实际问题，检查结果是否符合现实意义。 06. 答 — 写出答案 完整、规范地写出最终答案，包括单位和必要的文字说明，确保解题过程的完整性。 知识回顾 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 导入新课 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 共121个人 …… …… 平均1个人传染了多少个人？ 新知探究 探究点1 病毒传播问题 议一议 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ （1）审题梳理： 未知数： . 等量关系： . （2）规范设元： . 设每轮传染中平均一个人传染x个人； 初始患病人数1人，经过两轮完整传染，总人数121人 每轮传染中平均1个人传染的人数 第一轮后总患病人数： . （3）分析数量变化 1+x 第二轮新增被传染人数： . x(1+x) 两轮结束后总患病人数： . 原有患者+两轮新增患者 (1+x)+x(1+x)=(1+x) （4）建立方程： . (1+x)=121 新知探究 探究点1 病毒传播问题 议一议 规范解答 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染的人数为x人，由题意可得： 1+x+x(1+x)=121 整理方程得： (1+x)=121； 1+x =±11 解得： 经检验：传染人数不能为负数， ∴ 不合题意，舍去 直接开平方法 答：每轮传染中平均1个人传染了10个人 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 新知探究 探究点1 病毒传播问题 议一议 如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人被传染？n轮后呢？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源 新增的被传染人数 本轮结束被传染的总人数 第一轮 1 1·x = x (1+x)1 第二轮 1+x (1+x)·x 第三轮 第n轮 (1+x)n (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 经过三轮传染后共有 (1+10)3=1331（人）被传染. 经过n轮传染后共有__________个人被传染. (1+10)n 新知探究 探究点1 病毒传播问题 归一归 数量关系： 第一轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)； 第二轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)2； 第三轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)3； 第n轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)n； 传播问题：数量 b= a×(1+x)n 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. a(1+x)n=b a为传染源数量 x为每轮平均1个传染源传播的数量 n为传播的轮数 b为现有传染后感染总量 新知探究 探究点2 平均下降率问题 议一议 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ （1）甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？ 甲种食品成本年平均下降额是： （10000-6000）÷2=2000（元）， 乙种食品成本年平均下降额是： （12000-7200）÷2=2400（元）. 乙种食品成本年平均下降额大 （2）平均下降额与下降率有什么不同？ 平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值 新知探究 探究点2 平均下降率问题 议一议 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） （3）下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？ 新知探究 探究点2 平均下降率问题 议一议 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ （4）怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较⼤? 可以分别求出两种食品品成本的年平均下降率，再进行比较. 设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 甲的初始成本 一年后的成本 二年后的成本 10000 10000(1–x) 10000(1–x)2 可列方程： 10000(1–x)2=6000， 新知探究 探究点2 平均下降率问题 议一议 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x .由题意可得： 10000(1–x)2=6000 解方程，得： x1≈0.225，x2≈1.775.（不合题意舍去） 根据问题的实际意义，下降率不可为负，且不大于1. 答：甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ (1–x)2=0.6 规范解答 新知探究 探究点2 平均下降率问题 议一议 解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 依题意，得 12000(1–y)2=7200， 解方程，得： y1≈0.225，y2≈1.774.（不合题意舍去） 答：乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 同理计算乙种食品成本的年平均下降率 (1–y)2=0.6 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 结论： 两种食品成本的年平均下降率相等. 结 小 纳 归 议一议 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 新知探究 探究点2 平均下降率问题 （6）年平均下降额大，平均下降率就大吗？ 年平均下降额大，平均下降率不一定大 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示下降的幅度，是相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 新知探究 探究点3 传播问题、下降率变式提升 归一归 关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则 一次增长后的值 两次增长后的值 … n 次增长后的值 列方程 a(1+x) a(1+x)2 … a(1+x)n a(1+x)n=b 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 一次下降后的值 两次下降后的值 … n 次下降后的值 列方程 a(1－x) a(1－x)2 … a(1－x)n a(1±x)n=b 讨论•交流 探究点3 传播问题、下降率变式提升 议一议 某种传染病的传染速度很快.如果开始有2个人被传染，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数. 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 第一轮传染后有 人被传染. 第二轮传染中的传染源为 人， 第二轮传染后有 人被传染. 根据等量关系 “ ” 列出方程 . 整理方程 . 2x+2 x（2x+2） 2x+2+x(2x+2) 两轮传染后，有288人被传染 2x+2+x(2x+2)=288 2(1+x)2=288 审题梳理 讨论•交流 探究点3 传播问题、下降率变式提升 议一议 某种传染病的传染速度很快.如果开始有2个人被传染，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数. 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.由题意可得： 规范解答 2(1+x)2=288 (1+x)2=144 1+x=±12 解得： （不合题意舍去） 答：每轮平均每人传染11人 开始有a个人被传染 经过一轮传染总人数a（1+x）人 平均每轮每人传染x人 经过二轮传染总人数a（1+x）²人 平均每轮每人传染x人 讨论•交流 探究点3 传播问题、下降率变式提升 练一练 某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每年增长的百分率. 解：设平均每年增长的百分率为 y . 依题意，得 ：50(1+x)=98 (1+x)=1.94 解方程，得 y1=0.4，y2 = -2.4.（不合题意舍去） 答：每年增长的百分率为40%. 你解对了吗？ 典例分析 例１.春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 解：设每人每轮传染的人数为x人， 由题意得，， 解得： 或（舍去）， 答：每轮每人传染的人数为15人． 设每人每轮传染的人数为x人， 则第一轮传染后有人患病， 第二轮传染后有人患病， 【分析】 典例分析 例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元．求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率． 解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为． 例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为___________件； (2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （1）解：由题意，得：（件）； 典例分析 （2）设每件商品降价元，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， ∵让顾客更实惠， ∴应降价20元； 答：每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 新知巩固 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得： 1+x+x2=91， 解得 x1=9，x2= –10（舍去）. 答：每个支干长出9个小分支. 树干问题中的基本数量关系： 树干问题中主干长出n个支干， 第二轮主干不再分支， n个支干进行分支， 第二轮有n2个支干， 总共有(1+n+n2)个支干. 教材第22页 新知巩固 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000 kg，两年后平均每公顷产 18000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位） 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，得 ：15000(1+x)2=18000. (1+x)2=1.2 解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去）， 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%. 教材第22页 拓展提升 1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%． 拓展提升 1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （2）解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元， 每天可售出元，依题意得： ， 整理得： ， 解得： ． 又 ∵要尽快减少库存， ∴． 答：每千克应涨价5元． 真题感知 1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨， 三月份生产钢铁560（1+x）2吨， 又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨， ∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860． C 真题感知 2．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． B 真题感知 3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125(1－x)2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； 真题感知 3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． （2）设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品， 根据题意得： (125－25×2)y＋80(100－y)≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 分析：设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品， 进货总价＝进货单价×购进数量， 进货总价 ≤ 7800元， 知识与技能 （1）流感传播模型： 掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数(1+x)，初始多人可灵活套用a(1 +x) 2=b；明确总人数为正整数，需合理验根. （2）平均下降（增长）率模型： 熟记连续两次下降（增长）通用公式a(1 -x) 2=b，可应用于降价、减产、减排（涨价、增产、增排）等所有等量衰减（增加）问题. （3）通用技能： 熟练掌握一元二次方程应用题审、设、列、解、验、答六步规范，能根据人数、百分率、数量的实际取值范围取舍方程根. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二次方程数学模型. （2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静态. （3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始1人与初始多人传播模型，归纳通用规律，构建系统化知识体系. （4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数；死记公式，不会变通初始人数不为1的题型；忽略人数为正整数，不舍去负根. （2）下降率问题误区：增长、下降公式混用，下降率误用(1+x)列式；忘记百分率取值范围（0＜x＜1），保留不合理根. （3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；解题步骤残缺，无检验、无完整作答；计算平方项时出现运算错误. 课后练习 4. 2022年我国快递业务量是1105.8 亿件，2024 年增至1750.8 亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成a% 的形式，其中 a 保留小数点后一位）？ 解：设这两年的年平均增长率为 x .由题意，得： 1105.8(1+x)2=1750.8， 解方程，得： x1≈-2.258（不合题意，舍去），x2≈0.258. 答：这两年的年平均增长率为 25.8% . 习题 25.3 教材p24页 课后练习 7.如图，要为长 22cm，宽 29cm 的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位） 解：设相框边的宽度为 x cm. 根据题意，得： (29+2x)(22+2x)–22×29= ×29×22. 整理，得 ：8x2+204x–319=0， 解得 ：x1≈1.5，x2≈ –27.0（不合题意，舍去）. 答：相框边的宽度约是 1.5 cm. 习题 25.3 教材p24页 课后练习 8.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，且比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 解：设直角三角形的斜边长为 x，则直角边长分别为(x–1)，(x–8). 由题意，得：(x–1)2+(x–8)2=x2， 解方程，得：x1=13，x2=5（不合题意，舍去）. 答：这样的直角三角形只有1个，三边长分别为5，12，13. 习题 25.3 教材p24页 谢谢聆听 $