构造函数解决导数不等式问题专项训练——2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以构造函数为核心方法，系统训练导数不等式问题，通过题型分层与方法提炼，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础构造|5题|指数型（e^x）、多项式型辅助函数构造|导数与单调性关系→构造函数→比较函数值| |综合应用|4题|奇偶性构造、恒成立问题转化|函数性质（奇偶性）→构造对称函数→解抽象不等式| |创新拓展|1题|同构变形与参数分离|复杂不等式→同构转化→构造新函数求最值|

构造函数解决导数不等式问题——2027届高三数学一轮复习 一、单选题 1．已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得极大值 C．存在唯一的实数使得 D． 2．定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在R上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（    ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 三、填空题 10．若时，恒有成立，则实数的取值范围是________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《构造函数解决导数不等式问题——2027届高三数学一轮复习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B D B A B B A ABD 1．C 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B不正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D不正确. 2．B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 3．D 【分析】通过构造辅助函数，根据导数与单调性关系得到在R上单调递增，结合单调性逐项判断即可. 【详解】令，则， 因为，所以，所以在R上单调递增. 又，所以. 对于A：当时，，A错误. 对于B：，即，又，所以. 故，B错误. 对于C：，即，又，所以. 故，C错误. 对于D：，即，又，所以. 又，所以，D正确. 4．B 【分析】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 5．A 【分析】通过观察已知条件，构造新函数，通过分析的奇偶性和单调性得出结论. 【详解】定义函数，则， 由题意，当时，，即， 当时，有，故，即在上单调递增， 由于是偶函数，则也是偶函数，因此在上单调递减， 由于，所以， 代入不等式，可化简为， 由的单调性，得，解得或， 即的解集为，故A正确. 6．B 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 7．B 【分析】构造函数，进而结合题意得函数在上单调递增，进而得恒成立，只要，求解函数的最大值即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设， 则在上单调递增. 求导得， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B 8．A 【分析】同构变形得到，设，故，构造函数得到在上恒成立，故只需在区间上单调递增，求导，得到当时，在区间上恒成立，从而得到答案. 【详解】不等式可化为，设， 则不等式满足， 设，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以在上恒成立， 故要不等式解集为， 只需在区间上单调递增，而， ，故，即，其中，， 故当时，在区间上恒成立， 所以实数的取值范围为. 故选：A． 9．ABD 【分析】对于A：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于B：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于CD：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性比较大小. 【详解】对于选项A：设， 因为，则， 可知在上为增函数，且， 不等式等价于， 即，可得， 所以的解集为，故A正确； 对于选项B：设，则， 因为，则，可知在上为增函数， 又因为，则， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项CD：因为，则， 因为，则， 可知在上为增函数，故C错误； 可得，即， 所以，故D正确． 10． 【分析】先对已知不等式进行等价变形，构造常数函数并求导，进而转化不等式为，令，求导并分析函数单调性，利用零点存在定理得出，进而讨论求解． 【详解】已知时，恒有， 原式等价于， 令，构造辅助函数， 求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，即为最小值，故， 不等式变形为， 令，求导得，单调递增， 时，，时，， 则存在使得， 当时， ，，， 对任意恒成立； 当时，记，， 则，，由得，与矛盾； 综上． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $