函数与导数：参变分离法与构造函数参变解决函数恒成立问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数恒成立问题，通过参变分离与构造函数双方法体系，系统整合知识逻辑，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参变分离法|3例+3变式|恒成立求参数范围、整数最值|从参数分离到函数最值的转化逻辑| |构造函数法|3例+3变式|不等式恒成立、极值与切线综合|参数融入函数的性质分析与推理链条|

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：参变分离法与构造函数参变解决函数恒成立问题专项训练 考点目录 参变分离法解决函数恒成立问题 构造函数参变解决函数恒成立问题 考点一 参变分离法解决函数恒成立问题 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)时，求的单调区间； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，，求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间； （2）分离参数，构造函数，转化为函数的最值. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，恒成立， 即，整理得，在上恒成立. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此时，取极小值，也是最小值. ，所以， 即实数的取值范围为. 例2．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数 (1)若对任意的，且，总存在，使得成立，求实数的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得最小值为2，转化为 ，即，设，转化为恒成立，结合一次函数的性质，即可求解； （2）先转化为恒成立，令，利用导数得出的单调性和最小值，进而求得整数的最大值. 【详解】（1）解：设函数，可得函数在区间上单调递增， 所以， 不妨设，可得， 因为总存在，使得 成立， 即 ，可得， 设，则，即函数单调递增， 又由，可得， 则，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令 ，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：当时，，不等式 ，即为， 不等式即为在上恒成立， 令，则， 再令，可得，所以单调递增， 又由，，所以在上存在唯一的零点， 故在上存在唯一的零点，设此零点为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由，可得，所以 ， 因为恒成立，即为，所以 所以整数的最大值为． 例3．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）设. (1)求的最小值； (2)对于，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值； （2）先化简设新函数，并用导数研究其单调性，在上单调递增，在上单调递减，分离参数即可求得参数的范围. 【详解】（1）的定义域为，， 令，可得，令，可得， 故在单调递减，单调递增. 即在处取得最小值. （2）由题可知，对恒成立. 设， 令在单调递减， 故，故在单调递减，而， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故.则.又因为 因此的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增. (2)整数的最大值为2. 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断函数单调性； （2）参变分离可得，构建，只需证，利用导数求其最值，并结合零点代换分析求解. 【详解】（1） 当时，，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，即， 化简得， 因为，所以，即. 下证在上恒成立， 令，只需证. ，令，则， 因为，所以，所以单调递增， ，， 所以存在，使得， 即当，，，单调递减； 当，，，单调递增； 所以 ， 因为，所以，所以， 所以整数的最大值为2. 【点睛】参变分离：含参不等式问题一般采用参变分离解决，具体步骤是先将含参不等式等价转化为或的形式，然后求的最大值或最小值，得出的取值范围. 变式2．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，，（）． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，方程恰有两个解，求m的取值范围； (3)若对，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，计算求得、，即可求解； （2）当时，，求导，求得函数的单调性，方程恰有两个解，则与有两个交点，数形结合即可求解； （3）根据题意将原不等式转化为，令，求导得，令，利用导数研究函数的性质，结合零点的存在性定理可得函数的单调性，求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 当，，当时，且， 作出的图象如图所示： 若方程恰有两个解，则与有两个交点， 所以，所以m的取值范围为； （3）当，则不等式转化为， 设，则， 令，则， 当，由，所以函数在上单调递减， 又，， 所以函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在单调递减， 当时，，，在单调递增， 所以，又， 得，则， 即，所以，即实数的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数． (1)当时，求证：恒成立； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，， 则，且的定义域为， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 得到恒成立. (2) 【分析】（1）利用导数判断的单调性，进而求出其最值，证明不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法得到，再构造，利用导数求解的最大值，再求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）若恒成立，则恒成立， 得到恒成立，易得， 故恒成立，令， 得到恒成立，令，则恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 则，即. 考点二 构造函数参变解决函数恒成立问题 例1．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将原不等式化简可得，则构造函数可得，结合范围及单调性计算可得，再计算范围即可得. 【详解】（1）当时，，则， ，又， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由题意可得在时恒成立， 则 ， 则，即有， 令，则， 即有对任意恒成立， ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则， 当时，，则， 则当时，有对任意恒成立， 当时，若，则； 综上可得，则对任意恒成立， 当时，，又在上单调递增， 则，则. 例2．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在上为减函数， ，令，讨论 的性质可得实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数定义域为， 且， 因为，当时，为减函数； 当时，为增函数； 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； （2）不防设， 由，可得， 即， 即函数在上为减函数， 由， 所以在上恒成立，也就是， 令， 恒成立， 所以当时，为减函数， 的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围. 例3．（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导，并通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）由题意可得函数在上单调递增，等价于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范围即为答案. 【详解】（1）的定义域为， 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减. （2）设，由得 即. 设，则在上单调递增， ∴在上恒成立， 则在上恒成立， 设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，则 则实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； (2) 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间； （2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2）若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. 变式2．（25-26高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，其中. (1)证明：当时，； (2)若时，有极小值，求实数的取值范围； (3)对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【详解】（1）略 （2）因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数. (1)求过原点的切线方程； (2)已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入即可得答案； （2）令，将原不等式恒成立转化为，根据的符号合理分类讨论. 【详解】（1）因为，设切点为， 所以切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程解得，故切线方程为； （2）令， 则原不等式即为， 又，且， 若时，则， 再令且， 因为，，而，故（当且仅当时等号成立）， 所以在上为增函数，所以， 此时不等式恒成立即恒成立. 当时，，则， 设， 则当时，有即在上单调递增， 若，则，有恒成立， 故在上单调递减，故，不合题意； 若，则存在，使得， 故，，有恒成立， 故在上单调递减，故，不合题意； 综合上述，实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：参变分离法与构造函数参变解决函数恒成立问题专项训练 考点一 参变分离法解决函数恒成立问题 考点目录 参变分离法解决函数恒成立问题 构造函数参变解决函数恒成立问题 f(x)=ax-2e* 例1.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨期末)已知函数 ①a=4时，求/儿冈的单调区间： 2当xe(0,+w）时，若f()≤-2 恒成立，求实数“的取值范围. 例2.（25-26高三上黑龙江佳木斯阶段检测)已知函数（闪=(-m)e,m∈R f(x)-f()za+la+1-3 (①)若对任意的￥≠，且，∈(2m,+),总存在a∈B,],使得e-e 成立，求实数m的 取值范围 ②若m为整数，当x>0时，f(>-1-m 恒成立，求m的最大值： 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(2526高三上河南信阳阶段检测)设()=x+x )求四的最小值： (②对于xeo),有∫)≤ae2恒成立，求实数a的取值范围 变式1.(2526高三上·福建龙岩阶段检测)已知函数()=(r+ar-e'(a∈R) )讨论()的单调性： ②当0=2时，f<--3》在+)上恒成立，求整数产的最大值 2 2027届高三数学一轮复习专项训练 f(xr)=+Ix g(x)-ae 变式2.(25-26高三上北京顺义·阶段检测)已知函数 x x,h(x)=g(x)-f(x)(aER). ()求曲线y=fx)在，f》处的切线方程： (2)当a=1时，方程g(=m恰有两个解，求m的取值范围； ③法对1)≤1-x恒成立，求a的取值范围 变式3。（2526高三上江苏徐州阶段检测)已知函数/（四=a(x-1)-血(r-1)+1(a∈R) (1)当a=。时，求证：f(x)≥1恒成立： 2若/（小2x 恒成立，求“的取值范围. 2027届高三数学一轮复习专项训练 考点二 构造函数参变解决函数恒成立问题 例1.(2526高三上重庆渝北阶段检测)已知函数/()ae-x(a>0) 0)当0=2时，求曲线=f网在点0，f0》处的切线方程 ②)若0<x<1不等式f(c)小hx<xh+r恒成立，求。的取值范围 例2.（2526高三上福建福州阶段检测)已知函数1)-心 ①若a>0,求/( 的单调区间； f(x)-f(s<2 2)若对x,七∈1,3]，x≠x2都有x-为 恒成立，求实数a的取值范围. 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(2025山西晋中模拟预测)已知函数 =2ah+号-a+2aeR ()讨论的单调性， f(x)-f(x2)>1-a (2)若x-x2 对任意两个不相等的正实数，x2恒成立，求a的取值范围， 变式1.(25-26高三上吉林长春阶段检测)已知函数f(x)=r-hx-1,a∈R. (1)求函数(x)的单调区间； (2)若不等式)≥a(r+x-1 恒成立，求实数a的取值范围。 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(25-26高三上·黑龙江大庆阶段检测)已知函 f)=e-alh(x+),g(=sinr-x,其中aeR 1)证明：当xc[0,+w)时，8（≤0 ②四若x>0时，有极小值，求实数“的取值范国， （6)对任意的c[0,],2[/()-≥g'(恒成立，求实数a的取值范围 变式3。（252ó高三上·四川绵阳阶段检测)已知函数()=e ①求儿过原点的切线方程： (2已知对任意的r≥0，都有不等式f()e-ar+1≥2si 恒成立，求实数a的取值范围 6