四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学专练：用空间向量研究距离，夹角问题

**基本信息** 以空间向量坐标法为核心，系统训练距离与夹角问题，通过建系、求向量、用法向量实现几何问题代数化，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |距离问题|5题（点面、异面直线等）|坐标法求法向量，向量投影公式|空间向量概念→法向量求法→距离公式应用| |夹角问题|6题（线线、线面、面面）|向量夹角公式，法向量夹角转化|向量数量积→夹角公式→空间角计算| |综合应用|4题（动态、多命题判断）|坐标系构建技巧，多知识点整合|距离与夹角综合→空间几何性质应用|

高2023级2024年秋期数学课时作业（15） 用空间向量研究距离，夹角问题（1） 一、单选题 1．已知，则点O到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为3，点分别在棱上，且，，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为；④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则平面与平面所成的角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 7．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是 A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 10．已知，，平面，则（    ） A．点到平面的距离为 B．与所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 11．下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 三、填空题 12．平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为 . 13．已知，，，则点到直线的距离为 . 14．在棱长为的正四面体中，为上的一点，且，为的中点，则点A到平面的距离为 ． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，平面，，，且，． （1）证明：． （2）已知在线段上，且平面，求二面角的大小． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【详解】，设平面ABC的法向量为， 则， 令得，，故， 故点O到平面ABC的距离为. 故选：A 2．B 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：B 3．B 【详解】①：建立如图所示的空间坐标系，则， 所以，， 因为，所以，即异面直线与垂直；故本命题正确； ②：取的三等分点为，使，又， 且四边形为平行四边形，则且， 取的三等分点为，使，所以且，于是且， ∴四边形为平行四边形，， 取的中点为G，连接， 又 ，则四边形即为所求截面， 由题意知：，故本命题不正确； ③：，又面， 所以，故本命题正确； ④：取的三等分点为，使，取的三等分点为H，使，，则面即为所求的截面， ， ， 所以平面， 由已知条件得，， 等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故本命题正确. 故选：B. 4．C 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 5．D 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 6．B 【详解】因为四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形， 所以这个六面体是四棱柱，由题意可知，，两两垂直，以点为原点建系如图， 则，，，， 则，， 根据题意可知平面，所以，即为平面的一个法向量， 设为平面的法向量， 则 取，则，， 则为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面所成的角为45°， 故选：B． 7．A 【详解】因为平面，且为正方形， 如图建立空间直角坐标系，则、、， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以. 故选：A    8．C 【详解】，且， 平面， 易证平面，则与平面所成角为， ， 当取得最小值时，取得最大值 在等腰中， 当为的中点时，取得最小值. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即 令，得. 因为，所以与平面所成角的正弦值为. 故选：C 9．BD 【详解】对于A, 到侧棱的距离等于, 到侧棱的距离相等且等于,故A错误； 对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有, 即，所以外接球的体积等于，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则, 因为，所以, 所以，，, 所以，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D,由以上知，设平面的法向量为， 则有，, ,即，令则， 所以， 因为,所以点到平面的距离为，故D正确. 故选:BD. 10．CD 【详解】因为平面，所以是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，故A错误，C正确； 与所成角的余弦值为，正弦值为，B错误. 与平面所成角的正弦值为，D正确. 故选：CD 11．AC 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 12．或 【详解】设，， 则， ∴.因平面与平面所成的角与相等或互补， 所以与所成的角为或. 故答案为：或 13． 【详解】解：,, 在的投影为， 点到直线的距离为, 故答案为：. 14．/ 【详解】取BC中点E，连接AE，交BN于点O，连接DO， 四面体ABCD是正四面体，N，E分别为AC，BC中点， 为等边的中心，且平面ABC， 以N为坐标原点，分别以NB，NC所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，其中DO平行于轴，    在棱长为的正四面体ABCD中，M为AD上的一点且，N为AC中点， ， ， ， ， 设，则， 解得， ， 设平面BMN的法向量， 则，取，得， 又，点到平面BMN的距离． 故答案为：． 15．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）因为在底面中，，，且， 所以，，则满足,可得， 因为平面，所以，又由，所以平面， 又因为平面，所以． （2）连接交于点， 由平面，且平面交平面于，可得，则， 又因为，所以，即． 取的中点，则，，三条直线两两垂直， 分别以直线，，为轴建立空间直角坐标， 且由1知是平面的一个法向量， 又由， 设是平面的一个法向量， 则，不妨设，则． 所以 所以二面角的大小为． 答案第10页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $