空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦线面角与二面角逆向求解，通过多样化几何体情境训练空间向量工具的综合应用，培养空间观念与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知线面角求其他量|6题（3例+3变式）|含折叠/柱/锥/台几何体，涉及存在性判断、长度计算、面面夹角|空间向量法与线面角概念结合，从几何直观到向量坐标运算的推导应用| |已知二面角求其他量|6题（3例+3变式）|含翻折/直棱柱/四棱锥情境，涉及参数求解、体积计算、点位置确定|二面角与法向量夹角关系的转化，体现空间形式与数量关系的逻辑联结|

空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 例2．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 例3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 变式2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，四边形是矩形，，是的中点，. (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 例2．（25-26高三下·河南·开学考试）如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·四川广安·期末）如图，直棱柱的底面是菱形，其中，又点分别在棱上运动，且满足：．    (1)求证：四点共面； (2)若分别是中点，．求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由． 变式1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图1，在矩形中，，，是的中点，把沿折起至的位置，变成如图2所示的四棱锥. (1)设是的中点，证明：平面. (2)设，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量问题、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 例2．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，再结合条件以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知、、两两相互垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1），得平面，又、平面，，， 又，、、两两相互垂直． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则、、、， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，． 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ． 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 例3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 变式2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，四边形是矩形，，是的中点，. (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 底面，平面，. 又底面为矩形，所以. 平面，， 平面. 平面，. 又，为的中点，. 又平面，， 平面. 又平面，. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定性质把问题转化为证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又，平面，， 所以平面， 所以即为与平面所成的角. 由，，则. 又平面，平面，则， 在中，，，则， 所以. 由，则. 由，则. 以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以. . 设平面的法向量为， 则，，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又平面的法向量可取. 设平面与平面所成的角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 证明：如图： 取中点，连接，， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. (2)存在，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取中点，先证平面，再通过线面垂直得到线线垂直. （2）先根据台体的体积公式求台体的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量和线面角的正弦值求点的坐标，确定点位置. 【详解】（1）略 （2）设中点为，连接，则. 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面. 又底面，所以，， 又，所以两两垂直. 故可以为原点，所在的射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 又，所以，. 所以， 由. 所以，，， 设（）. 则，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 由， 所以或（因为，故舍去）. 此时与点重合. 所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． (2)或 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 例2．（25-26高三下·河南·开学考试）如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：因为，所以，， 因为，且平面，所以平面． 又平面，所以. 由题意易知，又，， 所以，则． 又，且平面， 所以平面． (2)在线段上存在点使得平面和平面的夹角的余弦值为，且此时 【分析】（1）由线面垂直得到，由勾股定理逆定理得到，由线面垂直的判定定理判断即可. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，结合向量法求面面角列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，则，， 由（1）易证平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，故两两垂直． 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以． 易知，所以，又，，， 所以． 设，. 设平面的一个法向量， 则，即，令，得，，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍去），此时， 所以在线段上存在点使得平面和平面的夹角的余弦值为，且此时． 例3．（25-26高二上·四川广安·期末）如图，直棱柱的底面是菱形，其中，又点分别在棱上运动，且满足：．    (1)求证：四点共面； (2)若分别是中点，．求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图，      在棱CP、DQ分别取点M、N，使得，连接，易知四边形MNQP是平行四边形， 所以，连接，则，且所以四边形ADNE为矩形，故， 同理，且，故四边形FMNE是平行四边形， 所以，所以，故四点共面． (2) (3)不存在，理由如下： 仍建立（2）中的空间直角坐标系，设， 因为，， 则，，， 平面EFPQ中向量，， 设平面EFPQ的一个法向量为， 因为，则，取，可得其一个法向量为， 平面BPQ中，，， 设平面BPQ的一个法向量为，因为， 则，取，所以其中一个法向量， 若， 则，即有， 解得，所以不存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为． 【分析】（1）在棱CP、DQ上分别取点M、N，使得，进而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，结合点到平面的距离，求出三棱锥的高，再进一步结合三棱锥体积公式求解即可； （3）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，再根据二面角的计算方法分析是否存在某种情况使得二面角的余弦值为即可． 【详解】（1）略 （2）以点O为原点，以OA为轴，以OB为轴，轴过且平行于，如图建系，    由，可得各点坐标， ，，，，，，， 已知、分别是、的中点，所以，， 由，得，，故， 所以，又， 所以等腰三角形的面积为， 又，， 设平面PQF的法向量为，因此， 所以，取，可得，又， 所以B点到平面PQF的距离为， 则． （3）略 变式1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：因为分别为的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在实数，转化为平面和平面的夹角的余弦值为，由（2）得，得到，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. （3）解：假设存在实数，使得平面和平面的夹角的正弦值为， 即使得平面和平面的夹角的余弦值为， 由（2）得， 所以， 由平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则有， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以存在，即，使得平面和平面的夹角的正弦值为. 变式2．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，N为棱BC的中点，， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD平面， 所以平面ABCD， 平面，. (2)存在，. 【分析】（1）由线面垂直判定定理推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在直角梯形中，取的中点为， 易知，，， 则四边形是正方形，故. 在中，. 在中，，，. 又因为平面平面，且平面平面， 平面，故平面， 连接，， 则，故平面， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因，则，，，， 于是， 易知平面的一个法向量为. 假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为. 不妨设（），则， 设为平面的一个法向量， 则 ，. 从而， 解得或（舍去） 由题知二面角为锐二面角. 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为， 此时. 变式3．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图1，在矩形中，，，是的中点，把沿折起至的位置，变成如图2所示的四棱锥. (1)设是的中点，证明：平面. (2)设，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 取的中点，连接，. 因为是的中点，是的中点，所以，且. 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面平面，所以平面. (2)存在，或，理由如下： 解：设的中点为，连接，. 因为，所以. 因为，，， 所以. 又，，所以，则. 因为，所以平面. 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，（），由， 得，，则. ，， 设平面的法向量为， 由得 令，得. 设平面的法向量为， 由得 令，得. 所以. 由，化简得，解得或， 所以存在点，且当或时，平面与平面夹角的余弦值为. 【分析】（1）取的中点，连接，.通过四边形是平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $