四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周考13

**基本信息** 涵盖直线、圆、向量、概率统计、立体几何、圆锥曲线等核心知识，非选择题如统计概率情境题、抛物线定值证明、立体几何动态问题，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|直线倾斜角、复数运算、圆外切、向量投影等|基础概念辨析，如第6题中位数不变性考查统计量理解| |多选|3题15分|概率事件关系、双曲线性质、正方体轨迹|多角度辨析，如第11题正方体动态轨迹考查空间观念| |填空|3题15分|向量垂直、圆半径、抛物线焦点弦|简洁计算，如第14题抛物线焦点弦与向量关系| |解答|6题70分|统计概率、解三角形、抛物线定值、立体几何空间角、轨迹方程与面积最值|综合应用，如17题抛物线与向量结合证明定值，19题轨迹方程选择与面积最值，体现逻辑推理与数学建模|

泸州市高2022级高二上学期末统一考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 1、 单项选择题： 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 2i B. 4i C. 1 D. 2 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 或2 4. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题： 9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互对立事件 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到l的距离为1 B. 若，则的面积为1 C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D. 若直线PA，PB斜率分别为，则 11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形 D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P的平面截该正方体所得截面为六边形 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题： 12. 已知向量，，，若，则实数______． 13. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 14. 过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为______． 四、解答题： 15. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数； （2）为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 抛物线上的点到C的准线的距离为5． （1）求C的方程； （2）已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 18. 在正方体中，E为的中点，F为直线上的动点． （1）若，求平面AEF与平面的夹角的正切值； （2）若，P为底面ABCD的中心，当点P到平面AEF的距离为时，求线段CF的长． 19. 已知为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线． （1）请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线的方程． ①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为： ②已知点是圆上任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点； 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． （2）延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，求面积的最大值． 数学答案 1. 【答案】B 【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为， 则，，所以. 故选：B 2. 【答案】D 【详解】， 故． 故选：D． 3. 【答案】B 【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，即； 由两直线平行可得，解得或； 经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去； 所以可得. 故选：B 4. 【答案】B 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆,其圆心坐标，半径. 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距. 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 5. 【答案】A 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 6. 【答案】A 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ③ 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 7. 【答案】C 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 8. 【答案】C 【详解】 由已知得，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：C 9. 【答案】BD 【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误 对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确 对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误 对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确 故选：BD 10. 【答案】ABD 【详解】A.设点，，其中，点到的距离，故A正确； B.若，则， 则，其中， 则，得， 所以的面积为，故B正确； C.若直线的倾斜角为，则，得， 则其实轴长为，故C错误； D.设，，， ，故D正确. 故选：ABD 11. 【答案】ACD 【详解】对于A：连接，如图所示， 在正方体中，，可得四边形为平行四边形，所以， 由平面，平面，所以平面， 同理可得平面， ，平面， 平面平面， 若直线平面，则点P的轨迹线段，长度为，故A正确； 对于B：取的中点，连接， 设交于点O，如图所示， 在正方形中，，， 所以，所以，即； 又分别中点，所以平面， 又平面，所以； 因为，平面，所以平面， 因为，所以点P的轨迹线段，其长度为2，故B不正确； 对于C：延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图所示， 直线与直线分别交于点，连接与交于点， 连接与交于点，连接， 五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，故C正确. 对于D：点P在棱BC上，过点作的平行线，与相交于点， 连接与相交于点，连接与相交于点，连接，如图所示， 六边形即为过E，F，P的平面截该正方体所得截面，故D正确. 故选：ACD 12.【答案】 【详解】由，可得， 所以， 解得. 故答案为： 13.【答案】 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 14.【答案】8 【详解】抛物线的焦点，显然的斜率不为0，设直线， 联立 ，得，， ，， 则，， ，， ， 解得：，所以， . 故答案为：8 15. 【答案】（1）85 （2） 【解析】 （1） 由题意可知，，得， 前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以第85百分位数在第4组，设为， 则，解得：， 所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85； （2）由于，和的频率之比为， 故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人， 记的1人为，的2人为，的2人为， 故随机抽取2人的所有样本点为， ，共包含10个样本点， 其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为， ，共包含7个样本点， 故至少有1人每天阅读时间位于概率. 16. 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由题意知，即， 整理得，即，即 又由，所以． （2），，． 17. 【答案】（1） （2）证明见解析；该定值为2； 【解析】 （1）根据题意利用抛物线定义可知，解得； 所以抛物线C的方程为； （2）如下图所示： 设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得， 设，则可得； 由于，所以可得，即， 可得，解得或（舍）； 又，所以可得直线的方程为， 联立，可得点D的坐标为； 又，所以可得 ； 即的长度为定值2. 18. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 （1）如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设棱长为2，且为的中点， ，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量， 设平面的法向量为， 设平面AEF与平面的夹角为， 则，，则， 所以平面AEF与平面的夹角的正切值为； （2）设 ，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量， 点到平面的距离， 解得：， 所以的长为或. 19. 【答案】（1） （2）. 【解析】 （1）若选①，设，且动点到直线的距离为， 结合题意可得：，整理得， 所以曲线的方程为：. 若选②, 由圆，可得圆心，半径， 因为点与点关于原点对称，所以， 因为线段的垂直平分线与线段交于点， 所以，而， 所以, 故点是以中心在原点，长轴长为4，焦距为2的椭圆, 结合椭圆的定义可知：解得 故曲线的方程为：. （2）结合上问可知曲线的方程为：. 设，，由，得，即 即，因为点在曲线上，所以， 整理得，所以曲线的方程为. 当直线的斜率不存在时，此时，故此时直线为， 联立，可得， 此时， 当直线的斜率存在时，设直线为，设, 联立，可得， 因为 所以， 所以， 点到直线的距离为， 所以面积， 即， 因为点在曲线上，所以直线与曲线有公共点， 联立，可得， 因为 所以，所以， 令，则， 则, 结合复合函数的单调性可知. 在单调递增； 所以当时，面积有最大值， 因为，所以. 综上所述：面积的最大值为. 第14页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $