26.2 二次函数的图象和性质 课后作业2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“26.2二次函数的图象和性质”同步练，含选择（10）、填空（5）、解答（5）题，分层覆盖基础概念到综合应用，助力知识螺旋式巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、对称轴、平移规律|直接考查概念（如第3题求对称轴），夯实抽象能力| |提高层|函数值比较、图象识别、范围确定|结合图象分析（如第7题函数图象判断），发展几何直观| |综合层|翻折变换、动态交点、最值探究|设置探究情境（如第19题平移后交点问题），培养推理能力与应用意识|

26.2 二次函数的图象和性质 课后作业2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．对二次函数的图象下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．当时随增大而增大 D．最小值是4 5．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 7．函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．二次函数与自变量x的部分对应值表如下，已知其中有且仅有一组值错误（其中a，b，c均为常数）．则下列说法中一定正确的是（   ） x 0 2 3 y 2 3 A．若错误的数据是第一组数据，则 B．若错误的数据是第二组数据，则 C．若错误的数据是第三组数据，则 D．若错误的数据是第四组数据，则 10．如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若 这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 11．当函数取最小值时，的值为_______． 12．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为_____． 13．二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 14．二次函数，当时，y的取值范围为________． 15．如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为______． 三、解答题 16．已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 17．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像； （2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？ 18．能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 19．如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，且，已知点为抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线解析式及顶点坐标． (2)将抛物线沿着轴向左平移个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线与线段有唯一交点，求的取值范围． 20．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C A A D A C D 1．【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴． 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据，即可求得． 【详解】解： 该二次函数的对称为直线， 故选：D. 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的方法是解决本题的关键． 4．【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 6．【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、函数图象识别 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 8．【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第四象限， ∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称性和二次函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若错误的数据是第一组数据，则抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同，即： ，故原说法错误； B、若错误的数据是第二组数据，则当时，随的增大而增大， ∴时的函数值大于时的函数值，即：，故原说法错误； C、若错误的数据是第三组数据，则抛物线的对称轴为直线，且在对称轴的左侧，随着的增大而减小， ∴时的函数值小于时的函数值，即：，故原说法正确； D、若错误的数据是第四组数据，则对称轴在轴的左侧，且在对称轴的右侧随着的增大而增大， ∴时的函数值小于时的函数值，即：，故原说法错误； 故选C． 10．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 11．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数一般式化为顶点式，利用偶次方的非负性即可求． 【详解】解：， 当时， 取得最小值； ， 当， 即当时， 取得最小值， 当2时， 取得最小值． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 13．【答案】②③① 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小；绝对值越小，开口越大，由此问题可求解． 【详解】解：对于二次函数，开口大小与成反比；函数①的，函数②的，函数③的； 比较的大小：， 因此开口大小从大到小排列为②、③、①； 故答案为②③①． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴当时有最小值是7， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．过点作交于点，可得，根据相似三角形的性质可得出，根据，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，此时点P的横坐标为2， 故答案为：2． 16．【答案】(1)，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； (2)最小值为0，最大值为32 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图像画法及二次函数图像的性质． （1）描点，连线，即可作答． （2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．据此即可作答． 【详解】（1）如图： （2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴； 不同点：开口大小不同． 18．【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键． 【详解】解：能；理由如下： 设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有 ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 即m沿y轴方向向下平移个单位； 故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位． 19．【答案】(1)， (2) 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的图象和性质以及用待定系数法求解析式中的系数，抛物线的平移问题： （1）先求出点C的坐标为，可得到点B的坐标，再把将点B的坐标代入解析式即可解题． （2）抛物线平移的规律可得将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，再由线段与抛物线有唯一交点，可得的移动区间为平行四边形（不含，包含），即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得： ， 解得：， 抛物线解析式为， 将抛物线解析式整理为：， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， 将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，如下图， ∵线段与抛物线有唯一交点， ∴的移动区间为平行四边形（不含，包含）， ∵， ∴， ∴线段向右平移4个单位长度， 即的取值范围为：． 20．【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $