专题04 双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理双角平分线模型体系，从单角平分线基础到双角和差模型，再延伸至折叠、旋转及n等分线拓展模型，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“模型变式+动态探究”练习设计，如旋转问题中设未知数列方程求解角度，培养推理能力与模型意识。典例分层覆盖基础应用与综合拓展，辅助教师实施精准教学，助力学生提升几何推理与问题解决能力。

专题04 双角平分线模型 双角平分线模型是七年级上册几何角度计算的重点模型，依托角的和差、角平分线定义基础知识点延伸拓展。本章模型主要研究：在同一个大角内部，出现两条角平分线后所形成新角与原角之间的固定数量关系。 角度题型灵活多变，很多复杂计算题本质都是双角平分线模型的变形。掌握该模型的固定规律与推导方法，能够快速解决重叠角、组合角的计算难题，简化繁琐的角度推导过程，是初一期末几何压轴计算的核心必备模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 单角平分线模型 3 模型2. 双角平分线模型 8 模型3. 角平分线与折叠 17 模型4. 角平分线与旋转 25 模型5. 角的n等分线模型 37 模型运用 49 一条射线将一个角分成两个相等的角。在此基础上，题目增加一条角平分线，在同一个大角内部构造两条平分射线，形成嵌套的角结构，逐步衍生出双角平分线题型。 利用角平分线得到相等的小角，再借助角的相加或相减、等量代换，推导出两条角平分线所夹的角，和原来大角之间固定的数量关系。 该模型的设立，重在培养初一学生的几何识图能力、用字母表示角度、代数推理的思维，帮助学生适应几何说理的书写格式，是初一上期末角度计算题的经典出题载体，也为之后三角形、平行线的几何学习打好推理基础。 1.角平分线的概念 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 已知平分，则。 2.双角平分线模型 （1）角内部的射线（作和） 已知是内的一条射线，平分，平分，求 . 证明：∵平分，平分， ∴, ∴ 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 （2）角外的射线（作差） 已知是 外的一条射线，平分，平分，求 . 证明：∵平分，平分， ∴, ∴ 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一半. 3.三个角围成一个周角 如图，已知，平分，平分， 结论：. 模型1. 单角平分线模型 【模型提炼】 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 符号语言： 若射线平分，则， 。 【模型运用】 【典例1】（2026春•宁阳县期中）如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA、OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD，∠AOC＝50°． （1）求∠AOE的度数； （2）求∠BOD的度数； （3）求∠EOD的度数． 【典例2】（2026春•莱西市期中）如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB． （1）若∠BOC＝20°，求∠BOD的度数； （2）若∠COD＝12°，求∠AOB的度数． 【典例3】已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【典例4】已知，平分，求的度数． 【典例5】（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 模型2. 双角平分线模型 【模型提炼】 共顶点的一个大角，被射线拆分为两个角，对这两个角分别作角平分线，两条平分线形成固定角度关系，即为双角平分线模型（仅限共顶点角，不含三角形）。 1.和模型 射线在∠AOB内部，平分∠AOD，平分∠DOB，则∠COE。 2.嵌套平分模型 射线在∠AOB内部，平分∠AOB，平分∠AOC，则∠AOD。 3.差模型 ∠AOC平分∠AOC，平分∠BOC，则∠DOE。 【模型运用】 【典例1】（2026春•商南县期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【典例2】（2025秋•青山区校级期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中∠CPD＝90°，∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD． ①当∠APC为30°时，求∠MPN的度数； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，∠APB在∠CPD内，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，用含α，β的代数式表示∠MPN． 【拓展应用】 （3）如图3，∠CPD固定不动，将∠APB绕点P按顺时针方向旋转，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，直接写出∠MPN的大小（用含α，β的代数式表示）． 【典例3】（2025秋•镜湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； （3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数． 【典例4】（2026春•兴宁市校级月考）如图，点O为直线AB上一点． （1）如图1，若∠BOC＝100°，∠AOC＝　 　 ； （2）如图2，若∠BOC＝120°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．则∠EOF＝　 　； （3）如图3，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，判断∠EOF的大小？并写出求∠EOF的过程？ （4）若把∠EOF顶点与图1中的点O重合并在直线AB上方旋转（∠EOF＝90°），在旋转的过程中，请直接写出∠COE与∠BOF的数量关系． 【典例5】（2025秋•揭东区期末）【问题背景】 点O为直线MN上一点，在直线MN同侧作射线OA、OB（OA在OB的左侧），使得∠AOB＝90°． 【问题再现】 （1）如图1，过点O作射线OC，若OC平分∠MOB，且∠AOC＝20°，求∠BON的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点O作射线OC、OD，若OC平分∠AOM，OD平分∠AOB，且∠COD＝78°，求∠BON的度数； 【拓展提升】 （3）若过点O作射线OC，当OA恰好为∠COM的角平分线时，另作射线OD，使得OD平分∠AOB，当∠COD＝α时，求∠BON的度数．（用含α的代数式表示） 模型3. 角平分线与折叠 【模型提炼】 折叠前后重合的角相等，折痕就是重合一组角的角平分线。折叠问题天然自带角平分线，结合角的和差进行角度计算，就是角平分线+折叠综合模型。 1. 解题步骤 （1）找折痕，标等角 看到折叠，立刻标记：折叠重合的两个角相等，折痕就是这组角的角平分线。 （2）识别原有角平分线，继续标等角，题目若给出角平分线，把平分得到的相等角在图上做好标记。 （3）判断射线位置，确定角用加还是减 - 折叠后的射线落在大角内部：角的和 - 折叠后的射线落在大角外部：角的差 （4）列式计算，优先方程思想 角度关系复杂时，设最小角为，用含的代数式表示所有相关角，根据已知角度列方程求解。 2. 解题技巧 （1）多层等角统一标记 图中有多组相等角，不同组用不同弧线，避免混淆。折叠产生一组等角，角平分线再产生一组等角，分开标记。 （2）区分两类平分线 折痕只是重合两角的平分线，不一定平分原来的大角，不要主观默认！ 题目给的角平分线，才是原始角的平分线。二者不能混为一谈。 （3）遇到重叠角，整体代换 不要单独硬算每个小角，优先整体提取，类似双角平分线模型思路，简化计算。 （4）分类讨论 部分题目没有给图，折叠后的射线可能在角内，也可能在角外，需要分两种情况讨论。 【模型运用】 【典例1】（2026春•二七区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，点A落到CD上方的点A′处，A′E与CD边相交于点F，点B恰好落到A′E上的B′处．已知∠MEF＝60°，则∠CFE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【典例2】（2026春•龙泉驿区校级期中）如图，点E，F分别在长方形纸片ABCD的边AB，AD上，分别沿EF，EC将∠FAE，∠EBC折叠得到∠FA′E，∠EB′C，其中，点B′恰好落在边CD上．若∠AEF＝32°，则∠A′EC＝（　　） A．58° B．61° C．71° D．81° 【典例3】（2026春•银川校级期末）我们已经学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？ （1）如图1，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠DBA'的度数； （2）在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA'重合，点D落在点D'处，折痕为BE，如图2，求∠CBE的度数； （3）若改变图2中∠ABC的大小，则BA'的位置也随之改变，那么（2）中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由． 【典例4】（2026春•扬州期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，PM为折痕；再将另一角折叠，使A′落在PB'上，PM为折痕，则∠MPN的度数为 　 　 ； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为30°，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若|∠α﹣∠β|＝30°，则∠α和∠β是一组“巧角”（0°＜∠α＜180°，0°＜∠β＜180°）． ①在条件（1）中，当点P、A′、B′三点共线时，∠APM和∠BPN是一组“巧角”，求∠APM的度数； ②当点P、A′、B′三点不共线时，∠APM和∠BPN还是一组“巧角”，且∠APM＞∠BPN，∠A'PB'＝16°，求∠BPA′的度数． 【典例5】（2026春•无锡期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上找到一个异于点A，D的点E，连接BE，CE，将纸片分别沿BE，CE折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． （1）【问题初探】如图（1），若点F在线段EG上，直接写出∠BEC＝　 　 °； （2）【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若∠BEC＝β（β≠0），请在图（2）、（3）中选取一个，求出∠FEG的度数（用含β的代数式表示）； （3）【问题深探】如图（4），在边AB上取一点M，连接EM，将纸片沿EM折叠，点A落在点H处，当点M在边AB上移动到使∠BEG＝2∠BEH时，若∠AEB＝40°，直接写出∠AEM和∠MEC的数量关系． 模型4. 角平分线与旋转 【模型提炼】 射线绕公共顶点旋转，旋转不改变角的度数，只改变射线位置；结合角平分线带来的等角关系，利用角的和差、等量代换求解动态角度。 1. 解题四步法 （1）定中心，找不变量 先确定旋转中心。抓住不变量：角平分线分出的半角大小固定；旋转的射线自身转过角度固定。 （2）标射线，分位置 画出初始位置与旋转后的位置，标记所有射线；重点判断旋转后的射线落在大角内部还是外部，或者跨过分界线。 （3）写角关系，选和或差 - 射线在角内部：多用角相加； - 射线跨过分平分线、转到外部：多用角相减，注意加绝对值。 （4）设未知数，列方程求解 旋转类动态题优先方程思想：设旋转角为，用含代数式表示相关角，根据题干给的角度列方程计算。无图题目记得分类讨论。 2. 解题技巧 （1）抓住“定值” 很多动态旋转题，不管射线怎么转，两条射线夹角始终是固定值。不要被“旋转”迷惑，优先推导角度之间固定数量关系。 （2）分类讨论 题干没有配图时，旋转射线有多种位置： ①旋转后射线在角平分线左侧；②旋转后射线在角平分线右侧；③旋转到角的外部。多种情况要逐一分析，容易漏解。 （3）等量代换简化式子 角平分线给出大角，旋转带来角度加减，优先整体代换，减少单独计算小角的麻烦，和双角平分线思路相通。 （4）运动临界点分析 射线经过角平分线、射线落在或上，都是临界点，临界点前后和差表达式会改变，分段列式。 【模型运用】 【典例1】（2026春•吉林校级期末）“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每60分钟旋转一周（360°），时针每60分钟旋转30°． 我们规定：旋转速度＝旋转角度÷旋转时间． （1）分针的旋转速度为每分钟转　 　度，时针的旋转速度为每分钟转　 　度； （2）如图1，时钟的时间为1：00，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心O为端点的射线OA、分针抽象为同端点的射线OB． ①求经过多少分钟，射线OB与射线OA第一次重合； ②如图3，在1：00时，在OB的左侧作∠BOC＝30°在1：00后、分针OB与时针OA旋转的过程中，OC保持不动，OD平分∠BOC始终成立、直接写出，在1：00后、经过多少分钟，OA与OD第一次重合． 【典例2】如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【典例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有，的三角板按照图放置在直线上，，，，与直线重合． (1)求的度数． (2)将三角尺绕点逆时针以的速度转动如图，转动的时间为，当边与直线重合时停止． ①用含的代数式表示运动过程中的度数． ②在转动过程中，当恰好是的角平分线时，求的值． 【典例4】（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操作的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，点O为定点，定义A、B、C、D在同一平面内，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2， A、O、B三点共线，点C、D重合，，则 _________； (2)如图3， A、O、B三点共线，且，平分，求的大小？ (3)第四节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒5°，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①当A、O、C三点共线时， 秒，运动停止后， ； ②在运动过程中，求与的数量关系． 【典例5】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【典例6】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图1，，过点O在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点O顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为t秒． (1)当射线位于射线的左侧时，______（用含t的式子表示）； (2)当射线平分时，求t的值； (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止，当时，求t的值． 模型5. 角的等分线模型 【模型提炼】 角的等分线，角平分线是「2等分」，三等分线是「3等分」，以此类推。 本质规律：大角被平均分成 等份，每份角度完全相等，全程依靠份数运算、角的和差、份数差计算角度。 解题步骤 第一步：定份数、找单份角度 看到几等分，立刻写出单份角度：单份角度原大角，所有复杂角度，本质都是「几份角的加减」。 第二步：标注所有等分射线、数清序号 从边开始，依次标记第1、第2、第3……第条等分线。 核心关键：角度 = 份数 × 单份角 第三步：判断夹角份数 两条等分线的夹角，不用逐个加减，直接用：夹角份数 = 后序号前序号 第四步：代入计算或列方程 已知大角直接算；未知大角设为，利用份数关系列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【典例2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图1，在内部画一条射线，将分成，两个角（所有角均为大于且小于的角）． (1)若射线是的一条三等分线（），则与的数量关系是___________： (2)若，射线分所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于，求的度数； (3)如图2，射线平分，过点再作一条射线，使得在内部，且．若与的和比多，求的度数． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 【典例4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【典例5】（25-26七年级上·广东深圳·期末）在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 1．（2026春•博兴县期末）如图，直线AB与直线CD交于点O．OE，OC分别是∠AOC与∠BOE的角平分线，则∠AOD为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 2．（2026•白云区校级开学）将一张长方形纸条ABCD按如图折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（　　） A．52° B．62° C．64° D．58° 3．（2026春•芗城区校级期中）如图，现有长方形纸片ABCD，将∠CBD沿对角线BD折叠，得到∠C′BD，C′B与AD相交于点E，将∠ABE沿BE折叠，得到∠A′BE．若∠A′BD＝15°，则∠ADB的度数为（　　） A．15° B．20° C．35° D．55° 4．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025秋•南京期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 6．（2026春•平陆县期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，CE，且∠AEB＝57°，分别沿直线BE，CE折叠并压平，如图2，∠A′ED′＝16°，则∠A′EC的度数为（　　） A．25° B．33° C．17° D．50° 7．（2025秋•潮南区期末）如图，已知，∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB的度数． 8．如图，已知，平分，且，求的度数． 9．如图，射线在的内部，且，射线是的平分线，若，求的度数． 10．（2026春•福山区期中）已知点A、O、B在同一直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）若∠AOD＝30°，求∠BOE的度数． 11．（2026春•让胡路区校级期末）如图，已知A，O，B三点共线，OD平分∠COB，OE平分∠AOC． （1）若∠COD＝30°，求∠AOE的度数； （2）若∠COE：∠COD＝5：4，求∠COE的度数． 12．（2025秋•鹤壁期末）已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OE平分∠AOC． （1）如图①，若∠DOE＝15°，求∠BOC的度数． （2）当射线OC绕点O逆时针旋转到如图②的位置时，猜想∠BOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 13．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 14．（2025秋•揭东区期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角尺MON按如图所示的方式放置，且直角顶点在点O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM． （1）若∠CON＝28°，求∠COB的度数； （2）若∠NOC：∠BON＝1：2，求∠NOC的度数． 15．（2026春•沂源县期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】 （1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】 （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】 （3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 16．（2025秋•济宁期末）【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 17．（2026春•张店区期中）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段AB＝18cm，C为线段AB上的一个动点，D，E分别是AC和BC的中点． ①若AC＝14cm，则线段DE＝　 　 cm． ②若AC＝acm（a＜18），则线段DE＝　 　 cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，求∠DOE的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，∠COD在∠AOB内部，∠AOB＝α（α＜180°），∠COD＝36°，且∠COE＝2∠AOE，∠DOF＝2∠BOF，请直接写出∠EOF的度数．（用含α的式子表示） 18．已知，，三点共线，点在直线下方，，直角三角板中． (1)将直角三角板如图①摆放，使在的内部且平分，求的度数． (2)将直角三角板如图②摆放，使在的内部，探究发现与的数量关系是：，请说明理由； (3)将直角三角板如图③摆放，使在射线上，若图中的线段按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转至第秒时，直线恰好平分锐角，直接写出的值． 19．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 °，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．（用含的代数式表示） (2)如图3，如，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ②当t为多少秒时，射线中恰好有一条射线是射线的伴随线． 20．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求和的度数； (2)如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束，绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转，且与同时停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着点从开始以15度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 21．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 22．（25-26七年级上·山东青岛·期末）平面内在直线上方有一定点，点在直线上运动，过点在直线上方作射线，使得． (1)如图，当点运动到点的左侧时，连接，在射线另一侧作射线，使得．将射线绕点逆时针旋转得到射线． 若，求的度数； 当时，求的度数； (2)当点运动到某一时刻，射线与直线构成的角为，在射线左侧作，的边与射线重合，然后从射线出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转一周，射线为的角平分线．设运动时间为秒．当射线三等分时，求出的值． 23．（25-26六年级上·上海静安·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)若，为的3分位线，且，则 ． (2)如图2，点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则 ；②若，当α变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 24．（25-26六年级下·上海·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双角平分线模型 双角平分线模型是七年级上册几何角度计算的重点模型，依托角的和差、角平分线定义基础知识点延伸拓展。本章模型主要研究：在同一个大角内部，出现两条角平分线后所形成新角与原角之间的固定数量关系。 角度题型灵活多变，很多复杂计算题本质都是双角平分线模型的变形。掌握该模型的固定规律与推导方法，能够快速解决重叠角、组合角的计算难题，简化繁琐的角度推导过程，是初一期末几何压轴计算的核心必备模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 单角平分线模型 3 模型2. 双角平分线模型 8 模型3. 角平分线与折叠 17 模型4. 角平分线与旋转 25 模型5. 角的n等分线模型 37 模型运用 49 一条射线将一个角分成两个相等的角。在此基础上，题目增加一条角平分线，在同一个大角内部构造两条平分射线，形成嵌套的角结构，逐步衍生出双角平分线题型。 利用角平分线得到相等的小角，再借助角的相加或相减、等量代换，推导出两条角平分线所夹的角，和原来大角之间固定的数量关系。 该模型的设立，重在培养初一学生的几何识图能力、用字母表示角度、代数推理的思维，帮助学生适应几何说理的书写格式，是初一上期末角度计算题的经典出题载体，也为之后三角形、平行线的几何学习打好推理基础。 1.角平分线的概念 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 已知平分，则。 2.双角平分线模型 （1）角内部的射线（作和） 已知是内的一条射线，平分，平分，求 . 证明：∵平分，平分， ∴, ∴ 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 （2）角外的射线（作差） 已知是 外的一条射线，平分，平分，求 . 证明：∵平分，平分， ∴, ∴ 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一半. 3.三个角围成一个周角 如图，已知，平分，平分， 结论：. 模型1. 单角平分线模型 【模型提炼】 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 符号语言： 若射线平分，则， 。 【模型运用】 【典例1】（2026春•宁阳县期中）如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA、OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD，∠AOC＝50°． （1）求∠AOE的度数； （2）求∠BOD的度数； （3）求∠EOD的度数． 【分析】（1）利用平角求解即可； （2）利用互余和角平分线的性质求解即可； （3）由（2）得∠COB＝40°，再由角平分线得出∠COD＝2∠COB＝80°，利用平角求解即可． 【解答】解：（1）∠AOE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°， ∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°， ∵OB平分∠COD， ∴∠BOD＝∠COB＝40°； （3）由（2）得∠COB＝40°， 又∵OB平分∠COD， ∴∠COD＝2∠COB＝2×40°＝80°． ∴∠DOE＝180°﹣∠COD＝100°． 【典例2】（2026春•莱西市期中）如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB． （1）若∠BOC＝20°，求∠BOD的度数； （2）若∠COD＝12°，求∠AOB的度数． 【分析】（1）由∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，求出∠AOC＝50°，再求出∠AOB的度数，再结合角平分线的定义计算即可得出结果； （2）设∠AOC＝（5x）°，则∠BOC＝（2x）°，∠AOB＝（7x）°，由角平分线的定义可得；求出，可得，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝70°， ∵OD平分∠AOB， ∴； （2）设∠AOC＝（5x）°，则∠BOC＝（2x）°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝（7x）°， ∵OD平分∠AOB， ∴； ∵， ∴， ∴x＝8， ∴∠AOB＝7×8°＝56°． 【典例3】已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【答案】(1)解：∵，平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)结论成立． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据平角的定义求出，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：结论成立．理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 【典例4】已知，平分，求的度数． 【答案】或 【分析】首先判断的位置，存在两种情况：在内部，在外部，因为题目未明确的位置，所以需要分情况讨论．针对每种情况，根据角的和差关系计算出的度数．因为平分，所以利用角平分线的定义求出（或者）的度数．再根据角的和差关系，结合已知角的度数计算出的度数． 【详解】分两种情况： ①如图1，， ∵平分， ∴， ∴ ； ②如图2，． ∵平分， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 【典例5】（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 模型2. 双角平分线模型 【模型提炼】 共顶点的一个大角，被射线拆分为两个角，对这两个角分别作角平分线，两条平分线形成固定角度关系，即为双角平分线模型（仅限共顶点角，不含三角形）。 1.和模型 射线在∠AOB内部，平分∠AOD，平分∠DOB，则∠COE。 2.嵌套平分模型 射线在∠AOB内部，平分∠AOB，平分∠AOC，则∠AOD。 3.差模型 ∠AOC平分∠AOC，平分∠BOC，则∠DOE。 【模型运用】 【典例1】（2026春•商南县期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，然后利用平角定义，以及角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠AOB＝90°，从而利用平角定义可得：∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，从而利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答； （3）利用角平分线的定义可得∠2∠DOE，从而可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE+∠3＝180°，从而可得∠3＝100°，进而可得∠COE＝∠3＝100°，最后利用角平分线的定义可得∠AOE＝50°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE， ∴，， ∴∠AOE+∠BOE∠COE∠DOE（∠COE+∠DOE）180°＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOB的度数为90°； （2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （3）解：∵OB平分∠DOE， ∴∠2∠DOE， ∵∠2：∠3＝2：5， ∴∠DOE：∠3＝4：5， ∵∠DOE+∠3＝180°， ∴， ∴∠COE＝∠3＝100°， ∵OA平分∠COE， ， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°， ∴∠AOF的度数为130°． 【典例2】（2025秋•青山区校级期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中∠CPD＝90°，∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD． ①当∠APC为30°时，求∠MPN的度数； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，∠APB在∠CPD内，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，用含α，β的代数式表示∠MPN． 【拓展应用】 （3）如图3，∠CPD固定不动，将∠APB绕点P按顺时针方向旋转，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，直接写出∠MPN的大小（用含α，β的代数式表示）． 【分析】（1）①由∠CPD＝90°，∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，且∠APC为30°，得∠BPN，∠APM的度数，进而解决问题；②当∠APB在∠CPD内转动时，类比第①问可以求出∠MPN，进而发现∠MPN的度数保持不变；（2）根据角平分线的定义，用α，β表示出∠BPN，∠APM，从而可得∠MPN；（3）∠APB绕点P按顺时针方向旋转时，求∠MPN度数分两种情况，一是∠APB在∠CPD内部，第（2）问已求出，二是∠APB在∠CPD外部，利用周角和角平分线定义，可得∠MPN＝360°﹣∠CPD﹣∠CPM﹣∠DPN＝360°﹣α360°﹣α． 【解答】解：（1）①∵∠CPD＝90°，∠APB＝45°， ∴∠APC+∠BPD＝90°﹣45°＝45°， ∵PM平分∠APC，PN平分∠BPD， ∴∠APM∠APC，∠BPN∠BPD， ∴∠MPN＝∠APM+∠BPN+∠APB（∠APC+∠BPD）+45°＝67.5°； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数保持不变；理由如下： ∵∠APB在∠CPD内转动， ∴∠APC+∠BPD＝45保持不变， ∴由①知∠MPN与∠APC，∠BPD的大小无关，只与∠APC+∠BPD的大小有关， ∴∠MPN（∠APC+∠BPD）+45°＝67.5°， 故∠MPN的度数保持不变； （2）∠APB在∠CPD内时，由（1）同理可得： ∠APC+∠BPD＝∠CPD﹣∠APB＝α﹣β， ∵PM平分∠APC，PN平分∠BPD， ∴∠APM∠APC，∠BPN∠BPD， ∴∠MPN＝∠APM+∠BPN+∠APB（∠APC+∠BPD）+β； （3）或． 【典例3】（2025秋•镜湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； （3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数． 【分析】（1）根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求出∠MOC，∠NOC，利用∠MON＝∠MOC﹣NOC即可求出∠MON的度数； （2）同（1）类似即可得到∠MON的度数； （3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON＝∠MOC﹣∠NOC得到∠MON的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC＝120°60°， ∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC30°＝15°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°； （2）设∠BOC＝（2x）°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+（2x）°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC＝45°+x° ∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC（2x）°＝x°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45° （3）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON． ∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（α+β）． 【典例4】（2026春•兴宁市校级月考）如图，点O为直线AB上一点． （1）如图1，若∠BOC＝100°，∠AOC＝　80°　 ； （2）如图2，若∠BOC＝120°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．则∠EOF＝　90°　 ； （3）如图3，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，判断∠EOF的大小？并写出求∠EOF的过程？ （4）若把∠EOF顶点与图1中的点O重合并在直线AB上方旋转（∠EOF＝90°），在旋转的过程中，请直接写出∠COE与∠BOF的数量关系． 【分析】（1）根据平角的定义可得答案； （2）根据平角的定义可得∠AOC的度数，再由角平分线的定义求出∠COE，∠COF的度数，据此可得答案； （3）根据角平分线的定义可得，再由平角的定义和角的和差关系可得答案； （4）分解析中的四种情况，根据角的和差关系讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵A、O、B在一条直线上， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°． 故答案为：80°； （2）已知∠BOC＝120°， ∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∵OE平分∠AOC， ∵， ∵OF平分∠BOC， ∵， ∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+60°＝90°， 故答案为：90°； （3）∠EOF＝90°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴； （4）当OE在∠AOC内部时， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣∠COE， ∵∠BOC＝100°， ∴∠BOF＝∠BOC﹣∠COF＝100°﹣（90°﹣∠COE）＝10°+∠COE； 如图，当OE不在∠AOC内部，且OF在∠BOC内部时， ∵∠EOF＝90°，∠BOC＝100°， ∴∠COE+∠BOF＝∠BOC﹣∠EOF＝10°， ∴∠BOF＝10°﹣∠COE； 如图，当OE在∠BOC内部，且OF不在∠BOC内部时， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣∠COE， ∵∠BOC＝100°， ∴∠BOF＝∠BOC+∠COF＝100°+90°﹣∠COE＝190°﹣∠COE； 如图，当OE不在∠AOC内部，OF在∠BOC内部时， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝∠COE﹣90°， ∴∠BOF＝∠BOC﹣∠COF＝100°﹣（∠COE﹣90°）＝190°﹣∠COE； 综上，∠BOF＝10°+∠COE或∠BOF＝10°﹣∠COE或∠BOF＝190°﹣∠COE． 【典例5】（2025秋•揭东区期末）【问题背景】 点O为直线MN上一点，在直线MN同侧作射线OA、OB（OA在OB的左侧），使得∠AOB＝90°． 【问题再现】 （1）如图1，过点O作射线OC，若OC平分∠MOB，且∠AOC＝20°，求∠BON的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点O作射线OC、OD，若OC平分∠AOM，OD平分∠AOB，且∠COD＝78°，求∠BON的度数； 【拓展提升】 （3）若过点O作射线OC，当OA恰好为∠COM的角平分线时，另作射线OD，使得OD平分∠AOB，当∠COD＝α时，求∠BON的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）先求出∠BOC＝70°，再由角平分线的定义可得∠MOB＝2∠BOC＝140°，最后由平角的定义计算即可得出结果； （2）由角平分线的定义可得∠AOM＝2∠AOC，∠AOB＝2∠AOD，求出∠MOB＝156°，最后由平角的定义计算即可得出结果； （3）分两种情况：当OD在OC的右侧时，当OD在OC的左侧时，分别计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠MOB＝2∠BOC＝140°， ∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝40°； （2）∵OC平分∠AOM，OD平分∠AOB， ∴∠AOM＝2∠AOC，∠AOB＝2∠AOD， ∴∠MOB＝∠AOM+∠AOB ＝2（∠AOC+∠AOD） ＝2∠COD， ∵∠COD＝78°， ∴∠MOB＝156°， ∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝24°； （3）若过点O作射线OC，当OA恰好为∠COM的角平分线时，另作射线OD，使得OD平分∠AOB， 如图，当OD在OC的右侧时， ∵OD平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴， ∵∠COD＝α， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝45°﹣α， ∵OA为∠COM的角平分线， ∴∠AOM＝∠AOC＝45°﹣α， ∴∠BON＝180°﹣∠AOM﹣∠AOB＝45°+α； 如图，当OD在OC的左侧时， 由题意可得：， ∵∠COD＝α， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝45°+α， ∵OA为∠COM的角平分线， ∴∠AOM＝∠AOC＝45°+α， ∴∠BON＝180°﹣∠AOM﹣∠AOB＝45°﹣α； 综上所述，∠BON的度数为45°﹣α或45°+α． 模型3. 角平分线与折叠 【模型提炼】 折叠前后重合的角相等，折痕就是重合一组角的角平分线。折叠问题天然自带角平分线，结合角的和差进行角度计算，就是角平分线+折叠综合模型。 1. 解题步骤 （1）找折痕，标等角 看到折叠，立刻标记：折叠重合的两个角相等，折痕就是这组角的角平分线。 （2）识别原有角平分线，继续标等角，题目若给出角平分线，把平分得到的相等角在图上做好标记。 （3）判断射线位置，确定角用加还是减 - 折叠后的射线落在大角内部：角的和 - 折叠后的射线落在大角外部：角的差 （4）列式计算，优先方程思想 角度关系复杂时，设最小角为，用含的代数式表示所有相关角，根据已知角度列方程求解。 2. 解题技巧 （1）多层等角统一标记 图中有多组相等角，不同组用不同弧线，避免混淆。折叠产生一组等角，角平分线再产生一组等角，分开标记。 （2）区分两类平分线 折痕只是重合两角的平分线，不一定平分原来的大角，不要主观默认！ 题目给的角平分线，才是原始角的平分线。二者不能混为一谈。 （3）遇到重叠角，整体代换 不要单独硬算每个小角，优先整体提取，类似双角平分线模型思路，简化计算。 （4）分类讨论 部分题目没有给图，折叠后的射线可能在角内，也可能在角外，需要分两种情况讨论。 【模型运用】 【典例1】（2026春•二七区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，点A落到CD上方的点A′处，A′E与CD边相交于点F，点B恰好落到A′E上的B′处．已知∠MEF＝60°，则∠CFE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据折叠可得∠BEM＝∠MEF＝60°，即可得出∠BEF＝120°，进而根据平行线的性质，即可求解． 【解答】解：∵将长方形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，点A落到CD上方的点A′处，A′E与CD边相交于点F，点B恰好落到A′E上的B′处， ∴∠BEM＝∠MEF＝60°， ∴∠BEF＝∠BEM+∠MEF＝120°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD， ∴∠CFE＝180°﹣∠BEF＝60°， 故选：D． 【典例2】（2026春•龙泉驿区校级期中）如图，点E，F分别在长方形纸片ABCD的边AB，AD上，分别沿EF，EC将∠FAE，∠EBC折叠得到∠FA′E，∠EB′C，其中，点B′恰好落在边CD上．若∠AEF＝32°，则∠A′EC＝（　　） A．58° B．61° C．71° D．81° 【分析】由折叠可得∠A′EF＝∠AEF＝32°，∠BCE＝∠B′CE，由长方形ABCD得到AB∥CD，∠BCD＝90°，因此∠BCE＝∠B′CE＝45°，再由平行线的性质得到∠BEC＝∠B′CE＝45°，根据角的和差即可求解． 【解答】解：点E，F分别在长方形纸片ABCD的边AB，AD上， 由折叠可得∠A′EF＝∠AEF＝32°，∠BCE＝∠B′CE， ∵AB∥CD，∠BCD＝90°，∠BCE+∠B′CE＝∠BCD＝90°， ∴∠BCE＝∠B′CE＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠B′CE＝45°， ∴∠A′EC＝180°﹣∠AEF﹣∠A′EF﹣∠BEC＝180°﹣32°﹣32°﹣45°＝71°． 故选：C． 【典例3】（2026春•银川校级期末）我们已经学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？ （1）如图1，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠DBA'的度数； （2）在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA'重合，点D落在点D'处，折痕为BE，如图2，求∠CBE的度数； （3）若改变图2中∠ABC的大小，则BA'的位置也随之改变，那么（2）中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由． 【分析】（1）根据折痕是角平分线，以及平角的定义进行求解即可； （2）根据折痕是角平分线，以及角的和差关系进行求解即可； （3）根据折痕是角平分线，平角的定义以及角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：（1）∵折叠，∠ABC＝55°， ∴∠A′BC＝∠ABC＝55°， ∴∠DBA′＝180°﹣∠ABC﹣∠A′BC＝70°； （2）由（1）可知，∠A′BC＝55°，∠DBA′＝70°， ∵折叠， ∴， ∴∠CBE＝∠A′BC+∠D′BE＝90°； （3）不变， ∵折叠， ∴， ∴ ＝90°， 即∠CBE＝90°， ∴∠CBE的大小不会改变． 【典例4】（2026春•扬州期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，PM为折痕；再将另一角折叠，使A′落在PB'上，PM为折痕，则∠MPN的度数为 　90°　 ； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为30°，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若|∠α﹣∠β|＝30°，则∠α和∠β是一组“巧角”（0°＜∠α＜180°，0°＜∠β＜180°）． ①在条件（1）中，当点P、A′、B′三点共线时，∠APM和∠BPN是一组“巧角”，求∠APM的度数； ②当点P、A′、B′三点不共线时，∠APM和∠BPN还是一组“巧角”，且∠APM＞∠BPN，∠A'PB'＝16°，求∠BPA′的度数． 【分析】（1）根据翻折的性质得出∠APM＝∠A′PM，∠BPN＝∠B′PN，然后根据角的数量关系求解∠MPN即可； （2）①根据新定义列出绝对值方程，联立第一问得到二元一次方程，求解即可； ②根据A′，B′位置不同，求出∠APM+∠BPN的值，根据∠APM＞∠BPN，得出两者之差，解二元一次方程组求解∠BPN，从而求得∠BPA′． 【解答】解：（1）由翻折的性质可知，∠APM＝∠A′PM，∠BPN＝∠B′PN， ∴∠MPN＝∠A′PM+∠B′PM（∠APA′+∠BPB′）＝90°； 故答案为：90°； （2）①由（1）知，∠APM+∠BPN＝90°， ∵|∠APM﹣∠BPN|＝30°， ∴∠APM＝60°或30°； ②∵∠APM＞∠BPN， ∴∠APM﹣∠BPN＝30°， 由①知∠APM＝∠A′PM，∠BPN＝∠B′PN， ∵∠A′PB′＝16°， ∴2（∠APM+∠BPN）＝180°±∠A′PB′＝196°或164°， ∴∠BPN＝26°或34°， ∴∠BPA′＝2∠BPN±∠A′PB＝68°或52°； 【典例5】（2026春•无锡期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上找到一个异于点A，D的点E，连接BE，CE，将纸片分别沿BE，CE折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． （1）【问题初探】如图（1），若点F在线段EG上，直接写出∠BEC＝　90　 °； （2）【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若∠BEC＝β（β≠0），请在图（2）、（3）中选取一个，求出∠FEG的度数（用含β的代数式表示）； （3）【问题深探】如图（4），在边AB上取一点M，连接EM，将纸片沿EM折叠，点A落在点H处，当点M在边AB上移动到使∠BEG＝2∠BEH时，若∠AEB＝40°，直接写出∠AEM和∠MEC的数量关系． 【分析】（1）根据折叠可得：∠AEB＝∠FEB，∠DEC＝∠GEC，再根据∠AEB+∠FEB+∠DEC+∠GEC＝180°，即可得出答案； （2）设∠AEB＝∠FEB＝x，∠DEC＝∠GEC＝y，根据图形中角度关系求出x+y＝180°﹣β，根据∠FEG＝∠BEC﹣（∠FEB+∠GEC）求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当EH在EB下方时，当EH在EB上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【解答】解：（1）动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上找到一个异于点A，D的点E， 根据折叠可得：∠AEB＝∠FEB，∠DEC＝∠GEC， ∵∠AEB+∠FEB+∠DEC+∠GEC＝180°， ∴； 故答案为：90； （2）选图（2）， 动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上找到一个异于点A，D的点E， 由折叠可知：∠AEB＝∠FEB，∠DEC＝∠GEC， 设∠AEB＝∠FEB＝x，∠DEC＝∠GEC＝y， ∵∠AEB+∠BEC+∠DEC＝180°， ∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠BEC，即x+y＝180°﹣∠BEC， ∵∠BEC＝β， ∴x+y＝180°﹣β， ∴∠FEG＝∠BEC﹣（∠FEB+∠GEC） ＝∠BEC﹣（x+y） ＝β﹣（180°﹣β） ＝β﹣180°+β ＝2β﹣180°； 选图（3），由折叠可知∠AEB＝∠FEB，∠DEC＝∠GEC， 设∠AEB＝∠FEB＝x，∠DEC＝∠GEC＝y， ∵∠AEB+∠BEC+∠DEC＝180°， ∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠BEC， 即x+y＝180°﹣∠BEC＝180°﹣β， ∴∠FEG＝∠FEB+∠GEC﹣∠BEC ＝x+y﹣∠BEC ＝180°﹣β﹣β ＝180°﹣2β； （3）在边AB上取一点M，连接EM，将纸片沿EM折叠，点A落在点H处，当点M在边AB上移动到使∠BEG＝2∠BEH时，如图，当EH在EB下方时， 由折叠可知：∠AEM＝∠HEM，∠DEC＝∠GEC， 设∠AEM＝∠HEM＝x，则∠AEH＝2x， ∴∠BEH＝∠AEH﹣∠AEB＝2x﹣40°， ∵∠BEG＝2∠BEH＝4x﹣80°， ∴∠DEG＝180°﹣∠AEB﹣∠BEG ＝180°﹣40°﹣（4x﹣80°） ＝140°﹣4x+80° ＝220°﹣4x， ∴， ∴∠MEC＝180°﹣∠AEM﹣∠DEC ＝180°﹣x﹣（110°﹣2x） ＝180°﹣x﹣110°+2x ＝x+70°， ∴∠MEC﹣∠AEM＝x+70°﹣x＝70°； 如图，当EH在EB上方时， 由折叠可知：∠AEM＝∠HEM，∠DEC＝∠GEC， 设∠AEM＝∠HEM＝x，则∠AEH＝2x， ∴∠BEH＝∠AEB﹣∠AEH＝40°﹣2x， ∵∠BEG＝2∠BEH＝80°﹣4x， ∴∠DEG＝180°﹣∠AEB﹣∠BEG ＝180°﹣40°﹣（80°﹣4x） ＝140°﹣80°+4x ＝60°+4x， ∴， ∴∠MEC＝180°﹣∠AEM﹣∠DEC ＝180°﹣x﹣（30°+2x） ＝180°﹣x﹣30°﹣2x ＝150°﹣3x， ∴∠MEC+3∠AEM＝150°﹣3x+3x＝150°； 综上，∠MEC﹣∠AEM＝70°或∠MEC+3∠AEM＝150°． 模型4. 角平分线与旋转 【模型提炼】 射线绕公共顶点旋转，旋转不改变角的度数，只改变射线位置；结合角平分线带来的等角关系，利用角的和差、等量代换求解动态角度。 1. 解题四步法 （1）定中心，找不变量 先确定旋转中心。抓住不变量：角平分线分出的半角大小固定；旋转的射线自身转过角度固定。 （2）标射线，分位置 画出初始位置与旋转后的位置，标记所有射线；重点判断旋转后的射线落在大角内部还是外部，或者跨过分界线。 （3）写角关系，选和或差 - 射线在角内部：多用角相加； - 射线跨过分平分线、转到外部：多用角相减，注意加绝对值。 （4）设未知数，列方程求解 旋转类动态题优先方程思想：设旋转角为，用含代数式表示相关角，根据题干给的角度列方程计算。无图题目记得分类讨论。 2. 解题技巧 （1）抓住“定值” 很多动态旋转题，不管射线怎么转，两条射线夹角始终是固定值。不要被“旋转”迷惑，优先推导角度之间固定数量关系。 （2）分类讨论 题干没有配图时，旋转射线有多种位置： ①旋转后射线在角平分线左侧；②旋转后射线在角平分线右侧；③旋转到角的外部。多种情况要逐一分析，容易漏解。 （3）等量代换简化式子 角平分线给出大角，旋转带来角度加减，优先整体代换，减少单独计算小角的麻烦，和双角平分线思路相通。 （4）运动临界点分析 射线经过角平分线、射线落在或上，都是临界点，临界点前后和差表达式会改变，分段列式。 【模型运用】 【典例1】（2026春•吉林校级期末）“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每60分钟旋转一周（360°），时针每60分钟旋转30°． 我们规定：旋转速度＝旋转角度÷旋转时间． （1）分针的旋转速度为每分钟转　6　 度，时针的旋转速度为每分钟转　0.5　 度； （2）如图1，时钟的时间为1：00，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心O为端点的射线OA、分针抽象为同端点的射线OB． ①求经过多少分钟，射线OB与射线OA第一次重合； ②如图3，在1：00时，在OB的左侧作∠BOC＝30°在1：00后、分针OB与时针OA旋转的过程中，OC保持不动，OD平分∠BOC始终成立、直接写出，在1：00后、经过多少分钟，OA与OD第一次重合． 【分析】（1）根据分针转一圈为360°，60分钟以及时针转一圈为360°，12小时求解即可； （2）①设经过x分钟后，射线OB与射线OA第一次重合，根据（1）的结果将OA，OB的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解；②根据题意将OA，OD的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解． 【解答】解：（1）分针转一圈为360°，60分钟， ∴分针的旋转速度为每分钟转360°÷60＝6°； 时针转一圈为360°，12小时， ∴时针的旋转速度为每小时转360°÷12＝30°， 则时针的旋转速度为每分钟转30°÷60＝0.5°． （2）①在1：00时，时针与分针之间的夹角为30°， 设经过x分钟后，射线OB与射线OA第一次重合， 由题意列式为：6°x﹣0.5°x＝30°， 解得， ∴经过分钟后，射线OB与射线OA第一次重合 ②在1：00时，在OB的左侧作∠BOC＝30°在1：00后、分针OB与时针OA旋转的过程中，OC保持不动， 在1：00时，时针与分针之间的夹角为∠AOB＝30°， 设经过t分钟，OA与OD第一次重合， ∵∠BOC＝30°，OB每分钟旋转6°，OA每分钟转0.5°， ∴当OA与OD第一次重合时， OB旋转6t度，OA旋转0.5t度， 此时∠BOC＝30°+6t°， ∵OD平分∠BOC始终成立， ∴， 在1：00时，， ∴OD以12点的位置为起始位置，运动的角度为6t°﹣（15°+3t°）＝3t﹣15°， ∵OA与OD重合， ∴3t°﹣15°＝30°+0.5t°，解得t＝18， ∴在1：00后、经过18分钟，OA与OD第一次重合． 【典例2】如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为5或30；②满足条件的t的值为：或或 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小； （2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t； ②求出与重合时t的值，射线，共线时t的值，射线与射线重合时t的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵为的角平分线、， ∴． ∵， ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴， ∴． （2）解：①逆时针旋转时：如图① 当在B上方时，根据题意可知，，．， ∵平分， ∴，即， 解得：． 当在B下方时，此时也在下方，此时不存在平分． 顺时针旋转时：如图②， 由题意可求与重合用的时间 ． ∴与重合之后，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得： 综上所述t的值为5或30． ②逆时针旋转时：如图3中，当射线在射线的上方时， ∵，， ∴ ∴， 当与重合时，，解得． ∴时，的值不变，是． 当射线返回时与重合时．时间， 当运动到射线与共线时，时，解得， 观察图象可知，时，的值不变，是． 当射线运动到与射线共线时，，解得， 当时，如图4中，同法可得，， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为：或或． 【典例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有，的三角板按照图放置在直线上，，，，与直线重合． (1)求的度数． (2)将三角尺绕点逆时针以的速度转动如图，转动的时间为，当边与直线重合时停止． ①用含的代数式表示运动过程中的度数． ②在转动过程中，当恰好是的角平分线时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为 【分析】（1）利用三角形内角和定理，可求出，的度数，再将其代入中，即可求出结论； （2）①利用时间路程速度，可求出与重合及与重合时的时间，分及两种情况考虑，当时，利用的旋转速度旋转时间，可用含的代数式表示出；当时，利用的旋转速度旋转时间，可用含的代数式表示出； ②根据是的角平分线，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：①秒，秒 当时，； 当时，， ； ②根据题意得：， 解得： 答：的值为秒． 【典例4】（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操作的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，点O为定点，定义A、B、C、D在同一平面内，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2， A、O、B三点共线，点C、D重合，，则 _________； (2)如图3， A、O、B三点共线，且，平分，求的大小？ (3)第四节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒5°，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①当A、O、C三点共线时， 秒，运动停止后， ； ②在运动过程中，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①11秒，；②时，；当时， 【分析】（1）由 A、O、B三点共线可知，结合即可求解； （2）设，，得出，利用A、O、B三点共线，求出，利用可得； （3）先确定当旋转到与重合时运动停止，可得此时，则． ①当、、三点共线时，先确定旋转的角度，再求时间；运动停止时，即时，求出旋转的角度，再求解； ②分两种情况：当时和当时，分别进行计算． 【详解】（1）解：由 A、O、B三点共线可知， ， ； （2）解：因为， 设，， ∵平分， ∴， ∵A、O、B三点共线，则， ∴，解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ， 设运动时间为 ， 当旋转到与重合时运动停止， ， ， ①当、、三点共线时，旋转的角度为， ； 运动停止时，即时，旋转的角度为， ； ②当、、三点共线时，， 当时，，， ； 当时，，， ， 综上，时，；当时，． 【典例5】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【答案】(1)120 (2)解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出的度数； （2）根据，判断出与之间满足什么等量关系即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【典例6】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图1，，过点O在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点O顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为t秒． (1)当射线位于射线的左侧时，______（用含t的式子表示）； (2)当射线平分时，求t的值； (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)35 (3)当时，或90 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）先求出求出度数，再根据，列出方程，即可； （2）根据角平分线的定义可得，列出方程，即可； （3）分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵∠AOB = 120° ，∠AOC = ∠BOC， ∴， ∴， ∵射线从射线开始以每秒的速度绕着点O顺时针转动， ∴， ∴当射线位于射线的左侧时，， （2）解：∵射线平分， ， ， 解得； （3）解：由题意得， ①当未转动到时，， ∵， ∴， 解得； ②当与重合时，则， ∴，不符合题意，应舍去； ③当越过时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述， 当时，或90． 模型5. 角的等分线模型 【模型提炼】 角的等分线，角平分线是「2等分」，三等分线是「3等分」，以此类推。 本质规律：大角被平均分成 等份，每份角度完全相等，全程依靠份数运算、角的和差、份数差计算角度。 解题步骤 第一步：定份数、找单份角度 看到几等分，立刻写出单份角度：单份角度原大角，所有复杂角度，本质都是「几份角的加减」。 第二步：标注所有等分射线、数清序号 从边开始，依次标记第1、第2、第3……第条等分线。 核心关键：角度 = 份数 × 单份角 第三步：判断夹角份数 两条等分线的夹角，不用逐个加减，直接用：夹角份数 = 后序号前序号 第四步：代入计算或列方程 已知大角直接算；未知大角设为，利用份数关系列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 【典例2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图1，在内部画一条射线，将分成，两个角（所有角均为大于且小于的角）． (1)若射线是的一条三等分线（），则与的数量关系是___________： (2)若，射线分所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于，求的度数； (3)如图2，射线平分，过点再作一条射线，使得在内部，且．若与的和比多，求的度数． 【答案】(1) (2)C的度数为或 (3) 【分析】此题考查了角的和差计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三等分线的定义求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别根据题意求解即可； （3）设，表示出，然后由角平分线得到，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线是的一条三等分线（） ∴； （2）解：①当时，． ． ， ． ． ②当时，． ． ， ． ． 综上所述：的度数为或； （3）解：如图，设． ∵OC平分 ， 与的和比 多， 解得 ． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题考查结合新定义“四分位线”考查角的等分线，涉及角的旋转运动、角的和差计算等知识，关键是紧扣定义，结合角的旋转速度与时间的关系推导角度表达式． （1）根据“四分位线”的定义，直接代入计算； （2）①先求出的度数，再根据“四分位线”定义得到的度数，结合旋转速度计算时间； ②先推导旋转后与的表达式，根据“定值”条件确定的值，再结合“四分位线”定义求出，最终计算． 【详解】（1）解：∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵射线的旋转速度为每秒， ∴运动时间， 即运动时间为秒； ②解：∵绕着点以每秒的速度逆时针旋转，初始， ∴旋转后， ∵射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵为定值， ∴，解得， ∵射线是的“四分位线”， ∴，即，解得， ∴． 【典例4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【典例5】（25-26七年级上·广东深圳·期末）在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①7；②         （3）4分钟、8分钟、16分钟、20分钟     （4）①；②   【分析】本题考查线段的中点，角的平分线，线段的三等分点，角的三等分线，线段的n等分点，角的n等分线的性质； （1）根据角平分线的性质即可解答； （2）①根据线段的中点，线段的三等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的三等分线的性质即可解答； （3）根据角的三等分线的性质求出经过时扫过的角度即可解答； （4）①根据线段的中点，线段的n等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的n等分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴； （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是上最靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条三等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， 在到过程中， 当时，需要（分钟）； 当时，需要（分钟）； 在到过程中， 当共扫过时，需要（分钟）； 当共扫过时，需要（分钟）； ∴激光过4分钟，8分钟，16分钟，20分钟时经过的三等分线； （4）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是最靠近点的一个等分点， ∴， ∵点是的中点， ， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 1．（2026春•博兴县期末）如图，直线AB与直线CD交于点O．OE，OC分别是∠AOC与∠BOE的角平分线，则∠AOD为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】根据角的概念，角分线的定义进行计算． 【解答】解：根据题意可知，∠AOE＝∠EOC＝∠BOC， ∴∠AOE＝∠EOC＝∠BOC＝60°， ∵直线AB与直线CD交于点O， ∴∠AOD＝∠BOC＝60°． 故选：B． 2．（2026•白云区校级开学）将一张长方形纸条ABCD按如图折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（　　） A．52° B．62° C．64° D．58° 【分析】由折叠性质知∠FEC＝∠FEC′＝64°，可求出∠C′EB的度数；因矩形ABCD中AD∥BC，故∠AGC′（即∠1）与∠C′EB是同位角，根据平行线同位角相等，可得∠1＝∠C′EB，从而得出∠1的度数． 【解答】解：∵纸条ABCD是长方形， ∴AD∥BC， 由折叠性质得∠FEC＝∠FEC′＝64°， ∴∠C′EB＝180°﹣∠FEC﹣∠FEC′＝180°﹣64°﹣64°＝52°， ∵AD∥BC，∠1与∠C′EB是同位角， ∴∠1＝∠C′EB＝52°． 故选：A． 3．（2026春•芗城区校级期中）如图，现有长方形纸片ABCD，将∠CBD沿对角线BD折叠，得到∠C′BD，C′B与AD相交于点E，将∠ABE沿BE折叠，得到∠A′BE．若∠A′BD＝15°，则∠ADB的度数为（　　） A．15° B．20° C．35° D．55° 【分析】设∠CBD＝x，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD＝x，由折叠的性质可知∠C′BD＝∠CBD＝x，∠ABE＝∠A′BE．从而可利用x表示出∠ABC，再根据∠ABC＝90°，列出等式，解出x即可． 【解答】解：根据题意，设∠CBD＝x， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝x 又∵∠C′BD＝∠CBD＝x，∠ABE＝∠A′BE＝∠C′BD﹣∠A′BD＝x﹣15°， ∴∠ABE＝∠A′BE＝x﹣15°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠C′BD+∠CBD＝x+x+x﹣15°， ∵长方形纸片ABCD， ∴∠ABC＝90°， ∴x+x+x﹣15°＝90°， 解得：x＝35°， ∴∠ADB＝35°． 故选：C． 4．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 5．（2025秋•南京期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【分析】先通过平角性质由∠BOD＝150°，求出∠AOD再利用角平分线定义依次推出∠AOC、∠BOC、∠BOE的度数，最后结合平角求出∠AOE． 【解答】解：∵A、O、B共线， ∴∠AOB＝180°， ∵已知∠BOD＝150°， ∴∠AOD＝180°﹣150°＝30°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝2×30°＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC120°＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 6．（2026春•平陆县期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，CE，且∠AEB＝57°，分别沿直线BE，CE折叠并压平，如图2，∠A′ED′＝16°，则∠A′EC的度数为（　　） A．25° B．33° C．17° D．50° 【分析】利用折叠的性质、角的和差关系，即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，∠D′EC＝∠DEC，∠A′EB＝∠AEB＝57°， ∴∠A′EA＝∠A′EB+∠AEB＝114°， ∴∠D′EA＝∠A′EA﹣∠A′ED′＝114°﹣16°＝98°， ∴∠D′ED＝180°﹣∠D′EA＝180°﹣98°＝82°， ∴， ∴∠A′EC＝∠D′EC﹣∠A′ED′＝41°﹣16°＝25°． 故选：A． 7．（2025秋•潮南区期末）如图，已知，∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB的度数． 【分析】直接利用角平分线的定义结合已知角度得出∠BOF的度数，进而分析得出答案． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB， ∴∠BOE∠AOB＝45°， ∵∠EOF＝60°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝15°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COB＝2∠BOF＝30°． 8．如图，已知，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，根据角的和差和角平分线的定义表示出，然后根据求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，射线在的内部，且，射线是的平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】设，进而得到，角平分线得到，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∴． 10．（2026春•福山区期中）已知点A、O、B在同一直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）若∠AOD＝30°，求∠BOE的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义即可求解． 【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴， ∴； （2）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°， ∵OE平分∠BOC， ∴ 11．（2026春•让胡路区校级期末）如图，已知A，O，B三点共线，OD平分∠COB，OE平分∠AOC． （1）若∠COD＝30°，求∠AOE的度数； （2）若∠COE：∠COD＝5：4，求∠COE的度数． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，即可得出∠BOC＝2∠COD＝60°，然后求出∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°，最后根据得出答案； （2）先根据角平分线定义得∠BOC＝2∠COD，∠AOC＝2∠COE，再设∠COE＝5x，∠COD＝4x，则∠BOC＝2∠COD＝8x，∠AOC＝2∠COE＝10x，然后根据∠BOC+∠AOC＝180°列出方程，求出解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵OD平分∠COB，OE平分∠AOC， ∴． ∵∠COD＝30°， ∴∠BOC＝2∠COD＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴； （2）∵OE平分∠AOC，OD平分∠COB， ∴∠AOC＝2∠COE．∠BOC＝2∠COD， ∵∠COE：∠COD＝5：4， 设∠COD＝4x，∠COE＝5x， 则∠AOC＝2∠COE＝10x，∠BOC＝2∠COD＝8x， ∵∠BOC+∠AOC＝180°， ∴10x+8x＝180°， 解得x＝10°， ∴∠COE＝5x＝50°． 12．（2025秋•鹤壁期末）已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OE平分∠AOC． （1）如图①，若∠DOE＝15°，求∠BOC的度数． （2）当射线OC绕点O逆时针旋转到如图②的位置时，猜想∠BOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先求出∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝45°，再由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠COE＝90°，再由角的和差关系求解即可； （2）设∠DOE＝α，仿照（1）求出∠COE＝60°﹣α，∠AOC＝120°﹣2α，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠COD＝60°，∠DOE＝15°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣15°＝45°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠COE＝2×45°＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°； （2）∠BOC＝2∠DOE， 理由如下： 设∠DOE＝α， ∵∠COD＝60°，∠DOE＝α， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣α， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠COE＝120°﹣2α， ∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝2α， ∴∠BOC＝2∠DOE． 13．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得 ，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 14．（2025秋•揭东区期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角尺MON按如图所示的方式放置，且直角顶点在点O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM． （1）若∠CON＝28°，求∠COB的度数； （2）若∠NOC：∠BON＝1：2，求∠NOC的度数． 【分析】（1）根据直角三角形得∠MON＝90°，求得∠MOC＝62°，然后根据角平分线的性质即可求解； （2）根据比例关系设∠NOC为x，则∠BON＝2x，求得∠BOC＝3x，然后根据角平分线的性质即可求解； 【解答】解：（1）∵∠CON＝28°，∠MON＝90°， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠CON＝62°， ∵OC平分∠BOM， ∴∠COB＝∠MOC＝62°（角平分线的定义）； （2）∵∠NOC：∠BON＝1：2， 设∠NOC为x， 则∠BON＝2x， ∴∠BOC＝∠NOC+∠BON＝3x， ∵OC平分∠MOB， ∴∠MOC＝∠BOC＝3x， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝4x＝90°， 解得：x＝22.5°， 即∠NOC＝22.5°． 15．（2026春•沂源县期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】 （1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】 （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】 （3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答； （2）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答； （3）根据双中点模型进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）因为∠AOB＝80°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+30°＝110°， 因为OM平分∠AOC， 所以， 因为ON平分∠BOC， 所以， 所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝55°﹣15°＝40°， 即∠MON的度数为40°； （2）因为∠AOB＝α，∠BOC＝β， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β， 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，， 因为∠MON＝∠MOC﹣∠CON， 所以， 即∠MON的度数为α； （3）， 理由如下： 因为点M是AC的中点，点N是BC的中点． 所以，， 所以， 即MNAB． 16．（2025秋•济宁期末）【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 【分析】（1）根据角之间的数量关系和角平分线性质求出∠AOM和∠AON的度数，再将两个角的度数相加便是答案； （2）根据角之间的数量关系和角平分线性质求出∠BOC和∠COM的度数，再将两个角的度数相减便是答案； （3）角含有α的式子表示出2∠AOC＝∠BOC，再计算出∠AOP和∠COQ的数量关系． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝40°． 又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝40°÷2＝20°； ∠AON＝120°÷2＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°． （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝90°÷3＝30°； ∠BOC＝90°﹣30°＝60°． ∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°． 又∵OM平分∠COD， ∴∠COMCOD30°＝15°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°． （3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α． ∵∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC， ∴2∠AOC＝∠BOC． ∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ， ∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α， ∴2∠AOP＝∠COQ． 17．（2026春•张店区期中）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段AB＝18cm，C为线段AB上的一个动点，D，E分别是AC和BC的中点． ①若AC＝14cm，则线段DE＝　9　 cm． ②若AC＝acm（a＜18），则线段DE＝　9　 cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，求∠DOE的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，∠COD在∠AOB内部，∠AOB＝α（α＜180°），∠COD＝36°，且∠COE＝2∠AOE，∠DOF＝2∠BOF，请直接写出∠EOF的度数．（用含α的式子表示） 【分析】（1）①根据线段中点的定义得到，由DE＝DC+EC得到，即可求解；②方法同①； （2）根据角平分线的定义得到，由∠DOE＝∠DOC+∠EOC，得到，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义得到，则∠COE+∠DOF，由∠EOF＝∠COD+∠COE+∠DOF即可求解． 【解答】解：（1）①AC＝14cm，AB＝18cm， ∴BC＝AB﹣AC＝18﹣14＝4cm， ∵D，E分别是AC和BC的中点， ∴， ∵DE＝DC+EC， ∴， 故答案为：9； ②同理，， 故答案为：9； （2）∵∠AOB＝120°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，OC是∠AOB内部的一条射线， ∴， ∵∠DOE＝∠DOC+∠EOC， ∴， ∴∠DOE的度数为60°； （3）∵∠DOF＝2∠BOF，∠COE＝2∠AOE， ∴， ∵∠COD在∠AOB内部，∠COD＝36°，∠AOB＝α（α＜180°）， ∴∠COE+∠DOF ， ∴． 18．已知，，三点共线，点在直线下方，，直角三角板中． (1)将直角三角板如图①摆放，使在的内部且平分，求的度数． (2)将直角三角板如图②摆放，使在的内部，探究发现与的数量关系是：，请说明理由； (3)将直角三角板如图③摆放，使在射线上，若图中的线段按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转至第秒时，直线恰好平分锐角，直接写出的值． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质和角的和差关系进行计算即可； （2）用表示出和，然后作差即可； （3）设在旋转过程中，点的对应点为点，分为在内部和外部两种情况讨论，计算出对应的旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：设在旋转过程中，点的对应点为点， ①如图，当在内部时， 由题意可知，平分， ∴， ∵， ∴旋转的角度， ∵的旋转速度为每秒， ∴，解得； ②如图，当在外部时， 由题意可知，的反向延长线平分， ∴， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴，解得； 综上所述，的值为或． 19．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 °，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．（用含的代数式表示） (2)如图3，如，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ②当t为多少秒时，射线中恰好有一条射线是射线的伴随线． 【答案】(1)40； (2)①存在，秒或25秒；②或 【分析】（1）射线是射线的伴随线，则，那么同理，若的度数是，射线是射线的伴随线，则，而，再由求解； （2）①分相遇之前和相遇之后，根据角的和差建立方程求解；②分是的伴随线和是的伴随线两种情况，根据伴随线的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线是射线的伴随线 ∴ ∴ 同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ∴ ∵射线是的平分线 ∴ ∴； （2）解：①存在， 射线与重合时，（秒） 当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ∴； 若在相遇之后，则， ∴； 所以，综上所述，当秒或25秒时，的度数是； ②当是的伴随线时，如图1 则， 即， ； 当是的伴随线时，如图2， 则， 即， ， 综上：当或时，射线中恰好有一条射线是射线的伴随线． 20．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求和的度数； (2)如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束，绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转，且与同时停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着点从开始以15度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)， (2)或 (3)当时，；当时，． 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的数量关系以及和差关系进行求解即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）根据在某时间段内为定值，则的值与的值无关，则必须在直线的同侧，故分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 由题意，射线旋转的总时间为（秒）；当停止时，旋转的度数为， 故在旋转过程中，， 当时，分两种情况， ①在上方时，，解得； ②与重合时，，解得； 综上：或； （3）解：由题意，， 当时，此时，（秒）； 当时，此时，则，（秒）； 当，（秒）； 当点与点重合时，（秒）； ①当时， 由题意，，， ∴，， ∴； ②当时， 由题意， ∴，， ∴； 综上：当时，；当时，． 21．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 22．（25-26七年级上·山东青岛·期末）平面内在直线上方有一定点，点在直线上运动，过点在直线上方作射线，使得． (1)如图，当点运动到点的左侧时，连接，在射线另一侧作射线，使得．将射线绕点逆时针旋转得到射线． 若，求的度数； 当时，求的度数； (2)当点运动到某一时刻，射线与直线构成的角为，在射线左侧作，的边与射线重合，然后从射线出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转一周，射线为的角平分线．设运动时间为秒．当射线三等分时，求出的值． 【答案】(1) ； ； (2)15或24或135或144 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，角的三等分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①求出的度数，由平角的定义求出的度数，再由角的和差关系可得答案；②设，， 则，，根据，可得，，解方程即可得到答案； （2）分两种情况：和，当射线三等分时，射线一定要在的内部，据此画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∴； 设，， 则，， ∵， ∴， ∴ ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图2-1所示，当时， ∵， ∴，， ∵旋转前，的边与射线重合，且， ∴旋转前， 当时，射线和射线都在内部，此时， ∵平分， ∴， ∴此时射线一定在的内部， 此时， ∵射线三等分， ∴或， ∴或， 解得或； 如图2-2-1，图2-2-2，图2-2-3所示，当时，此时射线均在外部，不满足题意； 当时， 如图2-3所示，当时，此时不能满足射线在内部，即此时不可能满足射线三等分； 如图2-4所示，当时，则， ∵，且平分， ∴， ∴此时射线在的内部，即射线在的外部， ∴此时不可能满足射线三等分； 如图2-5所示，当时，此时， ∵，且平分， ∴， ∴此时射线在的内部， 此时， ， ∵射线三等分， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，t的值为15或24或135或144． 23．（25-26六年级上·上海静安·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)若，为的3分位线，且，则 ． (2)如图2，点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则 ；②若，当α变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①； ②不发生变化，过程： 当时，，，， ， (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算， （1）根据题意可得，再由，进而求解即可； （2）由题意可得：，①由得，，，，进而求得，即可求解；②由得，，，进而得，再求解即可； （3）由、的位置不确定，所以分4种情况讨论， 时，或；，时，或，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：，且， ∴，； （2）解：由题意可得：， ①当时， 则，， ∵， ∴，， ∴． ②略 （3）解：设，则， ∵射线、分别是与的5分位线， ∴，， ∵， ∵、的位置不确定，所以分4种情况讨论： 当时，或， 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴方程无解，不符合实际情况，舍去； 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，或， 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 设，则，，， 又∵， ∴， ∴方程无解，不符合实际情况，舍去； 综上所述：或． 24．（25-26六年级下·上海·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $