专题01 绝对值的五类最值模型（绝对值的几何意义）（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义以绝对值几何意义为核心，系统构建五大最值模型知识体系，通过数轴直观图示、分类表格及模型提炼框架，梳理单绝对值方程、两绝对值和差、多绝对值累加等题型脉络，呈现零点定位、区间分析等重难点内在联系。 讲义亮点在于“几何直观替代代数硬算”的方法创新，如两绝对值和最值问题借助“两点之间线段最短”推导取值规律，多绝对值累加总结“奇中点偶中段”模型，培养推理意识与模型意识。典例涵盖2025年校级期中题，分层练习适配不同学生，助力教师实施精准化复习教学。

专题01 绝对值的五类最值模型（绝对值的几何意义） 数轴是绝对值的几何载体，本质就是数轴上动点到定点的距离，摆脱纯粹的代数分段讨论，借助数轴距离的直观性，能把繁杂的绝对值方程、不等式、最值问题转化为简单的数轴点位分析。 我们学习的绝对值模型，全部围绕“距离”这个核心展开：单点绝对值对应定点距离，双绝对值和/差对应两点间距离和与距离差，多个绝对值求和依托零点排序找最优点位。所有题型都可以脱离繁琐的分类去绝对值运算，依靠数轴的位置关系直接判断解的个数、取值区间、最值大小以及取最值的的范围。 整套模型分为五大基础模块：单绝对值方程与取值范围、两绝对值和的方程与最值、两绝对值差的最值、多绝对值累加最值和模型。做题时优先确定绝对值零点，在数轴标注定点，再根据题意判断动点的活动区域，区分区间取中间、外侧取极值的两类核心规律。 后续练习中牢记两个核心前提：距离恒非负，两点之间线段最短，这两条原理贯穿所有绝对值几何题 型，也是区分代数硬算和几何巧解的关键。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值模型 8 模型3. 的最小值和最大值模型. 12 模型4.的最小值模型 19 模型5. 型最值模型 26 模型运用 28 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （1）绝对值具有非负性，即； （2）绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ （3）距离和模型 把两个单点距离叠加，代表动点分别到、两点的距离之和。 理论依据：两点之间线段最短，因此动点落在两点中间时，距离和最小，最小值就是两定点的固定间距。 后续解方程的三种解数情况，完全是由这条线段公理推导得出。 （4）距离差模型 同样基于两点距离，分析动点在不同区域内两段距离的差值变化。当动点跑到定点外侧时差值达到固定最值，区间内差值连续变化，来源于数轴上线段的长短比较。 （5）多个绝对值相加的奇偶点最值模型 将多个定点在数轴上排序后，本质是在寻找一个点，使总路程最短，属于数轴上的选址最短路径问题。 奇数个零点取中间点，偶数个零点取中间区间，是在累加多个单点距离后总结出的通用最优选址规律。 模型1. 解方程 【模型提炼与证明】 1. 表示数轴上动点到的距离，则表示数轴上动点到的距离等于。 距离本身是非负数，因此必须对 b 的正负分类讨论。 （1）当，绝对值代表距离，距离不可能为负数，方程无解； （2）当，距离为0，动点与定点重合。 ，仅有唯一解。 （3）当，到 a 距离为 b 的点有两个，分别在 a 的左右两侧： 或，解得两个解：或。 2. 代表数轴上动点 x 到两个定点 a、b 的距离之和。不妨设 a<b，两定点之间固定距离： L = b-a。 （1）k < L 两点间最短距离就是线段长 L，距离和不可能比 L 更小。 结论：方程无解。 （2）k = L 动点 x 落在 a、b 两点之间（包含端点）时，距离和恒等于 L。 结论：无数个解，解集为。 （3）k > L x 要跑到线段 AB 的外侧，左边一个解，右边一个解。 结论：恰好两个解，为或。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•船营区校级期中）阅读下列材料： 我们知道，|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离：|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上数a与数b对应点之间的距离． 如：数轴上数2与数5对应点之间的距离为|2﹣5|＝3； 数轴上数2与数﹣7对应点之间的距离为|2﹣（﹣7）|＝9； 又如：已知|x﹣1|＝2，求x的值．意为：数轴上数x与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知x的值为﹣1或3．请运用上述的几何方法解决下列问题： （1）若|x|＝3，则x＝　3或﹣3　 ； （2）若|x﹣3|＝2，则x＝　5或1　 ； （3）若|x+2|＝4，则x＝　2或﹣6　 ； （4）若|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x为　﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　 ． 【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可； （2）根据绝对值的定义可得x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，分别求解即可； （3）根据绝对值的定义可得x+2＝4或x+2＝﹣4，分别求解即可； （4）根据绝对值的几何意义可得﹣3≤x≤2，求出此范围内的整数即可； 【解答】解：（1）∵|x|＝3， ∴x＝3或x＝﹣3， 故答案为：3或﹣3； （2）∵|x﹣3|＝2， ∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， 故答案为：5或1； （3）∵|x+2|＝4， ∴x+2＝4或x+2＝﹣4， 解得x＝2或x＝﹣6， 故答案为：2或﹣6； （4）∵|x+3|+|x﹣2|＝5， ∴﹣3≤x≤2， ∵x是整数， ∴x的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 故答案为：2或﹣6； 故答案为：（1）3或﹣3；（2）5或1；（3）2或﹣6；（4）﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 【典例2】阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示6与﹣4的两点之间的距离是　10　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是　|x﹣2|　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1.5|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 【分析】（1）根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； （2）根据绝对值的定义可得m﹣2＝±3，解方程即可得到m的值； （3）根据绝对值表示的意义分当n＜﹣3、﹣3≤n≤2、n＞2时三段分别求解； （4）根据绝对值表示的意义可知数式|x﹣1.5|+|x+a|＝|x﹣1.5|+|x﹣（﹣a）|表示x到1.5和﹣a的距离之和，所以可知当代数式取最小值4时，表示x的点一定在1.5和a之间且1.5和﹣a的距离是4，可得|﹣a﹣1.5|＝4，根据绝对值的意义解方程求出a． 【解答】解：（1）根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示6与﹣4的两点之间的距离为：|6﹣（﹣4）|＝|6+4|＝10， 数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|． 故答案为：10；|x﹣2|； （2）根据题意可知，m﹣2＝±3， ∴m﹣2＝3或m﹣2＝﹣3， 解得：m＝5或m＝﹣1； （3）当n＜﹣3时， ∵|n﹣2|+|n+3|＝5， ∴（2﹣n）+[﹣（n+3）]＝5， ﹣2n﹣1＝5， 解得：n＝﹣3， ∵n＜﹣3， ∴n＝﹣3不在取值范围之内，故不符合题意； 当﹣3≤n≤2时， （2﹣n）+（n+3）＝5， 5＝5， 即当﹣3≤n≤2时，|n﹣2|+|n+3|＝5恒成立， 在﹣3≤n≤2之间的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； 当n＞2时，n﹣2+n+3＝5， 解得：n＝2，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）根据绝对值的几何意义可知，|x﹣1.5|+|x+a|＝|x﹣1.5|+|x﹣（﹣a）|表示x到1.5和﹣a的距离之和， 又∵最小值为4， ∴点x一定在1.5和﹣a之间，且1.5和﹣a的距离是4， 即|﹣a﹣1.5|＝4， ∴﹣1.5﹣a＝±4， 解得：a＝2.5或﹣5.5． 【典例3】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法计算即可； （2）根据条件去掉绝对值化简； （3）分类讨论，去掉绝对值并解方程即可． 【解答】解：（1）AB＝|﹣4﹣8|＝12； （2）根据题意得， |m+4|+|m﹣8| ＝|m﹣（﹣4）|+|m﹣8| ＝m﹣（﹣4）+8﹣m＝12； （3）当m＜﹣4时，|m+4|+|m﹣8|＝﹣（m+4）+[﹣（m﹣8）]＝20， m＝﹣8； 当m＞8时，|m+4|+|m﹣8|＝（m+4）+（m﹣8）＝20， m＝12； ∴m＝﹣8或12． 【典例4】（2025秋•兰山区校级月考）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，AB表示A，B两点之间的距离，则AB＝|a﹣b|．如：4与﹣2两数在数轴上对应的两点之间的距离为|4﹣（﹣2）|＝6；又如：|x+2|可以写成|x﹣（﹣2）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离． 解决问题： （1）若|x+2|＝6，则x＝　4或﹣8　 ，若|x+2|＝|x﹣3|，则x＝　　 ． （2）|x+2|+|x﹣3|表示数轴上有理数x对应的点到﹣2和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①|x+2|+|x﹣3|＝5； ②|x+2|+|x﹣3|＝7． 猜想： （3）对于任何有理数x，|x+5|+|x+3|+|x﹣2|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，|x+5|+|x+3|+|x﹣2|表示到﹣5，﹣3，2这三点的距离和最小值，则当x＝﹣3时，取得最小值，即可求解． 【解答】解：（1）∵|x+2|＝6， ∴x+2＝6或x+2＝﹣6， ∴x＝4或x＝﹣8； ∵|x+2|＝|x﹣3|， 则表示x到﹣2和3的距离相等， ∴． 故答案为：4或﹣8；； （2）①|x+2|+|x﹣3|＝5表示数轴上有理数x对应的点到﹣2和3对应的两点距离之和为5， ∵3﹣（﹣2）＝5， ∴﹣2≤x≤3的整数符合题意， ∴使得|x+2|+|x﹣3|＝5成立的所有符合条件的整数x为：﹣2，﹣1，0，1，2，3； ②|x+2|+|x﹣3|＝7表示数轴上有理数x对应的点到﹣2和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵3﹣（﹣2）＝5， ∴表示x的数在﹣2的左侧或在3的右侧一个单位时|x+2|+|x﹣3|＝7成立， ∴x＝﹣3或x＝4的整数符合题意， ∴使得|x+2|+|x﹣3|＝7成立的所有符合条件的整数x为：﹣3，4； （3）对于任何有理数x，|x+5|+|x+3|+|x﹣2|有最小值，最小值为7． ∵|x+5|+|x+3|+|x﹣2|表示数x的点到表示﹣5，﹣3，2的点的距离之和， ∴当x＝﹣3时，代数式|x+5|+|x+3|+|x﹣2|的最小值为：|2﹣（﹣5）|＝7． 模型2. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 【模型运用】 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　﹣4或2　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　12　 ． （4）当a＝　1　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　7　 ． 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解； 根据两点间的距离的表示列式计算即可得解； （3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解； （4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）|1﹣4|＝3， |﹣3﹣2|＝5， |a﹣（﹣1）|＝3， 所以，a+1＝3或a+1＝﹣3， 解得a＝﹣4或a＝2； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6； （3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12． 故这些点表示的数的和是12； （4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7． 故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7． 【典例2】（2025秋•广元月考）阅读以下材料，解决问题． |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离，例如|5﹣2|为数轴上表示5的点与表示2的点的距离；|5﹣（﹣2）|为数轴上表示5的点与表示﹣2的点的距离． （1）数轴上表示x的点A与表示﹣1的点B之间的距离为　|x﹣（﹣1）|　 ，如果|AB|＝3，那么x的值为　2或﹣4　 ； （2）若点A表示的整数为x，当|x+4|与|x﹣2|的值相等时，此时x为　﹣1　 ； （3）当代数式|x+5|+|x﹣2|取得最小值时，求出x的取值范围． 【分析】（1）把表示x的点A与表示﹣1的点B之间的距离写成|x﹣（﹣1）|，|AB|＝3，表示到﹣1的点距离等于3的两个点分别是2或﹣4，即可得到答案； （2）表示x是表示﹣4与2两个点的中点； （3）表示x的点到表示﹣5与1的点的距离之和取最小值，表示x的点应在表示﹣5与2的点之间． 【解答】解：（1）表示x的点A与表示﹣1的点B之间的距离写成|x﹣（﹣1）|， ∵|AB|＝3， ∴|x﹣（﹣1）|＝3， 解得x＝2或﹣4， 故答案为：|x﹣（﹣1）|，2或﹣4； （2）∵当|x+4|与|x﹣2|的值相等时，x是表示﹣4与2两个点的中点， ∴x＝（﹣4+2）÷2＝﹣1， 故答案为：﹣1； （3）|x+5|+|x﹣2|取得最小值，表示x的点到表示﹣5与1的点的距离之和取最小值，表示x的点应在表示﹣5与2的点之间， 即﹣5≤x≤2． 【典例3】（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　﹣4或2　 ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　8　 ，最小距离是　2　 ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算公式进行计算即可； （2）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （4）根据绝对值的几何意义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5， 所以数轴上表示4和1的两点之间的距离是3，表示﹣3和2两点之间的距离是5． 故答案为：3，5； （2）因为代数式|x+1|的值可看成数轴上表示数x的点到表示﹣1的点的距离， 又因为|x+1|＝3， 则﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2， 所以x＝﹣4或2． 故答案为：﹣4或2； （3）因为|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， 所以a＝1或5，b＝﹣3或﹣1， 则A、B两点间的最大距离是：5﹣（﹣3）＝8，最小距离是：1﹣（﹣1）＝2． 故答案为：8，2； （4）代数式|x﹣3|+|x﹣6|的值可看成数轴上表示数x的点到表示3和6的点的距离之和． 当表示数x的点在表示3的点和6的点之间时（包括端点）， 代数式|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为：6﹣3＝3， 所以当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为3． 【典例4】（2025秋•管城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　2　 ；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　5　 ，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　|x+5|　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　5或﹣5　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，数3和数1的两个点之间的距离为|3﹣1|，数3和﹣2的两个点之间的距离为|3﹣（﹣2）|，数x与数﹣5的两个点之间的距离为|x﹣（﹣5）|； （2）|x+4|+|x﹣4|＝10表示数轴上表示x的点分别到数﹣4与数4表示的两个点的距离和，分三种情况讨论即可； （3）根据（2）可知，当数x位于数4和数﹣4之间时，|x+4|+|x﹣4|的值最小，求出取值范围即可； 【解答】解：（1）数3和数1的两个点之间的距离为|3﹣1|＝2； 数3和﹣2的两个点之间的距离为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5； 数x与数﹣5的两个点之间的距离为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|； 故答案是：2；5；|x+5|； （2）|x+4|+|x﹣4|＝10表示数轴上表示x的点分别到数﹣4与数4表示的两个点的距离和为10， 当数x位于数﹣4的左边，则， |x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝10， ∴﹣2x＝10， x＝﹣5； 当数x位于数4的右边，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝10， ∴2x＝10， ∴x＝5； 当数x位于数4和数﹣4的中间，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8≠10，舍去； 故答案是：5或﹣5； （3）存在，理由如下： 当数x位于数﹣4的左边，即x＜﹣4，则， |x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝﹣2x＞8， 当数x位于数4的右边，即x＞4，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝2x＞8； 当数x位于数4和数﹣4上及中间，即﹣4≤x≤4，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8； ∴当﹣4≤x≤4时，|x+4|+|x﹣4|有最小值8． 模型3. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　﹣2025　 ； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　9　 ． 【分析】（1）求出x+2025＝0时x的值即可得到答案； （2）先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； （3）先求出所求式子的零点，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【解答】解：（1）当x+2025＝0时，x＝﹣2025， ∴|x+2025|的零点值是x＝﹣2025； （2）当x﹣4＝0时，x＝4， 当x+7＝0时，x＝﹣7， 当﹣7≤x＜4时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）+x+7＝﹣x+4+x+7＝11； 当x＜﹣7时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）﹣（x+7）＝﹣x+4﹣x﹣7＝﹣2x﹣3； 当x≥4时，|x﹣4|+|x+7|＝x﹣4+x+7＝2x+3； 综上所述，， （3）当x﹣1＝0时，x＝1，当x+8＝0时，x＝﹣8， 当﹣8≤x＜1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）﹣（x+8）＝﹣x+1﹣x﹣8＝﹣2x﹣7， 当x＜﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）+（x+8）＝﹣x+1+x+8＝9； ∴当x＝﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|的值最大，最大为﹣2×（﹣8）﹣7＝9； 当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝x﹣1﹣（x+8）＝x﹣1﹣x﹣8＝﹣9； ∵9＞﹣9， ∴|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为9． 【典例2】（2025秋•天津校级月考）【定义新知】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为 　﹣11或1　 ； （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取正整数 　1　 ；|x+3|﹣|x﹣1|最大值为 　4　 ； （3）当x＝ 　﹣2　 时，|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|的值最小，最小值为 　12　 ； （4）一条东西向笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场西侧5km，东侧1km，东侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为300元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【分析】（1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义解答即可； （3）由绝对值的几何意义可得式子|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|的意义为表示x的点分别到﹣1、﹣6、﹣3、﹣2、4所表示的点的距离之和，可知当x＝﹣2时，距离之和最小，据此解答即可求解； （4）设菜鸟驿站P在x处，总运输成本为y元，分x≤﹣5，﹣5＜x≤1，1＜x≤3和x＞3四种情况，求出y的最小值，进而即可求解． 【解答】解：（1）式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离， 由题意可得：当x在﹣5的左边时，则x＝﹣5﹣6＝﹣11； 当x在﹣5的右边时，则x＝﹣5+6＝1； ∴x＝﹣11或x＝1， 故答案为：﹣11或1； （2）由题意可得：式子|x+3|+|x﹣1|的意义为表示有理数x的点到表示有理数﹣3的点与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和， ∴当x在﹣3和1之间时，|x+3|+|x﹣1|取最小值， ∴x可以取正整数1； 当x在1右侧时，|x+3|﹣|x﹣1|取最大值，最大值为1﹣（﹣3）＝4， 故答案为：1，4； （3）∵|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣（﹣6）|+|x﹣（﹣3）|+|x﹣（﹣2）|+|x﹣4|， ∴式子|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|的意义为表示x的点分别到﹣1、﹣6、﹣3、﹣2、4所表示的点的距离之和， ∴当x＝﹣2时，距离之和最小，最小值为4﹣（﹣6）+[﹣2﹣（﹣3）]+[﹣1﹣（﹣2）]＝10+1+1＝12， ∴|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为12， 故答案为：﹣2，12； （4）设菜鸟驿站P在x处，总运输成本为y元， 当x≤﹣5时， ∴y＝300（﹣5﹣x）+300（1﹣x）×2+300（3﹣x）×3＝﹣1800x+1800， ∵x≤﹣5， ∴当x＝﹣5时，y取最小值，y最小值＝﹣1800×（﹣5）+1800＝10800； 当﹣5＜x≤1时，y＝300（x+5）+300（1﹣x）×2+300（3﹣x）×3＝﹣1200x+4800， ∵﹣5＜x≤1， ∴当x＝1时，y取最小值，y最小值＝﹣1200×1+4800＝3600； 当1＜x≤3时，y＝300（x+5）+300（x﹣1）×2+300（3﹣x）×3＝3600； 当x＞3时，y＝300（x+5）+300（x﹣1）×2+300（x﹣3）×3＝1800x﹣1800， ∵x＞3， ∴y＞1800×3﹣1800＝3600； ∴建在居民区B、C之间时，成本最低，为3600元． 【典例3】（2025秋•武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　3　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　4　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x＝ 　1或﹣3　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　1　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　5　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　7　 ． 【分析】（1）①根据绝对值的几何意义计算即可得解；②由题意可得|x+1|＝2，解方程即可得解； （2）①根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解；②根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解； （3）根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解． 【解答】解：（1）①根据绝对值的几何意义计算可得： |5﹣2|＝3，|﹣3﹣1|＝4． 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得x＝1或x＝﹣3，即那么x为1或﹣3； 故答案为：|x+1|，1或﹣3； （2）①当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣2|＝1﹣x+2﹣x＝3﹣2x＞1， 当1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1， 当x＞2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＞1， 故|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是1． 故答案为：1； ②当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2+1﹣x+3﹣x＝2﹣3x＞8， 当﹣2≤x＜1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+1﹣x+3﹣x＝6﹣x＞5， 当1≤x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+3﹣x＝4+x≥5， 当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7， 故|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是5； 故答案为：5； （3）当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣3﹣（4﹣x）＝﹣x﹣3﹣4+x＝﹣7， 当﹣3≤x≤4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（4﹣x）＝x+3﹣4+x＝2x﹣1≤7， 当x＞4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（x﹣4）＝x+3﹣x+4＝7， 故|x+3|﹣|x﹣4|最大值是7． 故答案为：7． 【典例4】类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　﹣2　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　3　 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　5　 ． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　12　 ． 【分析】【操作•思考】根据题干可知前两空为﹣2和3，在画出数轴，根据范围分类讨论即可得解； 【尝试•思考】根据题干和第一问可知一定会利用数形结合，所以先画出数轴，然后分类讨论观察结果为正还是负，所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数，最后在根据等式建立方程求解即可． 【解答】解：【操作•思考】根据题干可知|x+2|是x和﹣2所对应的两个点的距离，|x﹣3|是x是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣2+x﹣3＝﹣5， ②当﹣2≤x≤3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2+x﹣3＝2x﹣1，在此范围内，当x＝3时，|x+2|﹣|x﹣3|＝5最大， ③当x＞3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2﹣x+3＝5， 综上，|x+2|﹣|x﹣3|最大值为5； 故答案为：﹣2，3，5． 【尝试•思考】 ①当x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝﹣x﹣2+x﹣2+x﹣6＝x﹣10＜0，为负数，不合题意； ②当﹣2≤x≤2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2+x﹣2+x﹣6＝3x﹣6＜0，为负数，不合题意； ③当2＜x≤6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2+x﹣6＝x﹣2＞0，为正数，符合题意； ④当x＞6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2﹣x+6＝10﹣x， 此时要想满足其值为正数，则x还要小于10， 所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即a可以在﹣2和6之间，则b在6和10之间， 当a在﹣2和6之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x﹣2＝a﹣2， 当b在6和10之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝10﹣x＝10﹣b， 所以a﹣2＝10﹣b， 所以a+b＝12． 故答案为：12． 模型4. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•宜兴市校级月考）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是﹣2．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． （1）若点A表示的数是﹣3，将点A向右移动5个单位长度至点A1，则点A1表示的数是　2　 ； （2）已知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是　﹣4.5　 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是　0　 ； （3）在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到﹣5.5所在的点处时，求M，N两点间的距离； （4）如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答问题：若x、y都表示有理数，请直接写出式子|x+1|+|x|+|y﹣3|+|y﹣4|+|x﹣y|的最小值　5　 ． 【分析】（1）根据题意进行列式﹣3+5，然后计算即可； （2）根据题意进行列式计算，即可作答； （3）先根据题意，列式计算，得出点M运动的时间，结合点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为0，列式计算得出点N表示的数，最后列式计算得出点M和点N之间的距离，即可作答； （4）根据绝对值的意义，分别判断出|x+1|+|x|、|y﹣3|+|y﹣4|、|x﹣y|的最小值，然后相加即可得解． 【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣3，将点A向右移动5个单位长度至点A1， ∴点A1表示的数是﹣3+5＝2， 故答案为：2； （2）由题意得，点D表示的数是2.5﹣7＝﹣4.5， ∴点C表示的数是， 故答案为：﹣4.5，0； （3）由题意得当点M运动到﹣5.5所在的点处时，M运动的时间为， 点N表示的数为0+2×4＝8， ∴M，N两点间的距离是8﹣（﹣5.5）＝13.5； （4）∵|x+1|+|x|表示数轴上表示x的点到﹣1和0的距离之和， ∵当﹣1≤x≤0时，|x+1|+|x|的最小值为1； ∵|y﹣3|+|y﹣4|表示数轴上表示y的点到3和4的距离之和， ∵当3≤y≤4时，|y﹣3|+|y﹣4|的最小值为1； ∵|x﹣y|表示数轴上表示x的点到表示y的点的距离， ∴当﹣1≤x≤0，3≤y≤4时，|x﹣y|的最小值为3﹣0＝3， ∴当﹣1≤x≤0，3≤y≤4时，|x+1|+|x|+|y﹣3|+|y﹣4|+|x﹣y|的最小值为1+1+3＝5， 故答案为：5． 【典例2】（2025秋•鄞州区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　6　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　4或﹣2　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　2026　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　﹣2.5或2026.5　 ． （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　7　 ． 【分析】（1）根据题中结论解答即可； （2）|x﹣1|＝3的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和，再分x在﹣1和2025之间和x不在﹣1和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在﹣1的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）写出|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的含义，再根据2在﹣4和3之间，且﹣4和3的距离等于|3﹣（﹣4）|＝7，得出当x＝2时，|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的值最小，最小值等于7． 【解答】解：（1）根据绝对值的几何意义可知，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）根据绝对值的几何意义可知，|x﹣1|＝3表示x和1的两点之间的距离是3， ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）根据绝对值的几何意义可知，|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝x+1+2025﹣x＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026， 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣x﹣1﹣x+2025＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029， 解得：x＝﹣2.5， 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝x+1+x﹣2025＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029， 解得：x＝2026.5． 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5； （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|表示x与﹣4两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在﹣4和3之间，且﹣4和3的距离等于|3﹣（﹣4）|＝7， 所以当x＝2时，|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 【典例3】（2025秋•赣榆区期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 （1）求代数式|x﹣1|+|x﹣2|的最小值； （2）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　2　 ； （3）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值为　1025156　 ． 【分析】（1）利用数轴知识和绝对值的定义解答； （2）利用数轴知识和绝对值的定义解答； （3）利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是2﹣1＝1； （2）当x＝2时，数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是1+0+1＝2， 故答案为：2； （3）x＝（2025+1）÷2＝1013时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|有最小值， （1013﹣1+1013﹣2+...+2+1+0）×2 ＝（1+2+3+...+1012）×2 ＝（1+1012）×1012 ＝1013×1012 ＝1025156． 故答案为：1025156． 【典例4】（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　4　 ，点A到点C的距离是 　8　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　|x+3|+|x﹣1|　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　5或﹣3　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　4　 ；当x的值在 　1≤x≤3　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　4　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法得到A、B之间的距离为|x+3|，A、C之间的距离为|x﹣1|即可； （3）①分x＜﹣1，x＞3，﹣1≤x≤3三种情况进行解答；②根据x的不同取值范围得出答案； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的值最小，最小值为1+3+5+…+97+99． 【解答】解：（1）由条件可知A到B的距离是|﹣5﹣（﹣1）|＝4，A到C的距离是|﹣5﹣3|＝8， 故答案为：4，8； （2）由条件可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|， 故答案为：|x+3|+|x﹣1|； （3）①当x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8即3﹣x﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣3， 当x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8即x﹣3+x+1＝8，解得x＝5， 当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|表示﹣1，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立； 故满足的x的所有值是5或﹣3， 故答案为：5或﹣3； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是3﹣（﹣1）＝4， 当x在1≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是|3﹣1|＝2， 当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是4， 故答案为：4，1≤x≤3，4； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值为． 【典例5】（2025秋•姜堰区月考）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图，它们表示的数分别是a，b，c． （1）填空a×b×c　＜　 0，a+b　＞　 0，﹣a﹣b　＜　 0（填“＞”，“＝”或“＜”） （2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，当﹣|b|＝﹣4时，求c的值． （3）在（2）的条件下，若M是数轴上一个动点，设点M表示的数为m，当M点在运动过程中，求|m+a|+|m+b|+|m+c|的最小值及此时m的值． 【分析】（1）利用数轴求得a，b，c的符号，再利用有理数的乘法法则和加法法则解答即可； （2）利用有理数乘方的意义和数轴上的点的意义解答即可； （3）|m﹣2|+|m+4|+|m+10|＝|m﹣2|+|m﹣（﹣4）|+|m﹣（﹣10）|表示点M到2，﹣4，﹣10三点距离之和，当点M在表示﹣4的点位置时距离之和最小，据此求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，a＜0，0＜b＜c，|a|＜|b|， ∴a×b×c＜0，a+b＞0，﹣a﹣b＜0． 故答案为：＜；＞；＜； （2）∵﹣|b|＝﹣4，b＞0， ∴b＝4， ∵a＝﹣2，BC＝AB， ∴c﹣4＝4﹣（﹣2）， c﹣4＝4+2， c﹣4＝6， ∴c＝10； （3）在（2）的条件下|m+a|+|m+b|+|m+c|＝|m﹣2|+|m+4|+|m+10|， |m﹣2|+|m+4|+|m+10|＝|m﹣2|+|m﹣（﹣4）|+|m﹣（﹣10）|表示点M到2，﹣4，﹣10三点距离之和， 当点M在表示﹣4的点位置时距离之和最小，即|m﹣2|+|m+4|+|m+10|＝|m﹣2|+|m﹣（﹣4）|+|m﹣（﹣10）|最小，m＝﹣4， ∴|m+a|+|m+b|+|m+c|的最小值为： |m+a|+|m+b|+|m+c| ＝|m﹣2|+|m+4|+|m+10| ＝|﹣4﹣2|+|﹣4+4|+|﹣4+10| ＝12． 模型5. 型最值模型 【模型提炼与证明】 ：当a＞0时， ∵， ∴，即取得最小值为b； 当a＜0时， ∵， ∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•舟山期末）式子2026﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【分析】根据绝对值的非负性可知﹣|x+4|≤0，进而作答即可． 【解答】解：根据绝对值的非负性可知： 2026﹣|x+4|≤2026， ∴最大值是2026． 故选：B． 【典例2】（2025秋•灵武市校级期末）已知a为有理数，则|a﹣1|+1的最小值为　1　 ． 【分析】根据绝对值的非负性，|a﹣1|≥0，从而推导出表达式的最小值． 【解答】解：∵a为有理数， ∴|a﹣1|≥0， ∴|a﹣1|+1的最小值为1． 故答案为：1． 【典例3】（2025秋•银川校级月考）当a＝　2025　 时，|2025﹣a|+1会取得最小值，且最小值是　1　 ． 【分析】解题核心思路：绝对值表达式|x|的最小值为0，当且仅当x＝0时取得．因此，对于形如|k﹣a|+c的表达式，当|k﹣a|求得最小值0时，整个表达式的最小值即为c，对应的a值为k． 【解答】解：∵1＞0，|2025﹣a|≥0， ∴|2025﹣a|取最小值0时，|2025﹣a|+1会取得最小值， 此时a＝2025．|2025﹣a|+1最小值是1． 故答案为：2025；1． 【典例4】当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝　81　 ． 【分析】根据偶次方和绝对值的非负数性质解答即可． 【解答】解：∵（x+3）2≥0，|y﹣4|≥0， ∴当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x+3＝0，y﹣4＝0， 解得x＝﹣3，y＝4， ∴xy＝（﹣3）4＝81． 故答案为：81． 【典例5】（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是 　﹣1　 ． （2）当a＝　1　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　2　 ． （3）当x＝　　 时，5﹣|2x﹣3|有最大值． 【分析】（1）根据绝对值的非负性解决此题． （2）根据绝对值的非负性解决此题． （3）根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0， ∴当|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+2＝0，b﹣1＝0． ∴a＝﹣2，b＝1． ∴a+b＝﹣2+1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）∵|1﹣a|≥0， ∴|1﹣a|+2≥2． ∴当1﹣a＝0，即a＝1，此时|1﹣a|+2取得最小值2． 故答案为：1，2． （3）∵|2x﹣3|≥0， ∴﹣|2x﹣3|≤0． ∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5． ∴当2x﹣3＝0，即x时，5﹣|2x﹣3|取得最大值5． 故答案为：． 1．（2026春•锡山区校级期末）如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：因为a＞2， 所以a﹣2＞0， 所以|﹣1.5|+|a﹣2|＝1.5+a﹣2＝a﹣0.5． 故选：C． 2．（2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|＝2﹣a， ∴a﹣2≤0， ∴a≤2， ∴a的最大整数值是2， 故选：A． 3．（2025秋•江阴市期中）式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子|x﹣3|+|x﹣m|的最小值是2，则m的值为（　　） A．1 B．5 C．﹣1或﹣5 D．1或5 【分析】根据|x﹣3|+|x﹣m|的最小值是2可知3与m的距离为2，分m在3左侧、m在3右侧两种情况作答即可． 【解答】解：根据绝对值的几何意义可知，3与m的距离为2， 当m在3左侧时，m＝3﹣2＝1， 当m在3右侧时，m＝3+2＝5． 故选：D． 4．我们知道，式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子|x﹣2|+2|x+1|的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】当0≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|最小值为3，|x﹣2|+2|x+1|取最小值x＝﹣1即可． 【解答】解：x＝﹣1时，|x﹣2|+2|x+1|取最小值3+2×0＝3， 故选：B． 5．（2026•平武县开学）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　 ． 【分析】根据绝对值的性质求解即可． 【解答】解：根据绝对值的性质可知：x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5， 解得：x＝7或﹣3， 故答案为：7或﹣3． 6．（2025秋•射阳县校级期中）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|5|＝|5﹣0|，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．利用数形结合思想，当|x﹣1|+|x﹣3|取得最小值时，写出此时所有整数值x为　1，2，3　 ． 【分析】根据绝对值的几何意义解答即可． 【解答】解：由题意知，1≤x≤3时，表示数x的点到表示数1和3的点之间的距离之和最小， ∴整数x为1，2，3， 故答案为：1，2，3． 7．（2025秋•开州区期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则AB＝|a﹣b|（或|b﹣a|）． （1）求|5﹣（﹣3）|＝　8　 ； （2）|x﹣4|+|x+3|的最小值是　7　 ． 【分析】（1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成x＜﹣3、﹣3≤x≤4、x＞4三种情况分别讨论即可． 【解答】解：（1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答可得： |5﹣（﹣3）|＝|5+3|＝|8|＝8， 故答案为：8； （2）|x﹣4|+|x+3|可以看作x对应的点到4和﹣3对应的点的距离之和， 当x＜﹣3时，则x﹣4＜0，x+3＜0， ∴|x﹣4|+|x+3|＝﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝﹣x+4﹣x﹣3＝﹣2x+1 ∵x＜﹣3， ∴﹣2x+1＞7； 当﹣3≤x≤4时，则x﹣4≤0，x+3≥0， ∴|x﹣4|+|x+3|＝﹣x+4+x+3＝7； 当x＞4时，则x﹣4＞0，x+3＞0， ∴|x﹣4|+|x+3|＝x﹣4+x+3＝2x﹣1， ∵x＞4， ∴2x﹣1＞7； ∴|x﹣4|+|x+3|的最小值为7， 故答案为：7． 8．（2025秋•东海县期末）若|x﹣1|+2025＝2026，则x的值为　0或2　 ． 【分析】将等式化为|x﹣1|＝1，再根据绝对值的意义求解． 【解答】解：∵|x﹣1|+2025＝2026， ∴|x﹣1|＝1， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x＝2或x＝0， ∴若|x﹣1|+2025＝2026，则x的值为0或2． 故答案为：0或2． 9．（2025秋•金安区校级期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，|x1﹣x2|的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的点的距离． （1）|4﹣（﹣5）|＝　9　 ． （2）若|x+2|+|x﹣6|＝12，则负整数x的值为　﹣4　 ． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，计算数轴上两点的距离． （2）分情况讨论x的取值范围，求解方程得到负整数x的值． 【解答】解：（1）由|x1﹣x2|的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的点的距离可得： |4﹣（﹣5）|的几何意义是数轴上表示4的点与表示﹣5的点的距离， ∴|4﹣（﹣5）|＝|4+5|＝9． 故答案为：9； （2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣6|＝﹣（x+2）﹣（x﹣6）＝﹣x﹣2﹣x+6＝﹣2x+4， 令﹣2x+4＝12，解得x＝﹣4； 当﹣2≤x≤6时，|x+2|+|x﹣6|＝x+2﹣（x﹣6）＝x+2﹣x+6＝8≠12，无解； 当x＞6时，|x+2|+|x﹣6|＝x+2+x﹣6＝2x﹣4， 令2x﹣4＝12，解得x＝8． 所以负整数x的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 10．（2025秋•源汇区校级月考）若x为有理数，|x+1|﹣|x﹣2|的最大值与最小值之差为　6　 ． 【分析】分三种情况讨论：当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，分别化简绝对值，找出最大值与最小值即可． 【解答】解：当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0， ∴|x+1|﹣|x﹣2|＝﹣x﹣1﹣（2﹣x）＝﹣x﹣1﹣2+x＝﹣3； 当﹣1≤x≤2时，x+1＞0，x﹣2＜0， ∴|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1﹣（2﹣x）＝x+1﹣2+x＝2x﹣1， 此时当x＝2时最大，最大值是2×2﹣1＝3， 此时当x＝﹣1时最小，最小值是2×（﹣1）﹣1＝﹣3； 当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0， ∴|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣2）＝x+1﹣x+2＝3； 综上，|x+1|﹣|x﹣2|的最大值是3，最小值是﹣3， ∴最大值与最小值之差为3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：6． 11．（2026春•綦江区校级月考）已知x是有理数，则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|的最小值是　14　 ． 【分析】利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点． 【解答】解：根据绝对值的几何意义|x﹣3|表示x到3的距离；|x+11|表示x到﹣11的距离；|x+5|表示x到﹣5的距离； 当x＝﹣5时，|x﹣3|+|x+11|+|x+5|取得最小值， 则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|＝|﹣5﹣3|+|﹣5+11|+|﹣5+5|＝8+6＝14． 故答案为：14． 12．（2025秋•武汉月考）式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　8　 ． 【分析】由绝对值的几何意义可知当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0，则当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值，进而可得当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，据此求解即可． 【解答】解：根据题意可知，当1≤x≤5时，|x﹣1|+|x﹣5|有最小值，最小值为x﹣1+5﹣x＝4， 同理可知当2≤x≤4时，|x﹣2|+|x﹣4|有最小值，最小值为x﹣2+4﹣x＝2， ∵|x﹣3|≥0， ∴当x＝3时，|x﹣3|有最小值，最小值为0， 综上所述，当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣5|，|x﹣2|+|x﹣4|，|x﹣3|能同时取到最小值， ∵|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5| ＝（|x﹣1|+|x﹣5|）+2（|x﹣2|+|x﹣4|）+3|x﹣3|， ∴当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值为4+2×2+0＝8． 故答案为：8． 13．（2026•东兴区校级开学）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|的最小值是　1010025　 ． 【分析】|a﹣b|表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，…，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【解答】解：∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...+|x﹣2010|表示x到1，2，3，…，2009，2010的距离之和， 2010÷2＝1005， ∴当1005≤x≤1006时，距离之和最小， ∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...+|x﹣2010| ＝x﹣1+x﹣2+x﹣3+…+x﹣1004+x﹣1005+1006﹣x+1007﹣x+…+2008﹣x+2009﹣x+2010﹣x 将第一项与最后一项合并，以此类推 故原式＝（1006﹣1）+（1007﹣2）+（1008﹣3）+…+（2009﹣1004）+（2010﹣1005） ＝1005+1005+1005+…+1005+1005 ＝1005×1005 ＝1010025， 故答案为：1010025． 14．若x为实数，则的最小值是　2002　 ． 【分析】对于实数x，分x≥2026，26≤x＜2026，20≤x＜26，x＜20四种情况对进行化简，进而求的最小值． 【解答】解：当x≥2026时， ＝2x﹣2050≥2×2026﹣2050＝2002， ∴当x≥2026时，2002； 当26≤x＜2026时， ＝2002， ∴当26≤x＜2026时，的值为2002； 当20≤x＜26时， 2002， 即当20≤x＜26时，2002； 当x＜20时， ＝﹣2x+2050＞﹣2×20+2050＝2010， 即当x＜20时，2010， 综上所述，的最小值为：2002． 故答案为：2002． 15．（2025秋•内蒙古校级月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：5﹣3＝2；4与﹣2在数轴上的对应点间的距离可以表示为：4﹣（﹣2）＝6；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是　3　 ． ②数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　2　 ． ③数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离是　7　 ． 归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|． 应用： （2）①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：|m﹣4|＝6，则m＝　10或﹣2　 ． ②若数轴上表示数m的点位于﹣3与4之间，则|m+3|+|m﹣4|＝　7　 ． ③若|m+4|+|m﹣1|＝5，其中m为整数，则m＝　﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1　 ． 【分析】（1）①利用数轴上两点距离公式|a﹣b|，计算6和3的距离； ②同理，计算﹣2和﹣4的距离； ③同理，计算﹣5和2的距离； （2）①根据绝对值方程|m﹣4|＝6，分情况求解m； ②根据m的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析|m+4|+|m﹣1|的取值，结合m为整数求解． 【解答】解：（1）①根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示6和3的两点之间的距离：|6﹣3|＝3； ②根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离：|﹣2﹣（﹣4）|＝|﹣2+4|＝2； ③根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离：|﹣5﹣2|＝|﹣7|＝7． 故答案为：3；2；7； （2）①∵|m﹣4|＝6， ∴m﹣4＝6或m﹣4＝﹣6， 解得：m＝10或﹣2． 故答案为：10或﹣2； ②∵﹣3＜m＜4， ∴m+3＞0，m﹣4＜0， |m+3|+|m﹣4| ＝（m+3）+（4﹣m） ＝m+3+4﹣m ＝7． 故答案为：7； ③|m+4|+|m﹣1|表示数轴上m到﹣4和1的距离之和， ∵﹣4到1的距离为|1﹣（﹣4）|＝5， ∴当﹣4≤m≤1时，距离和为5． 又∵m为整数， ∴m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 16．（2025秋•梁园区月考）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． （1）若点C为原点，则b＝　﹣2　 ，a﹣d＝　﹣6　 ； （2）若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且|p﹣a|+|p﹣c|＝8，求p的值； （3）E为线段AD上一点，其所表示的数为e，则|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|的最大值为　14　 ，最小值为　8　 ． 【分析】（1）根据数轴直接写出结果即可； （2）代入得|p+3|+|p﹣2|＝8，分情况解方程即可； （3）根据绝对值的含义，先可求得|e﹣a|+|e﹣d|，再求|e﹣b|+|e﹣c|的最值即可． 【解答】解：（1）∵点C为原点， ∴b＝﹣2，a＝﹣5，d＝1， ∴a﹣d＝﹣5﹣1＝﹣6． 故答案为：﹣2；﹣6； （2）∵点B为原点， ∴a＝﹣3，c＝2， ∴|p﹣a|+|p﹣c|＝|p+3|+|p﹣2|＝8， ①当p＜﹣3时，|p+3|+|p﹣2|＝﹣（p+3）﹣（p﹣2）＝﹣2p﹣1， 即﹣2p﹣1＝8， ∴p＝﹣4.5； ②当﹣3≤p≤2时，|p+3|+|p﹣2|＝（p+3）﹣（p﹣2）＝5≠8； ③当p＞2时，|p+3|+|p﹣2|＝（p+3）+（p﹣2）＝2p+1， 即：2p+1＝8， ∴p＝3.5． 综上，p的值为﹣4.5或3.5； （3）由（2）知|e﹣a|+|e﹣d|＝AE+DE＝AE＝6， 当E在点A处时|e﹣b|+|e﹣c|＝AB+AC＝3+5＝8， 此时|e﹣b|+|e﹣c|取得最大值8， ∴|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|得最大值为14； 当E在BC之间时，|e﹣b|+|e﹣c|＝BE+EC＝BC＝2， 此时|e﹣b|+|e﹣c|取得最小值2， ∴|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|得最小值为8． 故答案为：14；8． 17．（2025秋•荣县校级月考）已知|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索： （1）找出所有符合条件的整数x，使|x+4|+|x﹣2|＝6，这样的整数是　﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　 ； （2）利用数轴找出，当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值是　﹣5或4　 ； （3）利用数轴找出，当|x+7|+|x﹣4|取最小值时，x的范围是　﹣7≤x≤4　 ． 【分析】（1）根据题意，结合数轴上两点间距离的定义，可得到当﹣4≤x≤2，满足条件，即可得到结果； （2）结合数轴，可得到当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值为﹣5或4； （3）结合（1）的结果，可得到﹣7≤x≤4时，距离最短． 【解答】解：（1）|x+4|表示x与﹣4两点间距离，|x﹣2|表示x与2两点间的距离， 根据数轴可得到：当x位于﹣4到2之间，则与﹣4和2的距离之和为6， ∴﹣4≤x≤2， ∴整数有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （2）|x+3|表示x与﹣3两点间的距离，|x﹣2|表示x与2两点间的距离， 根据数轴可得到，当x为﹣5或4时，则与﹣3和2两点间的距离之和为9， ∴当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值为﹣5或4， 故答案为：﹣5或4； （3）|x+7|表示x与﹣7两点间距离，|x﹣4|表示x与4两点间的距离， 根据数轴可得到：当x位于﹣7到4之间，则与﹣7和4的距离之和为11，此时距离最短， ∴﹣7≤x≤4， 故答案为：﹣7≤x≤4． 18．（2025秋•安次区校级月考）我们知道，|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）填空：|7﹣（﹣2）|＝　9　 ，若|a﹣1|＝5，则a＝　﹣4或6　 ； （2）填空：使得|x+4|+|x﹣2|＝8成立的x是　﹣5或3　 ； （3）由以上探索，猜想|x+2|+|x﹣5|的最小值为　7　 ；此时x的范围是　﹣2≤x≤5　 ； （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【分析】（1）根据所给算式进行计算即可； （2）利用绝对值的几何意义进行计算即可； （3）利用绝对值的几何意义进行计算即可； （4）利用绝对值的几何意义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， |7﹣（﹣2）|＝9， 因为|a﹣1|＝5， 所以a＝﹣4或6． 故答案为：9，﹣4或6； （2）代数式|x+4|+|x﹣2|的值可看成数轴上表示数x的点到表示﹣4和2的点的距离之和， 因为2﹣（﹣4）＝6，， 则﹣4﹣1＝﹣5，2+1＝3， 所以x＝﹣5或3． 故答案为：﹣5或3； （3）代数式|x+2|+|x﹣5|的值可看成数轴上表示数x的点到表示﹣2和5的点的距离之和， 当表示数x的点在表示﹣2和5的点之间时（包括端点），代数式|x+2|+|x﹣5|的值取得最小值为5﹣（﹣2）＝7， 此时x的取值范围是﹣2≤x≤5． 故答案为：7，﹣2≤x≤5； （4）有最小值， 代数式|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣4|的值可看成数轴上表示数x的点到表示1，3，4的点的距离之和， 则当x＝3时，代数式|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣4|的值取得最小值为3． 19．（2025秋•和田市月考）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】我们知道，|﹣3|表示数轴上表示﹣3的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示有理数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m﹣n|． 【初步探究】 （1）数轴上表示2.5和﹣3的两点之间的距离是 　5.5　 ； （2）|x+3|（x＜﹣3）是数轴上表示数x与数 　﹣3　 的两点之间的距离，|x+3|＝ 　﹣x﹣3　 （x＜﹣3）． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使|x﹣2|+|x+3|＝7成立的x的值有哪些？ 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3）利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【解答】解：（1）根据绝对值的几何意义可知，表示2.5和﹣3的两点之间的距离为：|2.5﹣（﹣3）|＝5.5． 故答案为：5.5； （2）根据绝对值的几何意义可知，|x+3|表示数x与数﹣3的两点之间的距离， ∵x＜﹣3，即x+3＜0， ∴|x+3|＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3． 故答案为：﹣3；﹣x﹣3； （3）当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5≠7， 当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣（x+3）＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣1﹣2x， 令﹣1﹣2x＝7， 解得：x＝﹣4， 当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3＝2x+1， 令2x+1＝7， 解得：x＝3， 综上所述：|x﹣2|+|x+3|＝7成立的x的值是﹣4或3． 20．（2025秋•嵩明县期中）材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，这个结论可以推广为|x﹣a|表示在数轴上数x，a对应点之间的距离，例如，|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【例】已知|x﹣2|＝5，求x的值． 解：∵数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或﹣3， ∴x＝7或﹣3． 材料二： （i）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图1，点A、B、P（看作动点）分别表示数﹣1、2、x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3． ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）当时，求出x的值； （2）求代数式|x+6|+|x﹣5|的最小值是多少？ （3）当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （2）根据绝对值的几何意义即可解决问题； （3）根据绝对值的几何意义即可解决问题； 【解答】解：（1）因为， 则， 所以x或； （2）代数式|x+6|+|x﹣5|的值可看成数轴上表示数x的点与表示﹣6和5的点的距离之和， 当表示数x的点在点A和点B之间时（包括端点），|x+6|+|x﹣5|＝11， 当表示数x的点在点A左侧或点B右侧时，|x+6|+|x﹣5|＞11， 所以|x+6|+|x﹣5|的最小值为11； （3）代数式|x+a|+|x﹣3|的值可看成数轴上表示数x的点与表示﹣a和3的点的距离之和， 因为代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2， 则3﹣2＝1，3+2＝5， 所以﹣a＝1或5， 则a＝﹣1或﹣5． 21．（2025秋•牡丹江期中）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）|﹣5﹣2|表示在数轴上所对应的数　﹣5　 与数　2　 之间的距离； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　|x﹣2|　 ． （3）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数有：　﹣3，﹣2，﹣1，0，1　 ． （4）由以上探索猜想|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+⋯+|x﹣99|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法直接写出即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当|x+3|+|x﹣1|＝4时，﹣3≤x≤1，据此求解即可； （4）根据绝对值的几何意义可推出当x＝50时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+⋯+|x﹣99|有最小值，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，|﹣5﹣2|表示在数轴上所对应的数﹣5与数2之间的距离， 故答案为：﹣5，2； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|， 故答案为：|x﹣2|； （3）∵1﹣（﹣3）＝4， ∴数轴上数1所对应的点到数﹣3所对应的点的距离为4， ∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和， ∴当有理数x对应的点在数﹣3所对应点和数1所对应的点之间时满足|x+3|+|x﹣1|＝4， ∴﹣3≤x≤1， ∴符合题意的整数x有﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1； （4）当1≤x≤99时，|x﹣1|+|x﹣99|有最小值，最小值为x﹣1+99﹣x＝98， 同理可得2≤x≤98时，|x﹣2|+|x﹣98|有最小值，最小值为x﹣2+98﹣x＝96， 3≤x≤97时，|x﹣3|+|x﹣97|有最小值，最小值为x﹣3+97﹣x＝94， …， 49≤x≤51时，|x﹣49|+|x﹣51|有最小值，最小值为x﹣49+51﹣x＝2； ∵|x﹣50|≥0， ∴当x＝50时，|x﹣50|有最小值， ∴当x＝50时，|x﹣1|+|x﹣99|，|x﹣2|+|x﹣98|，|x﹣3|+|x﹣97|，⋯，|x﹣49|+|x﹣51|，|x﹣50|能同时取值最小值， ∴当x＝50时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+⋯+|x﹣99|有最小值， ∴98+96+94+⋯+4+2+0＝2450， ∴原式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+⋯+|x﹣99|有最小值，最小值是2200． 22．（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　6　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　4或﹣2　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　2026　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　﹣2.5或2026.5　 ． 【分析】（1）根据题中结论解答即可； （2）|x﹣1|＝3的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在﹣1和2025之间和x不在﹣1和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在﹣1的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可． 【解答】解：（1）由题得，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）由|x﹣1|＝3得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026； 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029，解得x＝﹣2.5； 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029，解得x＝2026.5； 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5． 故答案为：﹣2.5或2026.5． 23．（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为x 与　3　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　5　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　8　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【分析】（1）绝对值的几何意义，|x﹣a|表示x与a的差的绝对值，可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在﹣2的左侧、3的右侧或者﹣2和3中间时，距离之和的大小即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为x，然后根据题目条件用x表示总成本，由（2）可得实验室建在A、C之间（包含A、C）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【解答】解：（1）|x﹣3|表示x与3的差的绝对值，可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：x，3． （2）①|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，当﹣2≤x≤3时，|x﹣3|+|x+2|的值为3﹣（﹣2）＝5，当x＜﹣2或x＞3时，|x﹣3|+|x+2|＞5，则|x﹣3|+|x+2|的最小值是5； 故答案为：5． ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|表示在数轴上x对应的点分别与﹣3、﹣6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当x＝﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值为2﹣（﹣6）＝8，当x≠﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|＞8，则|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值是8； 故答案为：8． （3）以市民广场O为原点，A、B、C分别为﹣5、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， 总运输和包装成本为3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|，由（2）知﹣5≤x≤3时，总成本可能取到最小值， 当﹣5≤x≤1时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝20， 当1＜x≤3时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝4x+16， ∵1＜x≤3， ∴4x+16＞20． 则，当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 24．（2025秋•鄞州区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　6　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　4或﹣2　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　2026　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　﹣2.5或2026.5　 ． （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　7　 ． 【分析】（1）根据题中结论解答即可； （2）|x﹣1|＝3的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和，再分x在﹣1和2025之间和x不在﹣1和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在﹣1的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）写出|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的含义，再根据2在﹣4和3之间，且﹣4和3的距离等于|3﹣（﹣4）|＝7，得出当x＝2时，|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的值最小，最小值等于7． 【解答】解：（1）根据绝对值的几何意义可知，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）根据绝对值的几何意义可知，|x﹣1|＝3表示x和1的两点之间的距离是3， ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）根据绝对值的几何意义可知，|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝x+1+2025﹣x＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026， 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣x﹣1﹣x+2025＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029， 解得：x＝﹣2.5， 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝x+1+x﹣2025＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029， 解得：x＝2026.5． 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5； （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|表示x与﹣4两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在﹣4和3之间，且﹣4和3的距离等于|3﹣（﹣4）|＝7， 所以当x＝2时，|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 25．（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　﹣2025　 ； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　9　 ． 【分析】（1）求出x+2025＝0时x的值即可得到答案； （2）先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； （3）先求出所求式子的零点，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【解答】解：（1）当x+2025＝0时，x＝﹣2025， ∴|x+2025|的零点值是x＝﹣2025； （2）当x﹣4＝0时，x＝4， 当x+7＝0时，x＝﹣7， 当﹣7≤x＜4时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）+x+7＝﹣x+4+x+7＝11； 当x＜﹣7时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）﹣（x+7）＝﹣x+4﹣x﹣7＝﹣2x﹣3； 当x≥4时，|x﹣4|+|x+7|＝x﹣4+x+7＝2x+3； 综上所述，， （3）当x﹣1＝0时，x＝1，当x+8＝0时，x＝﹣8， 当﹣8≤x＜1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）﹣（x+8）＝﹣x+1﹣x﹣8＝﹣2x﹣7， 当x＜﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）+（x+8）＝﹣x+1+x+8＝9； ∴当x＝﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|的值最大，最大为﹣2×（﹣8）﹣7＝9； 当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝x﹣1﹣（x+8）＝x﹣1﹣x﹣8＝﹣9； ∵9＞﹣9， ∴|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为9． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的五类最值模型（绝对值的几何意义） 数轴是绝对值的几何载体，本质就是数轴上动点到定点的距离，摆脱纯粹的代数分段讨论，借助数轴距离的直观性，能把繁杂的绝对值方程、不等式、最值问题转化为简单的数轴点位分析。 我们学习的绝对值模型，全部围绕“距离”这个核心展开：单点绝对值对应定点距离，双绝对值和/差对应两点间距离和与距离差，多个绝对值求和依托零点排序找最优点位。所有题型都可以脱离繁琐的分类去绝对值运算，依靠数轴的位置关系直接判断解的个数、取值区间、最值大小以及取最值的的范围。 整套模型分为五大基础模块：单绝对值方程与取值范围、两绝对值和的方程与最值、两绝对值差的最值、多绝对值累加最值和模型。做题时优先确定绝对值零点，在数轴标注定点，再根据题意判断动点的活动区域，区分区间取中间、外侧取极值的两类核心规律。 后续练习中牢记两个核心前提：距离恒非负，两点之间线段最短，这两条原理贯穿所有绝对值几何题 型，也是区分代数硬算和几何巧解的关键。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值模型 8 模型3. 的最小值和最大值模型. 12 模型4.的最小值模型 19 模型5. 型最值模型 26 模型运用 28 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （1）绝对值具有非负性，即； （2）绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ （3）距离和模型 把两个单点距离叠加，代表动点分别到、两点的距离之和。 理论依据：两点之间线段最短，因此动点落在两点中间时，距离和最小，最小值就是两定点的固定间距。 后续解方程的三种解数情况，完全是由这条线段公理推导得出。 （4）距离差模型 同样基于两点距离，分析动点在不同区域内两段距离的差值变化。当动点跑到定点外侧时差值达到固定最值，区间内差值连续变化，来源于数轴上线段的长短比较。 （5）多个绝对值相加的奇偶点最值模型 将多个定点在数轴上排序后，本质是在寻找一个点，使总路程最短，属于数轴上的选址最短路径问题。 奇数个零点取中间点，偶数个零点取中间区间，是在累加多个单点距离后总结出的通用最优选址规律。 模型1. 解方程 【模型提炼与证明】 1. 表示数轴上动点到的距离，则表示数轴上动点到的距离等于。 距离本身是非负数，因此必须对 b 的正负分类讨论。 （1）当，绝对值代表距离，距离不可能为负数，方程无解； （2）当，距离为0，动点与定点重合。 ，仅有唯一解。 （3）当，到 a 距离为 b 的点有两个，分别在 a 的左右两侧： 或，解得两个解：或。 2. 代表数轴上动点 x 到两个定点 a、b 的距离之和。不妨设 a<b，两定点之间固定距离： L = b-a。 （1）k < L 两点间最短距离就是线段长 L，距离和不可能比 L 更小。 结论：方程无解。 （2）k = L 动点 x 落在 a、b 两点之间（包含端点）时，距离和恒等于 L。 结论：无数个解，解集为。 （3）k > L x 要跑到线段 AB 的外侧，左边一个解，右边一个解。 结论：恰好两个解，为或。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•船营区校级期中）阅读下列材料： 我们知道，|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离：|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上数a与数b对应点之间的距离． 如：数轴上数2与数5对应点之间的距离为|2﹣5|＝3； 数轴上数2与数﹣7对应点之间的距离为|2﹣（﹣7）|＝9； 又如：已知|x﹣1|＝2，求x的值．意为：数轴上数x与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知x的值为﹣1或3．请运用上述的几何方法解决下列问题： （1）若|x|＝3，则x＝　 　 ； （2）若|x﹣3|＝2，则x＝　 　 ； （3）若|x+2|＝4，则x＝　 　 ； （4）若|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x为　 　 ． 【典例2】阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示6与﹣4的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是　　 　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1.5|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 【典例3】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【典例4】（2025秋•兰山区校级月考）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，AB表示A，B两点之间的距离，则AB＝|a﹣b|．如：4与﹣2两数在数轴上对应的两点之间的距离为|4﹣（﹣2）|＝6；又如：|x+2|可以写成|x﹣（﹣2）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离． 解决问题： （1）若|x+2|＝6，则x＝　 　 ，若|x+2|＝|x﹣3|，则x＝　 　． （2）|x+2|+|x﹣3|表示数轴上有理数x对应的点到﹣2和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①|x+2|+|x﹣3|＝5； ②|x+2|+|x﹣3|＝7． 猜想： （3）对于任何有理数x，|x+5|+|x+3|+|x﹣2|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 模型2. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 【模型运用】 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　 ． （4）当a＝　 　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 【典例2】（2025秋•广元月考）阅读以下材料，解决问题． |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离，例如|5﹣2|为数轴上表示5的点与表示2的点的距离；|5﹣（﹣2）|为数轴上表示5的点与表示﹣2的点的距离． （1）数轴上表示x的点A与表示﹣1的点B之间的距离为　 　 ，如果|AB|＝3，那么x的值为　　 　 ； （2）若点A表示的整数为x，当|x+4|与|x﹣2|的值相等时，此时x为　 　 ； （3）当代数式|x+5|+|x﹣2|取得最小值时，求出x的取值范围． 【典例3】（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　 ，最小距离是　 　． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 【典例4】（2025秋•管城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　 　 ；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　 　 ，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　 　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　 　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 模型3. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　 　； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　 　 ． 【典例2】（2025秋•天津校级月考）【定义新知】我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为 　 　 ； （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取正整数 　 　 ；|x+3|﹣|x﹣1|最大值为　 　 ； （3）当x＝ 　 　 时，|x+1|+|x+6|+|x+3|+|x+2|+|x﹣4|的值最小，最小值为 　 　 ； （4）一条东西向笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场西侧5km，东侧1km，东侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为300元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【典例3】（2025秋•武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝ 　 　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　 　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　 　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　 　 ． 【典例4】类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　 　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　 　所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　 　． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　12　 ． 模型4. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•宜兴市校级月考）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是﹣2．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． （1）若点A表示的数是﹣3，将点A向右移动5个单位长度至点A1，则点A1表示的数是　 　 ； （2）已知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是　 　，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是　 　 ； （3）在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到﹣5.5所在的点处时，求M，N两点间的距离； （4）如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答问题：若x、y都表示有理数，请直接写出式子|x+1|+|x|+|y﹣3|+|y﹣4|+|x﹣y|的最小值　 　 ． 【典例2】（2025秋•鄞州区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　 　 ． （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　 　 ． 【典例3】（2025秋•赣榆区期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 （1）求代数式|x﹣1|+|x﹣2|的最小值； （2）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　 　 ； （3）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． 【典例4】（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　 　 ，点A到点C的距离是 　 　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　 　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　 　 ；当x的值在 　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【典例5】（2025秋•姜堰区月考）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图，它们表示的数分别是a，b，c． （1）填空a×b×c　 　 0，a+b　 　 0，﹣a﹣b　 　 0（填“＞”，“＝”或“＜”） （2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，当﹣|b|＝﹣4时，求c的值． （3）在（2）的条件下，若M是数轴上一个动点，设点M表示的数为m，当M点在运动过程中，求|m+a|+|m+b|+|m+c|的最小值及此时m的值． 模型5. 型最值模型 【模型提炼与证明】 ：当a＞0时， ∵， ∴，即取得最小值为b； 当a＜0时， ∵， ∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•舟山期末）式子2026﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【典例2】（2025秋•灵武市校级期末）已知a为有理数，则|a﹣1|+1的最小值为　 　 ． 【典例3】（2025秋•银川校级月考）当a＝　2025　 时，|2025﹣a|+1会取得最小值，且最小值是　 　 ． 【典例4】当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝　 　． 【典例5】（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是 　 　 ． （2）当a＝　 　时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　 　． （3）当x＝　 　时，5﹣|2x﹣3|有最大值． 1．（2026春•锡山区校级期末）如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a 2．（2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 3．（2025秋•江阴市期中）式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子|x﹣3|+|x﹣m|的最小值是2，则m的值为（　　） A．1 B．5 C．﹣1或﹣5 D．1或5 4．我们知道，式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子|x﹣2|+2|x+1|的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2026•平武县开学）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ． 6．（2025秋•射阳县校级期中）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|5|＝|5﹣0|，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．利用数形结合思想，当|x﹣1|+|x﹣3|取得最小值时，写出此时所有整数值x为　 　 ． 7．（2025秋•开州区期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则AB＝|a﹣b|（或|b﹣a|）． （1）求|5﹣（﹣3）|＝　 　； （2）|x﹣4|+|x+3|的最小值是　 　． 8．（2025秋•东海县期末）若|x﹣1|+2025＝2026，则x的值为　 　 ． 9．（2025秋•金安区校级期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，|x1﹣x2|的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的点的距离． （1）|4﹣（﹣5）|＝　　 　 ． （2）若|x+2|+|x﹣6|＝12，则负整数x的值为　　 　 ． 10．（2025秋•源汇区校级月考）若x为有理数，|x+1|﹣|x﹣2|的最大值与最小值之差为　 　 ． 11．（2026春•綦江区校级月考）已知x是有理数，则|x﹣3|+|x+11|+|x+5|的最小值是　 　 ． 12．（2025秋•武汉月考）式子|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+2|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是　 　 ． 13．（2026•东兴区校级开学）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2010|的最小值是　 　 ． 14．若x为实数，则的最小值是　 　 ． 15．（2025秋•内蒙古校级月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：5﹣3＝2；4与﹣2在数轴上的对应点间的距离可以表示为：4﹣（﹣2）＝6；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是　 　 ． ②数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　 　 ． ③数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离是　 　． 归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|． 应用： （2）①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：|m﹣4|＝6，则m＝　 　 ． ②若数轴上表示数m的点位于﹣3与4之间，则|m+3|+|m﹣4|＝　 　 ． ③若|m+4|+|m﹣1|＝5，其中m为整数，则m＝　 　． 16．（2025秋•梁园区月考）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． （1）若点C为原点，则b＝　　 　 ，a﹣d＝　　 　； （2）若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且|p﹣a|+|p﹣c|＝8，求p的值； （3）E为线段AD上一点，其所表示的数为e，则|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|的最大值为　 　 ，最小值为　 　． 17．（2025秋•荣县校级月考）已知|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索： （1）找出所有符合条件的整数x，使|x+4|+|x﹣2|＝6，这样的整数是　 　 ； （2）利用数轴找出，当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值是　 　 ； （3）利用数轴找出，当|x+7|+|x﹣4|取最小值时，x的范围是　 　 ． 18．（2025秋•安次区校级月考）我们知道，|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）填空：|7﹣（﹣2）|＝　 　 ，若|a﹣1|＝5，则a＝　 　 ； （2）填空：使得|x+4|+|x﹣2|＝8成立的x是　 　 ； （3）由以上探索，猜想|x+2|+|x﹣5|的最小值为　 　 ；此时x的范围是　 　 ； （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 19．（2025秋•和田市月考）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】我们知道，|﹣3|表示数轴上表示﹣3的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示有理数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m﹣n|． 【初步探究】 （1）数轴上表示2.5和﹣3的两点之间的距离是 　 　； （2）|x+3|（x＜﹣3）是数轴上表示数x与数 　 　 的两点之间的距离，|x+3|＝ 　 　 （x＜﹣3）． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使|x﹣2|+|x+3|＝7成立的x的值有哪些？ 20．（2025秋•嵩明县期中）材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，这个结论可以推广为|x﹣a|表示在数轴上数x，a对应点之间的距离，例如，|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【例】已知|x﹣2|＝5，求x的值． 解：∵数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或﹣3， ∴x＝7或﹣3． 材料二： （i）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图1，点A、B、P（看作动点）分别表示数﹣1、2、x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3． ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）当时，求出x的值； （2）求代数式|x+6|+|x﹣5|的最小值是多少？ （3）当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2． 21．（2025秋•牡丹江期中）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）|﹣5﹣2|表示在数轴上所对应的数　　 　 与数　 　之间的距离； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　 　 ． （3）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数有：　 　． （4）由以上探索猜想|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+⋯+|x﹣99|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 22．（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　　 　　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　　 　 ． 23．（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为x 与　 　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　 　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　 　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 24．（2025秋•鄞州区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　　 　 ． （5）|x+4|+2|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　　 　 ． 25．（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　 　 ； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　 　 ． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $