专题02 数轴中的十一类动点模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了数轴动点问题的十一类模型，按“基础要素-动态关系-综合应用”的递进脉络组织，用表格归纳距离公式、中点公式等核心知识，思维导图呈现“定起点-表坐标-写距离-列方程”的解题步骤，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于模型化分层设计，如“左右跳跃模型”通过周期规律培养抽象能力，“定值问题”结合代数式化简强化推理意识，每个模型配备基础典例与拔高题，基础学生可掌握步骤，优秀学生能探究分类讨论，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题02 数轴中的十一类动点模型 数轴动点问题是有理数、绝对值几何意义、线段计算的综合题型，它将静态的数轴定点关系变为动态运动关系，核心载体依旧是数轴上两点间的距离公式 ，也是绝对值几何模型最典型的应用场景。 这类题目所有变化都围绕三个基本要素展开：动点起点、运动速度、运动方向。我们可以把动点运动类比成行程问题，路程=速度×时间，设运动时间为，就能用含的代数式表示出动点在任意时刻对应的数轴数，这是求解一切数轴动点题的基础。 题型的考查脉络层层递进：先利用代数式表示动点位置，再借助绝对值表示两点动态距离；进而衍生出相遇问题、相距定值问题、中点动态问题，拔高题型会结合最值、存在性分类讨论。 做数轴动点题最容易出现的误区是遗漏运动范围、忽略往返运动、分类讨论不全。解题的核心思路始终固定：定起点→表动点坐标→写距离表达式→结合题意列方程，依靠数轴直观划分区间，结合之前学过的绝对值模型求解，就能把动态问题转化为熟悉的静态代数问题。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 左右跳跃模型 3 模型2. 数轴动点规律模型 10 模型3. 距离问题 13 模型4. 相遇问题 21 模型5. 木棒滑动问题 24 模型6. 数轴的折叠 30 模型7. 定值问题 39 模型8. 往返问题 48 模型9. 折线数轴双动点问题 57 模型10. 挡板问题 68 模型11. 新定义问题 78 模型运用 86 数轴本身的基础功能，是把实数和直线上的点一一对应，由此诞生了静态知识点：两点距离公式、中点公式。这些都是固定点位的静态计算。为了考查学生变量思维，命题者引入时间、速度、运动方向，让数轴上的点不再固定，坐标随时间改变，静态数轴就演化成了数轴动点问题。它本质就是数轴静态知识 的动态化延伸，根基是有理数、绝对值几何意义、线段距离。 同向追及、相向相遇、相距多少路程、往返运动这些行程模型，在小学就已经学习。进入初中后，不 再用单纯的路程数字计算，而是把行驶的“车辆/行人”替换成数轴上的“动点”，把公路换成数轴直线，行程的路程公式路程=速度×时间完整保留，只是把落地场景平移到数轴上。同向运动、相向相遇、相距定值，全部都是行程题换了数轴外壳。 普通行程只算路程长短，数轴动点增加了正负方向：向左坐标减小，向右坐标增大，引入负数、相反 数、绝对值距离。原本的行程差值问题，变成了带符号的坐标运算，同时融合了绝对值距离、中点、分类讨论，完成了算术题到初中代数几何综合题的升级。 前面所学的距离模型是静态定点距离，数轴动点就是让其中一个点变为含的动态坐标，把绝对值方程、取值范围、解的个数等模型落地实操，让抽象的绝对值几何意义具象化。初中数学从常量计算转向变量代数是关键转折点。设时间，用含的代数式表示动点坐标，是初中整式、一元一次方程的核心应用训 练。一个点会越过另一个定点，前后距离表达式会发生改变；运动方向不同、往返折返，都会产生多解情况。命题设计刻意制造分段场景，锻炼完整分类、不重不漏的严谨解题习惯。 1.数轴上两点间的距离 数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b. 3.两点中点公式 已知在数轴上对应的数为，在数轴上对应的数为，则，的中点对应的数为 4.数轴上动点问题五要素 （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 5.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 6.数轴动点题的解题步骤 （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 模型1. 左右跳跃模型 【模型提炼】 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b。 这类题一般没有匀速速度，而是按固定步数左右交替跳（比如：右1、左2、右3、左4……），核心是分组找周期，区分奇偶步数的落点规律。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•重庆月考）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动12个单位长度到达点A4，…，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到达点An．如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 【典例2】一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…点P按此规律移动，则移动20次后到达的点在数轴上表示的数是 　 　 ． 【典例3】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2019＞x2020，其中，正确结论的序号是 　　 　 ． 【典例4】（2025秋•仓山区校级期末）在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）． 例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3． 已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点． （1）d1（点O，线段AB）　 　 ，d2（点O，线段AB）　 　 ； （2）若点C，D表示数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值； （3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）＝5，求t的值． 【典例5】（2025秋•榆阳区校级期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“+”，向左运动为“﹣”，则终点表示的数是0+2+（﹣5）＝﹣3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　　 　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到﹣3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示﹣5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 【典例6】（2025秋•永寿县校级月考）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣6和8的位置上沿数轴做移动游戏．每次移动的规则为：裁判先捂住一枚硬币，让两人猜向上一面是正面还是反面，然后根据所猜结果进行移动． ①若两人都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度； ②若甲猜对，乙猜错，则甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度； ③若甲猜错，乙猜对，则甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． （1）经过2次移动游戏，结果分别为“两人都猜对”和“甲猜对，乙猜错”，则按规则移动完成后，甲在数轴上停留的位置对应的数是　 　 ，乙在数轴上停留的位置对应的数是　 　 ． （2）从如图位置开始，完成了6次移动游戏，发现两人每次所猜的结果均为“一对一错”，则两人在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图位置开始进行游戏，当两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，共进行了多少次移动？ 模型2. 数轴动点规律模型 【模型提炼】 1. 明确初始条件 记下起点位置，明确每一步的方向、步长、奇偶步的变化规则。 2. 枚举前6～8个落点 手动算出第1步、第2步、第3步……的坐标，把结果罗列出来。 3. 判断规律类型 ①奇偶分段规律 ②固定周期循环规律 ③等差递推规律。 4. 大数取余/套通项 遇到第n步（大数），周期就求余数；奇偶就分n奇、n偶写两个式子。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•奉化区校级期中）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2025秋•长春校级期中）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（　　） A．点C B．点D C．点A D．点B 【典例3】（2025秋•丹徒区期中）如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2025次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　 　． 【典例4】（2025秋•集美区校级期中）如图，等边三角形ABC的边AC在数轴上，现将等边三角形ABC沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点B′位置．若点A表示的数为﹣1，等边三角形ABC的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为　　 　 ． 模型3. 距离问题 【模型提炼】 1.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 2.数轴上两点间的距离 数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 【模型运用】 【典例1】（2025秋•扶余市期末）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　 　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　 　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　 　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【典例2】（2025秋•兴宁市期末）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【典例3】（2025秋•南关区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为5，点P为数轴上任意一点． （1）线段AB的长度为　 　 ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为　 　 ； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，求出点P表示的数； （4）若点P到点A，B的距离之和为11．直接写出点P表示的数． 【典例4】（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为　 　个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 　 　 ； （3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 　 　 ； ②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 【典例5】（2025秋•太和县月考）如图，已知M，N两点在数轴上，点M在点N的左侧，点M表示的数为﹣2，点N到原点O的距离是点M到原点O的距离的4倍． （1）求数轴上点N表示的数； （2）若点P到点M、点N的距离相等，求点P表示的数； （3）若点M与点Q之间的距离表示为MQ，点M与点N之间的距离表示为MN，试探究在数轴上是否存在点Q，使得MQ＝3MN．若存在，请求出点Q表示的数是多少？若不存在，请说明理由． 模型4. 相遇问题 【模型提炼】 动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 两个动点相遇，意味着同一时刻两点在数轴上的表示的数完全相等。 前提：两点同时出发；若不同时出发，要修正晚出发动点的运动时长。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•东莞市期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【典例2】（2026春•福山区期末）如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． （1）若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是　 　个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是　 　个单位长度． （2）点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ （3）若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 【典例3】（2026春•黔江区校级月考）已知两点A、B在数轴上，a与﹣13互为相反数，点A表示的数是a，且AB＝10． （1）点B表示的数为　 　 ； （2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点A时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得P，Q两点的距离为5，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM﹣ON|＝2时，求动点P的原速和Q运动的速度． 模型5. 木棒滑动问题 【模型提炼】 把一段长度固定的线段（木棒）放在数轴上整体匀速平移，木棒上两个端点同步同速同向移动，常见设问： 1. 两端点任意时刻的坐标 2. 两点相距定值、中点坐标 3. 木棒两端触碰到定点、完全覆盖某点/区间 4. 木棒滑动过程中绝对值最值问题 设木棒固定长度为L，初始左端坐标A，右端坐标B，则恒满足：B-A=L 木棒整体速度v - 整体向右滑动：，， - 整体向左滑动：，。 关键点：滑动全程两端距离永远等于木棒原长L，长度不会被拉伸压缩。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•衡东县期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． （1）由此可得，CD＝　 　 cm，a的值为　　 　 cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【典例2】（2025秋•珠海期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【典例3】（2025秋•深圳期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，滑块的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为　 　 cm． （2）在（1）的条件下，图中点A所表示的数是　 　 ，点B所表示的数是　 　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈!”，请求出老师现在多少岁了？ 【典例4】（2025秋•古塔区校级期中）根据所学的数轴知识，解答下面的问题： （1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C，如图1所示． ①点A表示的数是　 　 ，A，B两点之间的距离是　 　 ； ②将点B向左移动4个单位长度，此时该点表示的数是　 　． （2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30，若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得，这根木棒的长为　 　cm； ②点A所表示的数是　 　 ，点B所表示的数是　 　． （3）知识应用：如图3，由（2）中①②的启发，请借助数轴这个工具解决问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是像你现在这么大，你还要37年才出生；你若是像我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？ 琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这么大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C表示的数为﹣37． 根据琪琪的想法，完成下列问题； ①若把点A移动到点B，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为　 　 ； ②求奶奶现在多少岁了． 【典例5】（2025秋•原州区校级期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　 cm； （2）图中点A所表示的数是　 　 ，点B所表示的数是　 　 ； （3）由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 模型6. 数轴的折叠 【模型提炼】 数轴折叠，本质是找折叠中心点（对称轴），折叠后重合的两个点关于中心对称。 设折叠中心为点 C，若点 A 折叠后与点 B 重合，则必有一条万能对称公式：。 变形常用两个推论： 1. （折叠后两重合点的坐标之和等于中心的2倍）， 2. 两点到中心的距离相等：， 所有折叠题全部围绕这两个公式展开。 【模型运用】 【典例1】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【典例2】（2025秋•扬州月考）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣2的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是　 　；数轴上表示数3的点与表示数　 　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是　 　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A和B之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是　 　 ；B点表示的数是　 　． 【典例3】（2025秋•江阴市校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 　 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　　 　 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　 　． 【典例4】（2025秋•增城区期中）【定义】已知点C是线段AB上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：2时，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）求点A、B之间的距离； （2）求线段AB的“理想点”C所对应的数； （3）现将一纸条AB如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为1：1：3，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【典例5】（2025秋•方城县月考）综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示﹣6的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示　 　 的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是　 　 ． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从﹣3到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 模型7. 定值问题 【模型提炼】 1. 动点在数轴上运动，坐标随时间变化，但某条线段长度、线段和差、中点相关代数式，化简后会消去变量，最终结果固定不变，这就是定值问题。 2. 解题步骤 （1）设运动时间，写出所有动点的动态坐标（右加左减）。 （2）根据题意，用坐标表示出需要研究的线段绝对值表达式。 （3）去掉绝对值、去括号合并同类项。 （4）若含项全部抵消，剩余常数即为定值；若保留则不是定值。 【模型运用】 【典例1】如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　 　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【典例2】（2025秋•焦作期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　6　 ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA＝4PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【典例3】（2025秋•衡水期末）如图，数轴上点A，B分别对应数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是　 　 ；（直接填结果） （2）若该数轴上另有一点M对应着数m． ①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值； ②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，请说明代数式3b﹣4m或2m﹣3b均有定值（不变的数值），并求出它们的定值． 【典例4】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【典例5】（2025秋•新会区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移7个到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A，B，C； （2）动点P从点C出发，以每秒0.3个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.5个单位长度和0.4个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【典例6】（2025秋•唐山期中）如图，在数轴上，点A表示﹣2，点B表示8，点P从原点O出发，沿数轴负方向以v1的速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以v2的速度向终点O运动，运动时间为t． （1）求AB的长； （2）若v1＝1，v2＝2，且t＝1，求PQ的长； （3）直接写出点P、Q表示的数（用含v1、v2、t的式子表示）； （4）点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，设NQ＝m，AQ＝n，且n＝4m，NP始终为定值，直接写出v1、v2满足的数量关系． 模型8. 往返问题 【模型提炼】 动点被限制在数轴两个固定端点之间运动，撞到端点立刻原路反向，速度大小始终不变，只改变运动方向。 核心难点：运动分段，不能用单一整式写全程坐标，依靠分段计时或周期取余两种解法。 设左右边界为 、 1. 区间总长 ； 2. 单向走完单程用时：； 3. 一次完整往返（去+回）路程 ，周期时长 。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•金湾区期末）【知识背景】如图，已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【背景理解】 若a，b满足|a+2|+（b﹣8）2＝0． （1）数轴上点A表示的数是　 　 ，点B表示的数是　 　 ．若点C是数轴上一点，且满足，请通过计算，求点C所表示的数； （2）点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度在数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以4个单位长度/秒在数轴上向左运动．点P，Q运动的同时，点D以3个单位长度/秒的速度从原点O向左运动．当遇到点P时，点D立即以同样的速度（3个单位长度/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间．求当点P与点Q相遇时，点D所经过的总路程是多少？ 【背景应用】 （3）在（1）的条件下，点M，N分别从O，B出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为6个单位长度l秒，点N的速度为2个单位长度/秒，A、M的中点为G；O、N的中点为H，设运动的时间为t秒（t＞0），在M，N运动过程中，若AG﹣k•GH为不随时间t的变化而变化的定值，请求出符合条件的k的值，并求此定值． 【典例2】（2025秋•锦江区校级期末）数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是﹣12，AB＝10，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（t＞0）． （1）直接写出b，c的值：b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若点K是线段AP的中点，当t为何值时，AQ＝KB； （3）若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持PM＝3，QN＝2（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段PM立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使PM和QN两条线段重叠部分为PM的三分之一，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 【典例3】（2025秋•章丘区期末）已知关于x的二次多项式（a+3）x3+9x2﹣2x+1的二次项系数为b，且c是单项式的次数，如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒，当t为何值时，点P、Q、C中一点是以其他两点为端点的线段的中点？ （3）动点P、Q在（2）的运动条件下，同时点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点N与点P相遇后，点N立即改变运动方向按原速沿数轴向右匀速运动，当点N运动与点Q相遇时全部停止运动．请问是否存在常数m，使得PN+mNQ在整个运动过程中的某一阶段为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【典例4】（2025秋•连南县期末）对于任意有理数m、n，我们定义新运算“⊕”规定：m⊕n＝m+2n． （1）计算5⊕（﹣1）的值； （2）在数轴上，点P从表示﹣3的点出发，以每秒2个单位长度向右运动，同时，点Q从表示7的点出发，以每秒1个单位长度向右运动，当点P追上点Q时立即返回，速度大小不变，点Q运动方向和速度大小不变．运动时间为t秒（t≥0），P、Q运动t秒所对应数分别记为p、q． ①用含t的代数式表示p和q； ②当p⊕q＝15时，判断此时P、Q是否相遇．若未相遇，求两者在数轴上的距离；若已相遇，求从相遇时刻起经过的时间． 【典例5】（2025秋•平山县期末）点A，B在数轴上，分别表示数a，b，|a+25|+（b﹣15）2＝0． （1）a的值是　　 　 ，b的值是　 　 ，线段AB的长度是　 　 ； （2）如图1，线段PQ的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为2秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段PQ的长； ②线段PQ运动的速度为　 　 个单位长度/秒； ③如图2，当线段PQ运动到点Q与点A重合时，点C从点P的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6个单位长度/秒，当点C和点Q相遇时，点C立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C再次与点P相遇时，点C在数轴上表示的数． 模型9. 折线数轴双动点问题 【模型提炼】 数轴不再是一条直线，中间存在折点（拐点），两段数轴单位长度一致，但经过拐点后，运动速度会发生改变（上坡减速、下坡加速是最常见设定）。两个动点同时沿折线相向/同向运动，综合了分段坐标、速度切换、相遇判定、相距定值、折返等考点。 1. 拆解折线结构 标记所有拐点，把整条折线拆成若干平直路段： 路段1：起点～拐点，长度 路段2：拐点～终点，长度 明确规则： - 下坡（顺折向）速度 - 上坡（逆折向）速度 两点关键结论： （1）同一段平直路段内，速度恒定不变； （2）穿过拐点瞬间切换速度，分段的分界时间就是走完当前路段的耗时。 2. 分段时间节点计算 对单个动点，算出抵达每个拐点的时间，作为分段临界时间，··· 3. 双动点同步分段原则 两个动点各自都有一套自己的临界时间，我们要把全部临界时间从小到大排序，得到公共时间分段区间。在每一个小区间内，甲乙两人的速度都固定不变，此时就退化为普通直线数轴双动点问题。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•盱眙县期中）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 （1）平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C．请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示 　 　 的点重合． ②若数轴上D，E两点之间的距离为22（点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同），当D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数为 　 　 ，点E表示的数为 　 　 ． ③如图，一条数轴上有M，N，P三点，其中点M，N表示的数分别是﹣21，8，现以P为折点，将数轴向右对折．若对折后点M对应的点为M′，且点M′与点N之间的距离为3，求点P表示的数． 【典例2】（2025秋•西城区校级期中）数轴上点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即MN＝|m﹣n|．那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝14秒时，P、Q两点在折线数轴上的友好距离为 　 　 个单位长度． （2）当P、Q两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t的值． （3）是否存在某一时刻使得点P、O两点在折线数轴上的友好距离与Q、B两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【典例3】数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒． （1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【典例4】数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以1.5个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 　 　 ；当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，O、M两点间的和谐距离|OM|＝　 　 （用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝　　 　 （用含有t的代数式表示）；t＝　 　 时，M、N两点相遇； （2）当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【典例5】数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数﹣8，点C表示的数为2，点B表示的数为6． （1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ （2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，3？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时3？直接写出t的值． 【典例6】如图1，有理数a，b分别对应数轴上的点A，B，且a，b满足（a+8）2+|b﹣6|＝0． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）如图2，点C表示的数为2，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，CP＝CQ； （3）如图3，我们将图2的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ 模型10. 挡板问题 【模型提炼】 数轴上设置一处或两处固定挡板（墙壁），动点匀速碰到挡板后原速反向反弹，速度大小不变，仅运动方向反转。本质就是带边界约束的往返折返题，和区间往返模型同源，但挡板题经常结合双动点碰撞+挡板反弹的复合考法。 （1）碰撞挡板：速度大小不变，方向取反（右变左，左变右）； （2）两动点相撞：两者同时反向，或题目规定同向继续/静止，以题干为准； （3）挡板为固定定点，坐标永久不变。 【模型运用】 【典例1】已知：如图①，在数轴上有两点A、B，它们表示的数分别为a、b，点P从点B出发，沿着数轴先向左移动（2b﹣2a+1）个单位长度，再向右移动个单位长度后停止． （1）若a、b满足|a+4|+|b﹣6|＝0，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，此时点P表示的数为 　 　 ，若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则数轴上折痕处所表示的数为 　 　 ． （2）对任意a、b的值，用含a、b的代数式表示点P停止时在数轴上所表示的数； （3）如图②，在（1）的条件下，在数轴上的点A和点B处各竖立一个挡板，甲、乙两个弹珠同时从点N出发（点N在A、B两点之间），甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，甲、乙两个弹珠第一次相遇的位置是否可能恰好到点A和点B的距离相等？如果可能，请求出相遇的时间及对应N点在数轴上的数值；若不能，请说明理由．（忽略弹珠的大小，可看成一点） 【典例2】阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若a、b为有理数，则|a﹣b|表示数a与数b的差的绝对值，也可以理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为|3﹣1|＝2；有理数5与﹣2对应两点间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；有理数﹣2与3对应两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5… （1）问题提出： 如图②，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离为　 　 ，若点P是点A和点B之间的一个动点，点P表示的数为a，则|a+2|+|a﹣13|的值为　 　 ； （2）拓展探究：如图②，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为　 　 ；点Q表示的数为　 　 ； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【典例3】（2026春•锡山区校级期末）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣6）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1x+2的解，点M是BC的中点，在数轴上是否存在点P，使PA+PM＝8，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【典例4】（2025秋•鼓楼区校级期末）如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，且a、b满足（a+12）2+|b﹣20|＝0．现有一长度为2的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为ts． （1）直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）在整个运动过程中，求AN﹣BM的值（用含t的式子表示）； （3）如图2，在A、B处各放置一块挡板P、Q，当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回．当0＜t≤12时，若|AN﹣BM|＝ON，求t的值． 【典例5】（2025秋•虹口区校级期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足（a﹣15）2+|b+6|＝0． （1）直接写出A，B两点表示的数； （2）动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，M、N分别为BQ，AP的中点． ①当OM＝ON时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在A，B两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点P，Q在A，B之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当OP＝3OQ时，直接写出t的值． 【典例6】（2025秋•永春县期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段AB的长表示为AB．当点C为线段AB中点时，即AC＝BC时，点C表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数﹣2，B点表示数5．若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为t（秒）． （1）当时，动点Q表示的数为　 　 ；当时，动点Q表示的数为　 　 ；（用含t的代数式表示） （2）分别取OB和AQ的中点E，F． ①当EF＝2时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 模型11. 新定义问题 【模型提炼】 1. 精读定义，圈画关键词 把定义里的限定词、运算规则、取值范围、特殊前提全部标出来。 区分清楚：谁是主动点、谁是参照点，运算顺序不能颠倒。 2. 符号翻译，把文字转代数式 数轴新定义绝大多数最后都能转化成绝对值运算、坐标加减运算。 常规模板：设动点坐标x，定点a，b，把文字描述翻译成含x的式子。 3. 结合动点写出动态表达式 设运动时间t，写出动点坐标x(t)，代入新定义公式，得到带t的代数式。 4. 按设问求解（求值/存在性/定值/范围） 【模型运用】 【典例1】（2025秋•西安校级月考）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为4，请判断点C是否为A，B的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P所表示的数． 【典例2】【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝　 　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为　 　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　 　 ． 【典例3】（2025秋•新田县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” （1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 　 　 ； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 　 　 （填一个即可）； （3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 【典例4】（2025秋•肥西县期末）综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． （1）观察判断 如图1，点C为线段AB的“优点”． ①若AC＝8，AC＜BC，则AB＝　 　 ； ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＝”或“≠”）； （2）性质探究 如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长； （3）拓展应用 在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数． 【典例5】（2025秋•李沧区校级月考）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则A、B两点之间的距离AB＝b﹣a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB＝15﹣5＝10．定义：在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1，M2，M3，…，Mn﹣1将AB线段n等分，则这n﹣1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A＜n，1＞，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A＜n，2＞，…，Mn是靠近A的第n﹣1个n等分点，则记为A＜n，n﹣1＞． 探究一：如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB的二等分点A＜2，1＞表示的数为． （1）探究二：如图2，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A＜5，2＞表示的数为　 　 ； （2）应用一：如图3，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，则x的值为　 　 ； （3）应用二：如图4，在数轴上A、B两点表示的数分别为﹣10和﹣2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为　 　 ． 1．（2026春•牟平区期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒或秒 C．5秒或秒 D．秒 2．（2025秋•香洲区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣16，点B表示的数为8，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点A运动．当点P，点Q相遇时，相遇点表示的数为（　　） A．0 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣2 3．（2025秋•昌黎县期末）如图，数轴上有A、B两点（O为原点），两点距离为12个单位长度，动点P、Q分别从A、B两点同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/s，点Q的速度为1个单位长度/s，设运动时间为t（s），若点P、Q两点之间的距离为8个单位长度，则t的值为（　　） A．4s B． C．4s或20s D．4s或 4．（2025秋•海淀区校级月考）如图，数轴上点A表示﹣10，点B表示20，动点P，Q分别从A，B同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为t秒，点M为BP的中点，点N为MQ的中点．以下结论：①M，N两点之间的距离不会随着t的变化而变化；②当时，t＝12；③AB＝4NQ．其中正确的结论是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025秋•济阳区期末）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点D，点N从点D出发沿着“折线数轴”运动至点A，两点同时出发．点M，N的初始速度分别是3个单位长度/秒和6个单位长度/秒，点M和点N运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为t（t＞0）秒，有下列结论： ①当t＝9时，点N表示的数为数轴的原点； ②当点M到达点D时，t＝21； ③当点N到达点A时，t＝11； ④运动过程中，点M和点N在线段OB上相遇； ⑤当t＝11或18时，． 以上结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2026•曹妃甸区一模）数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过　 　 秒后，P、Q两点之间的距离为9． 7．（2026春•浚县月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣20，OA＝2OB，点P以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向左运动（P、Q两点同时出发），经过　 　 秒，OP＝OQ． 8．（2026春•芝罘区期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是﹣4，8，点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点P从点A出发，以每秒3个单位速度在AB之间往返，直到点A追上点B时所有运动停止．则在这个过程中，点P运动的路线总长是　 　 ． 9．（2025秋•江汉区期末）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为17，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5，则点A在数轴上表示的数为 　 　 ． 10．（2025秋•淮北期末）在数轴上，点P表示的数是﹣15，点Q表示的数是5，PQ表示点P与点Q之间的距离．若点A从点P出发，点B从点Q出发，点A，B同时向数轴正方向运动，点A的速度是每秒6个单位长度，点B的速度是每秒4个单位长度． （1）当运动时间是　 　 时，点Q是AB的中点． （2）当运动时间是　 　 时，A，B两点之间的距离为8个单位长度． 11．（2025秋•金华期末）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为﹣30，10，动点N从点A出发以每秒6个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点P从点B出发以每秒4个单位的速度沿负方向运动，动点Q从原点出发以每秒3个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点N回到点A时，三点停止运动．存在常数k，当kPQ﹣QN在某段时间内为定值时，k的值是　 　 ． 12．（2025秋•连云港期末）如图，点A和点B分别表示的数为﹣5与10，点D从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点E从点B出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点P为线段DE的中点，D、E两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点C在线段AB上，且AC＝2BC，当t＝　 　 时，满足2OP+2CE＝CD． 13．（2026春•霍州市月考）综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是　 　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是　 　 ． （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 14．（2025秋•汝南县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　 ，线段AB的中点C表示的数为 　 　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　 ；点Q表示的数为 　 　 ； （2）求当t为何值时，PQAB； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 15．（2025秋•湘桥区期末）如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且AB＝21，点C在点A与点B之间，AC＝9． （1）点B表示的数是 　 　 ，点C表示的数是 　 　 ； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，QC＝　 　 ； （3）在（2）的条件下，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝8？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 16．（2025秋•高青县期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　 　 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 17．（2025秋•祁阳市期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a，b满足|a+3|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　　 　 ； （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数　 　 表示的点重合； （3）点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为BC，则当BC＝2时，求时间t的值； （4）在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为AB，则4AB﹣3AC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 18．（2025秋•临湘市期末）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，﹣10，原点O是线段AB上一点．已知AC＝4，且OA＝3OB，有两条动线段PQ和MN满足PQ＝2，MN＝4．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段PQ以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． （1）直接写出a，b的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段PQ，MN同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； （3）当点Q运动到点B时，线段PQ立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段PQ，MN同时停止运动，设运动时间为t秒，当t＞5时，存在两个常数m，n使得m•QC﹣n•NC的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 19．（2025秋•长春期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，A、C两点之间距离为30，原点O在点A和点C之间，且点C到O的距离是点A到O的距离的2倍．动点B沿数轴从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时动点P、Q分别从点A、C出发沿着数轴运动，点P、Q的速度分别为每秒3个单位长度、每秒4个单位长度，设运动时间为t秒． （1）a＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知D为数轴上一动点，且满足CD+AD＝40，求点D表示的数； （3）若点P向右运动，点Q向左运动，当PB＝BQ时，求t的值； （4）若点P向左运动，点Q向右运动，3PB﹣m×BQ的值不随时间t的变化而改变，直接写出m的值． 20．（2025秋•梅州校级期中）如图，在数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是10． （1）A、B两点之间的距离是　 　 ； （2）若在数轴上存在一点C，且点C到点A的距离是到点B距离的2倍，则点C表示的数是　 　 ； （3）若在原点Q处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒1个单位的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当0≤t≤5时，甲小球到原点的距离是　 　 ；乙小球到原点的距离是　 　 ；（分别用含t的代数式表示）； ②当甲、乙两小球到原点的距离相等时，求t的值． 21．（2025秋•澄城县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：例如数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算，若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A所对应的数a是多项式3x2y﹣4xy3﹣y+2最高次项的系数，且AB＝12，点D从A出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向正半轴运动，点E从B出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向负半轴运动，当D、E两点相遇时均停止运动． 【综合运用】 （1）在数轴上，点A表示的数为　 　 ，点B表示的数为　 　 ； （2）点P为线段DE的中点，D、E两点同时开始运动，设运动时间为t秒，线段OP的长为d个单位长度，求用含t的代数式表示d； （3）在（2）的条件下，点C在线段AB上，且AC＝2BC，当t为何值时，满足2OP+3CE＝CD． 22．（2025秋•九龙坡区期末）如图，点O是数轴上的原点，A，B是数轴上的两个点，点A对应的数是为﹣9，点B对应的数是为3． （1）若点M以每秒4个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向右运动，运动时间为t秒，则当t为何值时，原点O为MN的中点； （2）若点M沿数轴从点A出发向右运动，同时点N沿数轴从点B出发向左运动，4秒后，M，N两点之间的距离为2个单位长度，已知N的速度是M的两倍，分别求出M，N两点的速度； （3）点M，N，P三个点同时开始运动：其中，点M以每秒2个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动；点N以每秒1个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动；点P以每秒2个单位的速度从点O出发沿数轴先向右运动，与点N相遇后立即以原来速度沿数轴向左运动，直到与点M相遇时三个点都停止运动．请直接写出P，N两点中一个点到原点的距离是另一个点到原点的距离的2倍时的运动时间． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴中的十一类动点模型 数轴动点问题是有理数、绝对值几何意义、线段计算的综合题型，它将静态的数轴定点关系变为动态运动关系，核心载体依旧是数轴上两点间的距离公式 ，也是绝对值几何模型最典型的应用场景。 这类题目所有变化都围绕三个基本要素展开：动点起点、运动速度、运动方向。我们可以把动点运动类比成行程问题，路程=速度×时间，设运动时间为，就能用含的代数式表示出动点在任意时刻对应的数轴数，这是求解一切数轴动点题的基础。 题型的考查脉络层层递进：先利用代数式表示动点位置，再借助绝对值表示两点动态距离；进而衍生出相遇问题、相距定值问题、中点动态问题，拔高题型会结合最值、存在性分类讨论。 做数轴动点题最容易出现的误区是遗漏运动范围、忽略往返运动、分类讨论不全。解题的核心思路始终固定：定起点→表动点坐标→写距离表达式→结合题意列方程，依靠数轴直观划分区间，结合之前学过的绝对值模型求解，就能把动态问题转化为熟悉的静态代数问题。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 左右跳跃模型 3 模型2. 数轴动点规律模型 10 模型3. 距离问题 13 模型4. 相遇问题 21 模型5. 木棒滑动问题 24 模型6. 数轴的折叠 30 模型7. 定值问题 39 模型8. 往返问题 48 模型9. 折线数轴双动点问题 57 模型10. 挡板问题 68 模型11. 新定义问题 78 模型运用 86 数轴本身的基础功能，是把实数和直线上的点一一对应，由此诞生了静态知识点：两点距离公式、中点公式。这些都是固定点位的静态计算。为了考查学生变量思维，命题者引入时间、速度、运动方向，让数轴上的点不再固定，坐标随时间改变，静态数轴就演化成了数轴动点问题。它本质就是数轴静态知识 的动态化延伸，根基是有理数、绝对值几何意义、线段距离。 同向追及、相向相遇、相距多少路程、往返运动这些行程模型，在小学就已经学习。进入初中后，不 再用单纯的路程数字计算，而是把行驶的“车辆/行人”替换成数轴上的“动点”，把公路换成数轴直线，行程的路程公式路程=速度×时间完整保留，只是把落地场景平移到数轴上。同向运动、相向相遇、相距定值，全部都是行程题换了数轴外壳。 普通行程只算路程长短，数轴动点增加了正负方向：向左坐标减小，向右坐标增大，引入负数、相反 数、绝对值距离。原本的行程差值问题，变成了带符号的坐标运算，同时融合了绝对值距离、中点、分类讨论，完成了算术题到初中代数几何综合题的升级。 前面所学的距离模型是静态定点距离，数轴动点就是让其中一个点变为含的动态坐标，把绝对值方程、取值范围、解的个数等模型落地实操，让抽象的绝对值几何意义具象化。初中数学从常量计算转向变量代数是关键转折点。设时间，用含的代数式表示动点坐标，是初中整式、一元一次方程的核心应用训 练。一个点会越过另一个定点，前后距离表达式会发生改变；运动方向不同、往返折返，都会产生多解情况。命题设计刻意制造分段场景，锻炼完整分类、不重不漏的严谨解题习惯。 1.数轴上两点间的距离 数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b. 3.两点中点公式 已知在数轴上对应的数为，在数轴上对应的数为，则，的中点对应的数为 4.数轴上动点问题五要素 （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 5.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 6.数轴动点题的解题步骤 （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 模型1. 左右跳跃模型 【模型提炼】 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b。 这类题一般没有匀速速度，而是按固定步数左右交替跳（比如：右1、左2、右3、左4……），核心是分组找周期，区分奇偶步数的落点规律。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•重庆月考）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动12个单位长度到达点A4，…，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到达点An．如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 【分析】当n为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，当n为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3． 【解答】解：当n为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，当n为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3．据此可知： A1表示的数1﹣3＝﹣2； A2表示的数为﹣2+6＝4； A3表示的数为4﹣9＝﹣5； A4表示的数为﹣5+12＝7； A5表示的数为7﹣15＝﹣8； A6表示的数为﹣8+18＝10； A7表示的数为10﹣21＝﹣11； A8表示的数为﹣11+24＝13； A9表示的数为13﹣27＝﹣14； A10表示的数为﹣14+30＝16； A11表示的数为16﹣33＝﹣17； A12表示的数为﹣17+36＝19； A13表示的数为19﹣39＝﹣20； 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13． 故选：B． 【典例2】一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…点P按此规律移动，则移动20次后到达的点在数轴上表示的数是 　﹣20　 ． 【分析】分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由20÷4＝5，从而可求P20在数轴上表示的数． 【解答】解：分别求出部分点表示的数，探索规律： ∵P1表示的数为+1， P2表示的数为+3， P3表示的数为0， P4表示的数为﹣4， P5表示的数为+1， ⋯， ∴移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵20÷4＝5， ∴移动20次后到达的点在数轴上表示的数为﹣20， 故答案为：﹣20． 【典例3】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2019＞x2020，其中，正确结论的序号是 　①②④　 ． 【分析】根据题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， x3＝3×1＝3，故①正确； x5＝3×1﹣（5﹣3）×1＝1，故②正确； ∵108÷5＝21…3， ∴x108＝21+3＝24，x104＝23﹣1＝22， ∴x108＞x104，故③错误； ∵2019÷5＝403…4， ∴x2017＝403+4＝408，x2020＝408+1＝409， ∴x2019＜x2020，故④正确； 故答案为：①②④． 【典例4】（2025秋•仓山区校级期末）在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）． 例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3． 已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点． （1）d1（点O，线段AB）　1　 ，d2（点O，线段AB）　3　 ； （2）若点C，D表示数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值； （3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）＝5，求t的值． 【分析】（1）根据定义求值即可； （2）分线段CD在线段AB左侧和右侧两种情况求解； （3）根据点D的运动方向和速度分情况讨论． 【解答】解：（1）d1（点O，线段AB）＝1﹣0＝1， d2（点O，线段AB）＝3﹣0＝3， 故答案为：1，3； （2）当线段CD在线段AB右侧时， 可得：d1（线段CD，线段AB）＝m﹣3＝2， 解得：m＝5； 当线段CD在线段AB左侧时， 可得：d1（线段CD，线段AB）＝1﹣（m+2）＝2， 解得：m＝﹣3； 综上所述，m＝﹣3或5； （3）当0＜t＜1时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣2+2t， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣（﹣2+2t）＝5﹣2t＝5， 解得：t＝0（不符合题意）； 当t＝0时，点C表示的数为0，点D表示的数为﹣2， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣（﹣2）＝5； 当t＝1时，点C表示的数是2，点D表示的数为﹣2+2＝0， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣0＝3； 当1＜t＜2时，点C表示的数为2t，点D表示的数为0﹣4t＝﹣4（t﹣1）＝﹣4t+4， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣（﹣4t+4）＝5， 解得：； 当t＝2时，点C表示的数为4，点D表示的数为0﹣4（t﹣1）＝﹣4， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣（﹣4）＝7； 当2＜t＜3时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣4+6（t﹣2）＝6t﹣16， 则有d2（线段CD，线段AB）＝3﹣（6t﹣16）＝5， 解得：； 当t＝3时，点C表示的数为6，点D表示的数为2， 则有d2（线段CD，线段AB）＝6﹣1＝5； 当t＞3时， 则有d2（线段CD，线段AB）＝2t﹣1＞5； 综上所述，若d2（线段CD，线段AB）＝5，则有t＝0或或或3秒． 【典例5】（2025秋•榆阳区校级期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“+”，向左运动为“﹣”，则终点表示的数是0+2+（﹣5）＝﹣3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　2　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到﹣3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示﹣5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 【分析】（1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点B的运动时间，进而求出点C表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【解答】解：（1）3﹣5+4＝2； 故答案为：2； （2）点B运动了2.5﹣（﹣3.5）＝6个单位长度， 运动时间为6÷2＝3（秒）． 这段时间点C运动了1×3＝3个单位长度． ∵点C从原点出发， ∴点C运动到3所在点的位置， ∵3﹣（﹣3.5）＝6.5， ∴B，C两点之间的距离是6.5个单位长度； （3）﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+⋯﹣2021+2022﹣2023+2024﹣2025+2026 ＝﹣5+（﹣1+2）+（﹣3+4）+⋯+（﹣2023+2024）+（﹣2025+2026） ＝﹣5+1013 ＝1008． 所以点M表示的数为1008． 【典例6】（2025秋•永寿县校级月考）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣6和8的位置上沿数轴做移动游戏．每次移动的规则为：裁判先捂住一枚硬币，让两人猜向上一面是正面还是反面，然后根据所猜结果进行移动． ①若两人都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度； ②若甲猜对，乙猜错，则甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度； ③若甲猜错，乙猜对，则甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． （1）经过2次移动游戏，结果分别为“两人都猜对”和“甲猜对，乙猜错”，则按规则移动完成后，甲在数轴上停留的位置对应的数是　﹣1　 ，乙在数轴上停留的位置对应的数是　9　 ． （2）从如图位置开始，完成了6次移动游戏，发现两人每次所猜的结果均为“一对一错”，则两人在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图位置开始进行游戏，当两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，共进行了多少次移动？ 【分析】（1）根据①②的移动方式结合数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）②③两种移动方式，每移动一次，两人之间的距离都会减少2，据此求解即可； （3）两人相遇前①②③的移动方式均为每移动一次，两人之间的距离都会减少2，相遇后①②③的移动方式均为每移动一次，两人之间的距离都会增加2，据此讨论求解即可． 【解答】解：（1）根据①②的移动方式结合数轴上两点距离计算公式求解可得： ﹣6+1+4＝﹣1，8﹣1+2＝9， ∴甲在数轴上停留的位置对应的数是﹣1，乙在数轴上停留的位置对应的数是9， 故答案为：﹣1；9； （2）没有移动时，两人在数轴上的位置相距8﹣（﹣6）＝14个单位长度， 当甲猜对，乙猜错时，甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度， 此时两人之间的距离减小2个单位长度， 当甲猜错，乙猜对时，甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． 此时两人之间的距离减小2个单位长度， ∴两人每次所猜的结果均为“一对一错”时，两人之间的距离都会减少2个单位长度， ∴经过6次移动游戏后，两人在数轴上的位置相距2个单位长度； （3）没有移动时，两人在数轴上的位置相距8﹣（﹣6）＝14个单位长度， 当两人都猜对或都猜错时，甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度， 此时两人之间的距离减小1+1＝2个单位长度， ∴相遇前，按照所猜结果无论是①，②，③中的哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会减少2个单位长度， 当两人相遇前，两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，则移动了次， 当两人相遇后，按照所猜结果无论是哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会增加2个单位长度， ∴相遇后，移动了次， 综上当移动4次或10次时，两人在数轴上的位置相距6个单位长度． 模型2. 数轴动点规律模型 【模型提炼】 1. 明确初始条件 记下起点位置，明确每一步的方向、步长、奇偶步的变化规则。 2. 枚举前6～8个落点 手动算出第1步、第2步、第3步……的坐标，把结果罗列出来。 3. 判断规律类型 ①奇偶分段规律 ②固定周期循环规律 ③等差递推规律。 4. 大数取余/套通项 遇到第n步（大数），周期就求余数；奇偶就分n奇、n偶写两个式子。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•奉化区校级期中）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据周长为4个单位长度，利用﹣2024除以4，进而即可得到答案． 【解答】解：﹣2024÷4＝﹣506， 让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，即数轴上的1对应圆周上的0， ∴数轴上的0对应圆周上的1， ∴﹣2024将与圆周上的数字1重合． 故选：B． 【典例2】（2025秋•长春校级期中）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（　　） A．点C B．点D C．点A D．点B 【分析】正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定2024所对应的点． 【解答】解：正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，…，四次一个循环， ∵506， ∴数轴上数2024所对应的点是D； 故选：B． 【典例3】（2025秋•丹徒区期中）如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2025次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　7090　 ． 【分析】此题是找规律的题，长方形的周长是14，长是6，宽则为1，翻滚2次的和为7，翻滚2024次的和为7084，再翻滚1次即翻滚2025和为7085，然后得出数轴上表示的数即可． 【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B对应5， 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； … 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，翻滚2024次到达数轴上的点对应7089； 翻滚2025次到达数轴上的点对应7090，故点P对应的数是7090． 故答案为：7090． 【典例4】（2025秋•集美区校级期中）如图，等边三角形ABC的边AC在数轴上，现将等边三角形ABC沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点B′位置．若点A表示的数为﹣1，等边三角形ABC的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为　4049　 ． 【分析】由图可知，每3次翻滚为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【解答】解：由题意可得，每3次翻滚为一个循环组依次循环， ∵2024÷3＝674…2， ∴翻转2024次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是﹣1+674×6+6＝4049， 故答案为：4049． 模型3. 距离问题 【模型提炼】 1.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 2.数轴上两点间的距离 数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 【模型运用】 【典例1】（2025秋•扶余市期末）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　14　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　8　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　12或16　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB﹣AP进行求解．③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB+BP作答．（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解． 【解答】解： （1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x． （3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P． 当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48． 【典例2】（2025秋•兴宁市期末）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义，由点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4，可确定点N所表示的数； （2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间，所以分两种情况进行解答，即点P在点M的左侧，在点N的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设Q移动的时间为ts，用含有t的代数式表示移动后点P、Q所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数． 【解答】解：（1）∵点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4， ∴点N所表示的数为﹣3+4＝1， 答：点N所表示的数为1； （2）因为MN＝5，因此点P不可能在点M、N之间， 当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝﹣3﹣x，PN＝1﹣x， 由PM+PN＝5得，﹣3﹣x+1﹣x＝5， 解得x＝﹣3.5， 当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y+3，PN＝y﹣1， 由PM+PN＝5得，y+3+y﹣1＝5， 解得y＝1.5， 所以当点P到点M，N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是﹣3.5或1.5； （3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为﹣3﹣2×5＝﹣13， 设点Q移动的时间为ts，则点P所对应的数为（﹣13﹣2t），点Q所对应的数为（1﹣3t）， ①当点Q在点P的右侧时，有（1﹣3t）﹣（﹣13﹣2t）＝2， 解得t＝12， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×12＝﹣37，点Q所表示的数为1﹣3×12＝﹣35， ②当点Q在点P的左侧时，有（﹣13﹣2t）﹣（1﹣3t）＝2， 解得t＝16， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×16＝﹣45，点Q所表示的数为1﹣3×16＝﹣47， 答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47． 【典例3】（2025秋•南关区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为5，点P为数轴上任意一点． （1）线段AB的长度为　8　 ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为　1　 ； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，求出点P表示的数； （4）若点P到点A，B的距离之和为11．直接写出点P表示的数． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识解答； （3）利用数轴知识解答； （4）利用数轴知识解答． 【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8， ∴线段AB的长度为8； 故答案为：8； （2）5﹣（﹣3）＝8，8÷2＝4，﹣3+4＝1， ∴若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为1； 故答案为：1； （3）设点P对应的数为p， 当点P在点B右边时，PA＝3PB， ∴p﹣（﹣3）＝3（p﹣5），解得p＝9， 当点P在点A、点B之间时，PA＝3PB， ∴p﹣（﹣3）＝3（5﹣p），解得p＝3， ∴出点P表示的数为9或3； （4）设点P对应的数为p， 当点P在点B右边时，PA+PB＝11， ∴p﹣（﹣3）+（p﹣5）＝11，解得p， 当点P在点A左边时，PA+PB＝11， ∴（﹣3）﹣p+（5﹣p）＝11，解得p． ∴点P表示的数为或． 【典例4】（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 　20　 个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 　﹣5或﹣50　 ； （3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 　4　 ； ②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 【分析】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20； （2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OB，即得OB＝6015或OB＝6030，进而求得A点表示的数； （3）①B、C重合时t10，即得10m＝60﹣20，故m＝4； ②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案． 【解答】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合， ∴AB＝BC， ∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． ∴OA＝AB， ∴OA＝AB＝BC， ∵OC＝60， ∴AB＝6020， 故答案为：20； （2）∵OC＝60， ∴OB+BC＝60或BC﹣OB＝60， ∵BC＝3OB， ∴OB60＝15或OB＝30， ∴A点对应的数是15﹣20＝﹣5或﹣30﹣20＝﹣50， 即A点对应的数是﹣5或﹣50； （3）①当A点对应的数为20时， ∴B运动前表示的数是20+20＝40， ∵直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴B、C重合时t＝（60﹣40）÷2＝10（秒）， ∵点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B、P、C三点恰好在同一时刻重合， ∴10m＝60﹣20， ∴m＝4， 故答案为：4； ②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60， （Ⅰ）当B是P、C中点时， 依题意有20+15m+60＝70×2， 解得m＝4； （Ⅱ）当B与P重合时， 依题意有20+15m＝70， 解得m； （Ⅲ）当P是B、C中点时， 依题意有70+60＝2（20+15m）， 解得m＝3； （Ⅳ）当P与C重合时，20+15m＝60； 解得m， （Ⅴ）当C是P、B中点时， 依题意有20+15m+70＝60×2， 解得m＝2． 综上所述，m的值是2或或3或或4． 【典例5】（2025秋•太和县月考）如图，已知M，N两点在数轴上，点M在点N的左侧，点M表示的数为﹣2，点N到原点O的距离是点M到原点O的距离的4倍． （1）求数轴上点N表示的数； （2）若点P到点M、点N的距离相等，求点P表示的数； （3）若点M与点Q之间的距离表示为MQ，点M与点N之间的距离表示为MN，试探究在数轴上是否存在点Q，使得MQ＝3MN．若存在，请求出点Q表示的数是多少？若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求解点M到原点O的距离，再由点N到原点O的距离是点M到原点O的距离的4倍，即可求解点N到原点O的距离，根据点M与点N的位置求解即可； （2）根据题意可得点P到点M、点N的距离都等于5，由此计算即可； （3）先求解出MN，根据MQ＝3MN得到MQ，再分2种情况求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知点M到原点O的距离为2， ∵点N到原点O的距离是点M到原点O的距离的4倍， ∴点N到原点O的距离为8， ∵点M在点N的左侧， ∴数轴上点N表示的数为8； （2）由条件可知点M、点N的距离为8﹣（﹣2）＝10， 又∵点P到点M、点N的距离相等， ∴点P到点M、点N的距离都等于10÷2＝5， ∴点P表示的数为﹣2+5＝3； （3）由条件可知MN＝|8﹣（﹣2）|＝|8+2|＝10， ∵MQ＝3MN， ∴MQ＝3×10＝30， 当点Q在点M的左侧时， 则点Q表示的数为﹣2﹣30＝﹣32； 当点Q在点M的右侧时： 则点Q表示的数为﹣2+30＝28； 综上，点Q表示的数为﹣32或28． 模型4. 相遇问题 【模型提炼】 动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 两个动点相遇，意味着同一时刻两点在数轴上的表示的数完全相等。 前提：两点同时出发；若不同时出发，要修正晚出发动点的运动时长。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•东莞市期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【典例2】（2026春•福山区期末）如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． （1）若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是　4　 个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是　16　 个单位长度． （2）点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ （3）若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 【分析】（1）向右运动时，用点A、B之间运动前的距离加上点B运动的长度，再减去点A运动的长度；向左运动时，用点A、B之间运动前的距离加上点A运动的长度，再减去点B运动的长度； （2）根据点A、B重合时点A运动的长度等于点A、B之间运动前的距离加上点B运动的长度列方程求解即可； （3）分①点A、B相遇前相距2个单位长度和②点A、B相遇后相距2个单位长度两种情况求解即可． 【解答】解：（1）向右运动时：10+6﹣2×6＝4， 向左运动时：10+2×6﹣6＝16； 故答案为：4；16； （2）10+x＝2x， x＝10， 答：经过10秒后点A、B重合； （3）点A、B相遇后相距2个单位长度， 2x+x﹣2＝10， x＝4；点A、B相遇前相距2个单位长度， 2x+x+2＝10， ； 答：经过秒或4秒后点A、B两点之间相距2个单位长度． 【典例3】（2026春•黔江区校级月考）已知两点A、B在数轴上，a与﹣13互为相反数，点A表示的数是a，且AB＝10． （1）点B表示的数为 　11或﹣9　 ； （2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点A时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得P，Q两点的距离为5，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM﹣ON|＝2时，求动点P的原速和Q运动的速度． 【分析】（1）利用相反数的意义和分类讨论的思想方法解答即可； （2）利用已知条件列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）由题意求得点Q的运动时间为5秒，运动距离为10，则点Q的速度可求；设动点P的原速为v，利用代数式表示出OM，ON的长度，利用|OM﹣ON|＝2列出方程解答即可． 【解答】解：（1）∵a与﹣13互为相反数， ∴a＝1． 设点B表示的数为x， ∵点A表示的数是a，且AB＝10， ∴|x﹣1|＝10， ∴x＝11或﹣9． 故答案为：11或﹣9； （2）在整个运动过程中，存在某个时刻t（秒），使得P，Q两点的距离为5，t的值为2或6．理由： 当点A、B位于原点O的同侧时， ∴OA＝1，OB＝11． 设动点Q的速度为a，则动点P的速度是1.5a， ∵4秒后两动点相遇， ∴4（a+1.5a）＝10， ∴a＝1． ∵P，Q两点运动t（秒）后，使得P，Q两点的距离为5， ∴t+1.5t+5＝10或t+1.5t﹣5＝10， 解得：t＝2或6． ∴在整个运动过程中，存在某个时刻t（秒），使得P，Q两点的距离为5，t的值为2或6． （3）∵动点Q比动点P晚出发1秒，当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇， ∴P，Q两点在点A处相遇，此时点Q的运动时间为5秒，距离为10， ∴Q运动的速度为10÷5＝2； 设动点P的原速为v，则OM＝OA+PM＝1+12v，ON＝OA+PN＝1+12＝13， 由题意得：|OM﹣ON|＝2， ∴|1+12v﹣13|＝2， ∴v或． ∴动点P的原速为或 模型5. 木棒滑动问题 【模型提炼】 把一段长度固定的线段（木棒）放在数轴上整体匀速平移，木棒上两个端点同步同速同向移动，常见设问： 1. 两端点任意时刻的坐标 2. 两点相距定值、中点坐标 3. 木棒两端触碰到定点、完全覆盖某点/区间 4. 木棒滑动过程中绝对值最值问题 设木棒固定长度为L，初始左端坐标A，右端坐标B，则恒满足：B-A=L 木棒整体速度v - 整体向右滑动：，， - 整体向左滑动：，。 关键点：滑动全程两端距离永远等于木棒原长L，长度不会被拉伸压缩。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•衡东县期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． （1）由此可得，CD＝　21　 cm，a的值为　7　 cm． （2）图中点A所表示的数是　11　 ，点B所表示的数是　18　 ． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求CD，再根据题题意可知3MN＝CD，进而可求出a的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可答案． 【解答】解：（1）∵当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25， ∴CD＝25﹣4＝21， ∵3MN＝CD， ∴3a＝21， 即：a＝7 故答案为：21，7； （2）由（1）可得：点B所表示的数是：4+7+7＝18；点A所表示的数是：4+7＝11； 故答案为：11，18； （3）如图：点B表示奶奶现在的年龄，点A表示孙子现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒MN，奶奶像孙子那么大时看作当点N移动到A处时，点M与点E重合，点E所对应的数为2；孙子像奶奶那么大时看作当点M移动到B处时，点N与点F重合，点F所对应的数为128； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵2+42＝44（岁），128﹣42＝86（岁）， ∴孙子现在44岁，奶奶现在86岁． 【典例2】（2025秋•珠海期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　5　 cm． （2）图中点A所表示的数是　10　 ，点B所表示的数是　15　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为5cm； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣35，小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55，可知爷爷的年龄． 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm）， 则此木棒长为5cm． （2）图中点A所表示的数是 10，点B所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为﹣35． 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为130． ∴可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55， 可知爷爷的年龄为130﹣55＝75． 【典例3】（2025秋•深圳期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，滑块的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为　5　 cm． （2）在（1）的条件下，图中点A所表示的数是　8　 ，点B所表示的数是　13　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈!”，请求出老师现在多少岁了？ 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识解答； （3）利用数轴知识和方程解答． 【解答】解：（1）18﹣3＝15，15÷3＝5（cm）， 故答案为：5； （2）3+5＝8，8+5＝13， 故答案为：8，13； （3）设 设子涵跟数学老师的年龄差为X，由“我若是你现在这么大，你还要28年才出生”，那子涵当时年龄抽象为﹣28岁，即子涵还要过28年才出生；由“你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了”，那将来数学老师86岁时，那年子涵的年龄为现在数学老师的年龄， 所以86﹣（﹣28）＝114（岁）， 此时刚好为3个年龄差：3X＝114， 解得：x＝38， ∴数学老师现在的年龄为：86﹣38＝48（岁）． 答：老师现在48岁． 【典例4】（2025秋•古塔区校级期中）根据所学的数轴知识，解答下面的问题： （1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C，如图1所示． ①点A表示的数是　﹣2　 ，A，B两点之间的距离是　4　 ； ②将点B向左移动4个单位长度，此时该点表示的数是　﹣2　 ． （2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30，若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得，这根木棒的长为　8　 cm； ②点A所表示的数是　14　 ，点B所表示的数是　22　 ． （3）知识应用：如图3，由（2）中①②的启发，请借助数轴这个工具解决问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是像你现在这么大，你还要37年才出生；你若是像我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？ 琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这么大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C表示的数为﹣37． 根据琪琪的想法，完成下列问题； ①若把点A移动到点B，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为　119　 ； ②求奶奶现在多少岁了． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识解答； （3）利用数轴知识解答． 【解答】解：（1）①点A表示的数是﹣2，A，B两点之间的距离是4； ②将点B向左移动4个单位长度，此时该点表示的数是﹣2； 故答案为：①﹣2，4；②﹣2； （2）①（30﹣6）÷3＝8， ∴这根木棒的长为8cm； ②6+8＝14，6+8+8＝22， ∴点A所表示的数是14，点B所表示的数是22； 故答案为：①8；②14，22； （3）①点D表示的数为119； ②﹣37+[119﹣（﹣37）]÷3×2 ＝﹣37+156÷3×2 ＝﹣37+104 ＝67（岁）． 答：奶奶现在67岁了． 故答案为：①119． 【典例5】（2025秋•原州区校级期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　8　 cm； （2）图中点A所表示的数是　14　 ，点B所表示的数是　22　 ； （3）由（1）、（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明问爸爸的年龄，爸爸说：“我要是你现在这么大，你才满2岁，你要是我现在这么大，我就71了”，请问爸爸现在多少岁？ 【分析】（1）根据所给移动方式，得出木棒长度的3倍，据此可解决问题； （2）结合（1）中的计算结果即可解决问题； （3）结合（1）（2）的启发进行计算即可． 【解答】解：（1）由所给移动方式可知， 木棒的长度为：（cm）． 故答案为：8； （2）由（1）知， 6+8＝14，30﹣8＝22， 所以点A表示的数是14，点B表示的数是22． 故答案为：14，22； （3）由题知， 小明和爸爸的年龄差为定值， 令这个定值为m， 则m， 所以71﹣23＝48（岁）， 答：爸爸现在48岁． 模型6. 数轴的折叠 【模型提炼】 数轴折叠，本质是找折叠中心点（对称轴），折叠后重合的两个点关于中心对称。 设折叠中心为点 C，若点 A 折叠后与点 B 重合，则必有一条万能对称公式：。 变形常用两个推论： 1. （折叠后两重合点的坐标之和等于中心的2倍）， 2. 两点到中心的距离相等：， 所有折叠题全部围绕这两个公式展开。 【模型运用】 【典例1】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　2　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【分析】（1）根据表示1的点与表示﹣1的点重合，可得其中点为原点，则﹣2与2重合； （2）根据表示﹣1的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕经过原点， ∴表示﹣2的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴1， ∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3， ∴点D表示的数为﹣3； ②A：13.5， B：15.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【典例2】（2025秋•扬州月考）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣2的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是　﹣1　 ；数轴上表示数3的点与表示数　﹣5　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是　﹣8或4　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A和B之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是　﹣51　 ；B点表示的数是　49　 ． 【分析】（1）根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据题目给的条件计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可； （3）根据已知条件可得点A到折痕点﹣1的距离与点B到折痕点﹣1的距离相等，计算即可得解． 【解答】解：（1）∵数轴上数﹣2表示的点与数0表示的点关于点﹣1对称， 而3﹣（﹣1）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5， ∴数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合． 故答案为：﹣1；﹣5． （2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8， 当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4， ∴B点表示的数是﹣8或4， 故答案为：﹣8或4． （3）∵经折叠后重合的两点A、B之间的距离为100，（A在B的左侧）， ∴点A到折痕点﹣1的距离与点B到折痕点﹣1的距离相等，且都为100÷2＝50， 由于A在B的左侧， 所以B点表示的数是﹣1+50＝49，A点表示的数是﹣1﹣50＝﹣51， 故答案为：﹣51，49． 【典例3】（2025秋•江阴市校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　3　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 　﹣7　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　﹣10，6　 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　，1.5或．　 ． 【分析】（1）根据对称性﹣1与1重合，可以得出折痕的点为原点O； （2）根据对称性找到折痕的点为﹣2，①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为 AB＝16，所以 A 到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为﹣2，由此得出 A、B 两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，计算出对应的x的值即可． 【解答】解：（1）操作一： ∵表示的点1与﹣1表示的点重合，•∴折痕为原点 O，则﹣3表示的点与3表示的点重合； （2）操作二：折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，则折痕表示的点为﹣2， ①设3表示的点与数a表示的点重合，则 3﹣（﹣2）＝﹣2﹣a．∴a＝﹣7； ②∵•数轴上 A、B 两点之间距离为 16， ∴数轴上 A、B 两点到折痕﹣2的距离为8， ∵A在B的左侧，则 A、B 两点表示的数分别是﹣10 和6； （3）操作三：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， a+a+2a＝9 ∴， ∴AB，BC，CD． ∴， 设折痕处对应的点所表示的数是x如图1， 如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， a+a+2a＝9 ∴， ∴AB，BC，CD， ∴ 如图 3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，a+a+2a＝9 ∴， ∴，BC，CD，AB． ，∴ 综上所述，折痕点可能的数是：，1.5或． 【典例4】（2025秋•增城区期中）【定义】已知点C是线段AB上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：2时，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）求点A、B之间的距离； （2）求线段AB的“理想点”C所对应的数； （3）现将一纸条AB如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为1：1：3，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可．； （2）根据“理想点”定义及C到A、B距离的比例关系，分情况讨论C对应数轴上的数即可； （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【解答】解：（1）AB＝10﹣（﹣20）＝120， ∴点A、B间的距离为120； （2）由（1）知AB＝120， ①当AC：CB＝1：2时， ∴AC40， ∴C所对应的数为20， ②当AC：CB＝2：1时， ∴BC＝80， ∴C所对应的数为60， 综上，线段AB的“理想点”C所对应的数为20或60； （3）∵AB＝120，三条纸条的长度为1：1：3三部分， ∴三条纸条的长度分别是24，24，72， ①如图所示，当从A到B三条纸条长度为24，24，72时 此时折痕表示的数为﹣20+24+12＝16； ②如图所示，当从A到B三条纸条长度为24，72，24时 此时折痕表示的数为﹣20+24+36＝40； ③如图所示，当从A到B三条纸条长度为72，24，24时 此时折痕表示的数为﹣20+72+12＝64； 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16或40或64． 【典例5】（2025秋•方城县月考）综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示　5　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示﹣6的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示　﹣8　 的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是　﹣10，6　 ． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从﹣3到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 【分析】（1）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解； （2）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为﹣2，①求出表示4的点与表示﹣2的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式求值即可；②因为数轴上A，B两点之间的距离为16，所以A，B到折痕的点距离为8，据此列式求解即可； （3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当AB：BC：CD＝1：1：2时，当AB：BC：CD＝1：2：1时，当AB：BC：CD＝2：1：1时，分别求出AB、BC、CD的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可． 【解答】解：由图知：数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等， （1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕过原点， 则表示﹣5的点与表示5的点重合， 故答案为：5； （2）若使表示2的点与表示﹣6的点重合， 则说明折痕过表示﹣2的点， ①表示﹣2的点与表示4的点的距离为：4﹣（﹣2）＝6， ﹣2﹣6＝﹣8， ∴表示4的点与表示﹣8的点重合， 故答案为：﹣8； ②∵数轴上A，B两点之间的距离为16， ∴A，B到折痕处的距离为8， ∵点A在点B的左侧， ∴点B表示的数为：﹣2+8＝6，点A表示的数为：﹣2﹣8＝﹣10， 故答案为：﹣10，6； （3）8个单位长度（从﹣3到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠， 然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段， 若这三条线段的长度之比为1：1：2， 如图，当AB：BC：CD＝2：1：1时， AB＝2a，BC＝a，CD＝a， ∴2a+a+a＝8， ∴a＝2， ∴AB＝4，BC＝2，CD＝2， ∴折痕处对应的点所表示的数是：， 如图，当AB：BC：CD＝1：2：1时， 设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， ∴a+2a+a＝8， ∴a＝2， ∴AB＝2，BC＝4，CD＝2， ∴折痕处对应的点所表示的数是：， 如图，当AB：BC：CD＝1：1：2时， 设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， ∴a+a+2a＝8， ∴a＝2， ∴AB＝2，BC＝2，CD＝4， ∴折痕处对应的点所表示的数是：； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是0或1或2． 模型7. 定值问题 【模型提炼】 1. 动点在数轴上运动，坐标随时间变化，但某条线段长度、线段和差、中点相关代数式，化简后会消去变量，最终结果固定不变，这就是定值问题。 2. 解题步骤 （1）设运动时间，写出所有动点的动态坐标（右加左减）。 （2）根据题意，用坐标表示出需要研究的线段绝对值表达式。 （3）去掉绝对值、去括号合并同类项。 （4）若含项全部抵消，剩余常数即为定值；若保留则不是定值。 【模型运用】 【典例1】如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　5　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出AB的长度和中点，然后求出B的重合点； （2）①分别以A、B、C为中点，列出等式解出即可； ②使mBC﹣2AB的值为定值，列出等式中的含t的项合并为0，从而求出m． 【解答】解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12， 12÷2＝6， AB的中点表示的数为：9﹣6＝3， 3﹣1＝2，3+2＝5， 则点B与5表示的点重合； （2）①由题意可知， t 秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t， B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， （i）若B为AC中点， 则 ． ∴t＝1； （ii）若C为AB中点， 则 ， ∴t＝4； （iii）若A为BC中点， 则 ， ∴t＝16， ∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； ②假设存在． ∵C在B右侧，B在A右侧， ∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t， mBC﹣2AB ＝m（8﹣3t）﹣2（4+t） ＝8m﹣3mt﹣8﹣2t ＝8m﹣8﹣（3mt+2t） ＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0即m时， mBC﹣2AB＝8×（）﹣8为定值， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值． 【典例2】（2025秋•焦作期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　6　 ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA＝4PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据AB＝8，且OB＝3OA，就可以确定a和b的值； （2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝4PB建立等式，就可以求出x的值； （3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值． 【解答】解：（1）因为AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b， 所以a＝﹣2，b＝6． 故答案为：﹣2，6； （2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去． 因为PA＝4PB， 所以x+2＝4（6﹣x）， 所以x； ②当P点位于B点右侧时， 因为PA＝4PB， 所以x+2＝4（x﹣6）， 所以x， 所以x的值为或； （3）3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化， t秒后，A点的值为（﹣2﹣t），P点的值为2t，B点的值为（6+3t）， 所以3PB﹣PA ＝3（6+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣2﹣t）] ＝18+3t﹣（2t+2+t） ＝18+3t﹣3t﹣2 ＝16． 所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化，其值为16． 【典例3】（2025秋•衡水期末）如图，数轴上点A，B分别对应数a，b，其中a＜0，b＞0． （1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是　2　 ；（直接填结果） （2）若该数轴上另有一点M对应着数m． ①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值； ②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，请说明代数式3b﹣4m或2m﹣3b均有定值（不变的数值），并求出它们的定值． 【分析】（1）由点的对称性可得，AB的中点为2； （2）①由已知可得2﹣a＝2（b﹣2），所以a+2b＝6即可求解；②由已知得|m+2|＝3|b﹣m|，分三种情况去掉绝对值可得：当m＜﹣2时，﹣m﹣2＝3（b﹣m），当﹣2≤m≤b时，m+2＝3（b﹣m），当m＞b时，m+2＝3（m﹣b），分别求解即可． 【解答】解：（1）由点的对称性可得，AB的中点为2， 故答案为2； （2）①∵m＝2，b＞2，AM＝2BM， ∴2﹣a＝2（b﹣2）， ∴a+2b＝6， ∴a+2b+20＝6+20＝26； ②∵a＝﹣2，且AM＝3BM， ∴|m+2|＝3|b﹣m|， 当m＜﹣2时，﹣m﹣2＝3（b﹣m）， ∴3b+2＝2m， ∴2m﹣3b＝2； 当﹣2≤m≤b时，m+2＝3（b﹣m）， ∴3b﹣2＝4m， ∴3b﹣4m＝2； 当m＞b时，m+2＝3（m﹣b）， ∴3b+2＝2m， ∴2m﹣3b＝2； ∴3b﹣4m或2m﹣3b均有定值为2． 【典例4】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB， ∴|﹣10+7t|＝5， 解得：t或t． ∴当t为或秒时，． （2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴线段MN的中点C表示的数为， 由题意得：3， ∴t＝12． ∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由： ∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为， ∴EF＝||＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5． 【典例5】（2025秋•新会区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移7个到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A，B，C； （2）动点P从点C出发，以每秒0.3个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.5个单位长度和0.4个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点A和点C表示的数，点B为点A和点C的中点； （2）利用时间乘以速度等于路程，再根据开始位置在数轴上表示的数表示出两点简单距离，利用分类讨论思想进行求解． 【解答】解：（1）∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴A点表示的数为0﹣3＝﹣3，再向右移7个单位， ∴C点表示的数为﹣3+7＝4．A、C两点间距离为4﹣（﹣3）＝7， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为 7+2＝3.5， ∴B点表示的数为﹣3+3.5＝0.5， 即A：﹣3，B：0.5，C：4； （2）①动点P从点C出发，速度为每秒0.3个单位长度，运动15秒，移动的距离为0.3×15＝4.5， ∵C：4， ∴P：﹣0.5，又B：0.5， ∴点P与点B之间的距离为1， ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为4﹣0.3t，点Q表示的数为﹣3+0.5t，点M表示的数为0.5+0.4t， 则QM＝|﹣3+0.5t﹣（0.5+0.4t）|＝|0.1t﹣3.5|，MP＝|0.5+0.4t﹣（4﹣0.3t）|＝|0.7t﹣3.5|， 当t≥35时， QM+mMP＝0.1t﹣3.5+m（0.7t﹣3.5）＝（0.7m+0.1）t﹣3.5﹣3.5m， 当0.7m+0.1＝0时， 解得m， QM+mMP＝﹣3.5m﹣3.5＝﹣3， 当t≤5时， QM+mMP＝3.5﹣0.1t+m（3.5﹣0.7t）＝（﹣0.7m﹣0.1）t+3.5+3.5m， 当﹣0.7m﹣0.1＝0时， 解得m， QM+mMP＝3.5+3.5m＝3， 当5＜t＜35时， QM+mMP＝3.5﹣0.1t+m（0.7t﹣3.5）＝（0.7m﹣0.1）t+3.5﹣3.5m， 当0.7m﹣0.1＝0时， 解得m， QM+mMP＝3.5﹣3.5m＝3， 所以，不存在一个有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变． 【典例6】（2025秋•唐山期中）如图，在数轴上，点A表示﹣2，点B表示8，点P从原点O出发，沿数轴负方向以v1的速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以v2的速度向终点O运动，运动时间为t． （1）求AB的长； （2）若v1＝1，v2＝2，且t＝1，求PQ的长； （3）直接写出点P、Q表示的数（用含v1、v2、t的式子表示）； （4）点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，设NQ＝m，AQ＝n，且n＝4m，NP始终为定值，直接写出v1、v2满足的数量关系． 【分析】（1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求PQ的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知PA＝﹣v1t+2，AQ＝10﹣v2t，则n＝10﹣v2t，，即，由NQ＝m，AQ＝n＝4m，可知，根据PN＝AN﹣AP求出，根据NP始终为定值得到4v1﹣3v2＝0，即可求出v1、v2满足的数量关系． 【解答】解：（1）AB＝8﹣（﹣2）＝10； （2）点Q表示的数为：8﹣2×1＝6，点P表示的数为：0﹣1×1＝﹣1， ∴PQ＝6﹣（﹣1）＝7； （3）∵点Q从点B出发沿数轴负方向以v2的速度向终点O运动，运动时间为t， ∴点Q表示的数为8﹣v2t； ∵点P从原点O出发，沿数轴负方向以v1的速度向终点A运动，运动时间为t， ∴点P表示的数为0﹣v1t＝﹣v1t； （4）∵点P表示的数为：﹣v1t， ∴PA＝﹣v1t﹣（﹣2）＝﹣v1t+2， ∵点Q表示的数为8﹣v2t， ∴AQ＝8﹣v2t﹣（﹣2）＝10﹣v2t， ∵AQ＝n， ∴n＝10﹣v2t， ∵n＝4m， ∴4m＝10﹣v2t， ∴ ∴， ∵AQ＝n＝4m，NQ＝m， ∴， ∵PA＝﹣v1t+2， ∴， ∵NP始终为定值， ∴4v1﹣3v2＝0， ∴4v1＝3v2． 模型8. 往返问题 【模型提炼】 动点被限制在数轴两个固定端点之间运动，撞到端点立刻原路反向，速度大小始终不变，只改变运动方向。 核心难点：运动分段，不能用单一整式写全程坐标，依靠分段计时或周期取余两种解法。 设左右边界为 、 1. 区间总长 ； 2. 单向走完单程用时：； 3. 一次完整往返（去+回）路程 ，周期时长 。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•金湾区期末）【知识背景】如图，已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【背景理解】 若a，b满足|a+2|+（b﹣8）2＝0． （1）数轴上点A表示的数是　﹣2　 ，点B表示的数是　8　 ．若点C是数轴上一点，且满足，请通过计算，求点C所表示的数； （2）点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度在数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以4个单位长度/秒在数轴上向左运动．点P，Q运动的同时，点D以3个单位长度/秒的速度从原点O向左运动．当遇到点P时，点D立即以同样的速度（3个单位长度/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间．求当点P与点Q相遇时，点D所经过的总路程是多少？ 【背景应用】 （3）在（1）的条件下，点M，N分别从O，B出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为6个单位长度l秒，点N的速度为2个单位长度/秒，A、M的中点为G；O、N的中点为H，设运动的时间为t秒（t＞0），在M，N运动过程中，若AG﹣k•GH为不随时间t的变化而变化的定值，请求出符合条件的k的值，并求此定值． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a，b的值，再根据B，C两点之间的距离，分类讨论，即可求出点C表示的数； （2）设运动的时间为x秒（x＞0），则动点P、Q表示的数分别为﹣2+2x、8﹣4x，根据点P与点Q相遇，列出方程，即可求出动点D运动的时间，计算即可求出总路程； （3）用含t的式子表示出点M表示的数为6t，点N表示的数为8+2t，根据中点公式可表示出点G、H表示的数，从而表示出AG＝1+3t，GH＝|5﹣2t|，再根据t的取值范围分类讨论，由AG﹣k•GH不随时间t的变化而变化，可知含t的项的系数为0，从而求出k的值，代入即可求出定值． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣8）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣8＝0， 解得a＝﹣2，b＝8， ∴数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是8； 故答案为：﹣2：8； ∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是8， ∴AB＝|﹣2﹣8|＝10， ∴， 当点C在点B的左边时，则8﹣5＝3； 当点C在点B的右边时，则8+5＝13； ∴点C表示的数为3或13； （2）设运动的时间为x秒（x＞0），则点P表示的数为﹣2+2x，Q表示的数为8﹣4x， 当点P与点Q相遇时，即点P与点Q表示的数相同， 则﹣2+2x＝8﹣4x， 即， ∴点D所经过的总路程为； （3）由题可知，点M表示的数为6t，点N表示的数为8+2t， ∵A、M的中点为G，O、N的中点为H， ∴点G表示的数为，点H表示的数为， ∴AG＝﹣1+3t﹣（﹣2）＝1+3t，GH＝|4+t﹣（﹣1+3t）|＝|5﹣2t|， 当时，则GH＝5﹣2t， ∴AG﹣k•GH＝1+3t﹣k（5﹣2t）＝1+3t﹣5k+2kt＝（2k+3）t+1﹣5k， ∵AG﹣k•GH为不随时间t的变化而变化的定值， ∴2k+3＝0， 解得， 则AG﹣k•GH＝1﹣5×（）； 当时，则GH＝2t﹣5， ∴AG﹣k•GH＝1+3t﹣k（2t﹣5）＝1+3t﹣2kt+5k＝（3﹣2k）t+1+5k， ∵AG﹣k•GH为不随时间t的变化而变化的定值， ∴3﹣2k＝0， 解得； 则AG﹣k•GH＝1+5； 综上可得：k的值为或，定值为． 【典例2】（2025秋•锦江区校级期末）数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是﹣12，AB＝10，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（t＞0）． （1）直接写出b，c的值：b＝　﹣2　 ，c＝　3　 ． （2）若点K是线段AP的中点，当t为何值时，AQ＝KB； （3）若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持PM＝3，QN＝2（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段PM立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使PM和QN两条线段重叠部分为PM的三分之一，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求解OA＝12，进一步结合线段的和差可得OB＝OA﹣AB＝2，OC＝BC﹣OB＝3，从而可得答案． （2）表示运动中点Q表示的数为3﹣2t，点P表示的数为﹣12+3t，可得K表示的数为，结合AQ＝KB，再建立方程求解即可． （3）当M与N重合时，可得t＝2，当PM和QN两条线段重叠部分为PM的三分之一时，此时M在N的右边或Q在P的右边，可得或，当点P运动到C点时，则﹣12+3t＝3，可得t＝5，结合此后线段PM立即以原速度的倍返回向左运动，P表示，M表示41﹣7t，当P在Q的左边时，此时，当N在M的左边时，此时，再进一步建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣12，AB＝10，， ∴OA＝12，OB＝OA﹣AB＝2，BC＝5， ∴OC＝BC﹣OB＝3， ∴b＝﹣2，c＝3， 故答案为：b＝﹣2，c＝3； （2）∵AC＝OA+OC＝12+3＝15，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动． ∴最长运动时间，运动中点Q表示的数为3﹣2t， ∵点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动， ∴运动中点P表示的数为﹣12+3t， ∵点K是线段AP的中点， ∴K表示的数为， ∴AQ＝3﹣2t﹣（﹣12）＝15﹣2t，， ∵AQ＝KB， ∴， ∴或， 解得：或t＝10（舍去）． 综上：． （3）∵PM＝3，QN＝2（点M在点P右边，点N在点Q左边）， ∴M表示﹣9+3t，N表示1﹣2t， 当M与N重合时， ∴﹣9+3t＝1﹣2t， 解得：t＝2， 此时当PM和QN两条线段重叠部分为PM的三分之一时， 此时M在N的右边或Q在P的右边， ∴或， ∴﹣9+3t﹣（1﹣2t）＝1或3﹣2t﹣（﹣12+3t）＝1， 解得：或， 当点P运动到C点时，则﹣12+3t＝3， 解得：t＝5， 此时Q表示3﹣2×5＝﹣7，N表示1﹣2×5＝﹣9，M表示﹣9+3×5＝6， 此后线段PM立即以原速度的倍返回向左运动， ∴P表示，M表示41﹣7t， 当P在Q的左边时，此时， ∴3﹣2t﹣（38﹣7t）＝1， 解得：，符合题意， 当N在M的左边时，此时， ∴41﹣7t﹣（1﹣2t）＝1， 解得：，不符合题意舍去． 综上：或或． 【典例3】（2025秋•章丘区期末）已知关于x的二次多项式（a+3）x3+9x2﹣2x+1的二次项系数为b，且c是单项式的次数，如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c． （1）填空：a＝　﹣3　 ，b＝　9　 ，c＝　7　 ； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒，当t为何值时，点P、Q、C中一点是以其他两点为端点的线段的中点？ （3）动点P、Q在（2）的运动条件下，同时点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点N与点P相遇后，点N立即改变运动方向按原速沿数轴向右匀速运动，当点N运动与点Q相遇时全部停止运动．请问是否存在常数m，使得PN+mNQ在整个运动过程中的某一阶段为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据多项式与单项式的次数与系数，三次项系数为0求解即可； （2）P点表示的数为﹣3+2t，Q点表示的数为9﹣t，据中点列方程求解即可； （3）当点N与点P相遇之前，PN+mNQ＝10﹣3t+2m，此时PN+mNQ与时间t有关，不可能为定值；当点N与点P相遇之后，PN+mNQ＝tm（2t）＝（1﹣2m）t，当1﹣2m＝0，时，PN+mNQ2为定值． 【解答】解：（1）由题意可得：a+3＝0，b＝9，c＝3+4＝7， ∴a＝﹣3，b＝9，c＝7， 故答案为：﹣3，9，7； （2）由题意可得：P点表示的数为﹣3+2t，Q点表示的数为9﹣t，C点表示的数为7，令分以下三种情况讨论： 当P点为CQ的中点时，﹣3+2t， 解得t， 当Q点为CP的中点时，9﹣t 解得t， 当C点为PQ的中点时，7， 解得t＝8； 综上所述，当t的值为或或8时，点P、Q、C中一点是以其他两点为端点的线段的中点； （3）存在，理由如下：动点P、Q在（2）的运动条件下，P点表示的数为﹣3+2t，Q点表示的数为9﹣t， 点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，N点表示的数为7﹣t， 相遇时，﹣3+2t＝7﹣t， 解得t， 此时N点表示的数为7﹣t， 当点N与点P相遇之前，0≤t， 此时PN＝7﹣t﹣（﹣3+2t）＝10﹣3t，NQ＝9﹣t﹣（7﹣t）＝2， ∴PN+mNQ＝10﹣3t+2m，此时PN+mNQ与时间t有关，不可能为定值； 当点N与点P相遇之后，t， 点N立即改变运动方向按原速沿数轴向右匀速运动， N点表示的数为1×（t）＝t， 此时PN＝﹣3+2t﹣（t）＝t，NQ＝9﹣t﹣（t）2t， ∴PN+mNQ＝tm（2t）＝（1﹣2m）t， 当1﹣2m＝0，时，PN+mNQ2为定值． 【典例4】（2025秋•连南县期末）对于任意有理数m、n，我们定义新运算“⊕”规定：m⊕n＝m+2n． （1）计算5⊕（﹣1）的值； （2）在数轴上，点P从表示﹣3的点出发，以每秒2个单位长度向右运动，同时，点Q从表示7的点出发，以每秒1个单位长度向右运动，当点P追上点Q时立即返回，速度大小不变，点Q运动方向和速度大小不变．运动时间为t秒（t≥0），P、Q运动t秒所对应数分别记为p、q． ①用含t的代数式表示p和q； ②当p⊕q＝15时，判断此时P、Q是否相遇．若未相遇，求两者在数轴上的距离；若已相遇，求从相遇时刻起经过的时间． 【分析】（1）根据题意可得5⊕（﹣1）＝5+2×（﹣1），据此计算求解即可； （2）①建立方程求出点P追上点Q的时间，再分两种情况：点P没有追上点Q和点P追上点Q后，分别表示出q和p即可； ②分两种情况：0≤t≤10和t＞10，根据p⊕q＝15建立方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，5⊕（﹣1）＝5+2×（﹣1）＝5+（﹣2）＝3； （2）①当点P追上点Q时，则﹣3+2t＝7+t， 解得t＝10， ∴当0≤t≤10时，q＝7+t，p＝﹣3+2t， 当t＞10时，p＝﹣3+2×10﹣2（t﹣10）＝37﹣2t，q＝7+t； 综上所述，； ②当t＞10时，∵p⊕q＝15， ∴37﹣2t+2（7+t）＝15，此时方程无解； 当0≤t≤10时，∵p⊕q＝15， ∴﹣3+2t+2（7+t）＝15， 解得t＝1， ∴此时点Q表示的数为7+1＝8，点P表示的数为﹣3+2×1＝﹣1， ∵1＜10， ∴此时P、Q未相遇，此时两者在数轴上的距离为|8﹣（﹣1）|＝9； 综上所述，当p⊕q＝15时，P、Q未相遇，此时两者在数轴上的距离为9． 【典例5】（2025秋•平山县期末）点A，B在数轴上，分别表示数a，b，|a+25|+（b﹣15）2＝0． （1）a的值是　﹣25　 ，b的值是　15　 ，线段AB的长度是　40　 ； （2）如图1，线段PQ的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为2秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段PQ的长； ②线段PQ运动的速度为　4　 个单位长度/秒； ③如图2，当线段PQ运动到点Q与点A重合时，点C从点P的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6个单位长度/秒，当点C和点Q相遇时，点C立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C再次与点P相遇时，点C在数轴上表示的数． 【分析】（1）由|a+25|+（b﹣15）2＝0，得到a+25＝0，b﹣15＝0，求出a、b的值，再根据∴AB＝b﹣a，即可求解； （2）①设PQ的长度为m，根据题意列方程，解方程即可；②根据线段PQ完全经过点A所需的时间为2秒，直接计算，即可求解；③先求出点C初始位置在数轴上表示的数，再通过方程求出点C和点Q相遇时，点C在数轴上表示的数，最后通过方程求出点C和点P相遇时，点C在数轴上表示的数． 【解答】解：（1）∵|a+25|+（b﹣15）2＝0， ∴b﹣15＝0，a+25＝0， ∴b＝15，a＝﹣25， ∴AB＝b﹣a＝15﹣（﹣25）＝40； （2）①设PQ的长度为m， 根据题意，可得， 12m＝2（40+m） 12m＝80+2m， 解得m＝8， ∴线段PQ的长度是8个单位长度； ②∵线段PQ完全经过点A所需的时间为2秒， ∴线段PQ运动的速度为8÷2＝4个单位长度/秒； ③∵PQ＝8，a＝﹣25， ∴点C初始位置在数轴上表示的数为﹣25﹣8＝﹣33， 设点C和点Q相遇时，点C在数轴上表示的数为x， 根据题意可得， 解得x＝﹣9， 此时点P在数轴上表示的数为﹣9﹣8＝﹣17， 设点C和点P相遇时，点C在数轴上表示的数为y， 根据题意可得， 解得y＝﹣13.8， ∴点C再次与点P相遇时，点C在数轴上表示的数． 模型9. 折线数轴双动点问题 【模型提炼】 数轴不再是一条直线，中间存在折点（拐点），两段数轴单位长度一致，但经过拐点后，运动速度会发生改变（上坡减速、下坡加速是最常见设定）。两个动点同时沿折线相向/同向运动，综合了分段坐标、速度切换、相遇判定、相距定值、折返等考点。 1. 拆解折线结构 标记所有拐点，把整条折线拆成若干平直路段： 路段1：起点～拐点，长度 路段2：拐点～终点，长度 明确规则： - 下坡（顺折向）速度 - 上坡（逆折向）速度 两点关键结论： （1）同一段平直路段内，速度恒定不变； （2）穿过拐点瞬间切换速度，分段的分界时间就是走完当前路段的耗时。 2. 分段时间节点计算 对单个动点，算出抵达每个拐点的时间，作为分段临界时间，··· 3. 双动点同步分段原则 两个动点各自都有一套自己的临界时间，我们要把全部临界时间从小到大排序，得到公共时间分段区间。在每一个小区间内，甲乙两人的速度都固定不变，此时就退化为普通直线数轴双动点问题。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•盱眙县期中）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 （1）平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C．请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示 　﹣5　 的点重合． ②若数轴上D，E两点之间的距离为22（点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同），当D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数为 　﹣10　 ，点E表示的数为 　12　 ． ③如图，一条数轴上有M，N，P三点，其中点M，N表示的数分别是﹣21，8，现以P为折点，将数轴向右对折．若对折后点M对应的点为M′，且点M′与点N之间的距离为3，求点P表示的数． 【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数即可求解． ②根据题意找到其规律即可求解． （2）①设表示n的点与表示7的点重合，根据翻折的性质即可求解． ②根据数轴上两点之间的距离即可求解． ③根据翻折的性质即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，可得点A为0+（﹣2）＝﹣2． 点B为（﹣2）+2.5＝0.5， 点C为0.5+4.5＝5． A，B，C三点在数轴上表示如下． （2）①表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴翻折的点为， 设表示n的点与表示7的点重合， ∴点7对应的点为， 解得：n＝﹣5， 故7与表示﹣5的点重合， 故答案为：﹣5． ②数轴上D、E两点之间的距离为22，设D、E在数轴上所对应的数为a，b， ∵点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同， ∴b﹣a＝22，， ∴a＝﹣10，b＝12， 故D表示的点为﹣10，E表示的点为12， 故答案为：12； ③分两种情况： I当点M′落在点N的左边时，因为点M′与点N之间的距离为3， 所以点M′在数轴上表示的数为8﹣3＝5， 所以点P表示的数为； II当点M′落在点N的右边时，因为点M′与点N之间的距离为3． 所以点M′在数轴上表示的数为8+3＝11， 所以点P表示的数为． 综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣5． 【典例2】（2025秋•西城区校级期中）数轴上点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即MN＝|m﹣n|．那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝14秒时，P、Q两点在折线数轴上的友好距离为 　5　 个单位长度． （2）当P、Q两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t的值． （3）是否存在某一时刻使得点P、O两点在折线数轴上的友好距离与Q、B两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据路程等于速度乘时间，可得点P、Q运动的路程，从而可求出点P、Q与点O相距的距离，进一步求得P、Q友好距离； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得当P、Q两点相遇时，运动的时间t的值； （3）由路程、速度、时间三者关系，根据PO＝QB分类求出三种情况下的时间为2秒或6.5秒． 【解答】解：（1）当t＝14秒时，点P和点O在数轴上相距（14﹣10÷2）×1＝9个长度单位，点Q和点O在数轴上相距18﹣1×14＝4个长度单位，P、Q友好距离9﹣4＝5个单位长度． 故答案为：5； （2）依题意可得：10+（t﹣5）+8+（t﹣8）＝28， 解得t＝11.5． 故运动的时间t的值为11.5； （3）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得： 10﹣2t＝8﹣t， 解得：t＝2， 当点P、Q两点都在OB上运动时， t﹣5＝t﹣8， 无解， 当P在OB上，Q在BC上运动时， 8﹣t＝t﹣5， 解得：t＝6.5； 即PO＝QB时，运动的时间为2秒或6.5秒． ∴存在，t的值为2或6.5． 【典例3】数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒． （1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出M表示的数是﹣3，N表示的数是12，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15； （2）当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，即得|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，从而解得t或t； （3）t＝0时满足条件，当0＜t≤3时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；当3＜t≤4时，12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，当4＜t≤6时，6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，当6＜t≤9时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当9＜t≤10时，M在BC12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），当10＜t≤12时，12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11． 【解答】解：（1）由已知得，t＝3时，M表示的数是﹣12+3×3＝﹣3，N表示的数是24﹣4×3＝12， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15； （2）由已知可得t＝4时，M运动到O，当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝6t﹣24， t＝3时，N运动到B，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t， 当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4， ∴42﹣8t＝4或42﹣8t＝﹣4， 解得t或t， 经检验，t或t时，M、N均在OB上， ∴t或t时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； （3）存在，理由如下： ∵AO＝BC＝12， ∴t＝0时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当0＜t≤3时，M在OA上，N在BC上，M、N运动速度不同，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当3＜t≤4时，M在OA上，N在OB上，由题意得：12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6， 当4＜t≤6时，M在OB上，N在OB上，由题意得：6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5， 当6＜t≤9时，M在BC上，N在OB上，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当9＜t≤10时，M在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去）， 当10＜t≤12时，M返回在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11， t＝12时，N达到A， 综上所述，t＝0或3.6或4.5或11时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【典例4】数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以1.5个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 　19　 ；当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，O、M两点间的和谐距离|OM|＝t﹣4　 （用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝　1.5t﹣6　 （用含有t的代数式表示）；t＝　8.8　 时，M、N两点相遇； （2）当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【分析】（1）当t＝2秒时，点M表示的数是﹣4，点N表示的数是15，即可表示出M、N两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，4≤t≤12时，点M、N都在折线段O﹣B﹣C上运动，点M表示的数为1×（t﹣4）＝t﹣4，点N表示的数为18﹣1.5t，进而可得出答案． （2）分t＜4，4≤t≤16和16＜t，并根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）当t＝2时，点M表示的数是﹣4，点N表示的数是15， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为|﹣4﹣15|＝19． 由题意可知，4秒时点M运动到点O，点N运动到点C，12秒时点N运动到点O， ∴4≤t≤12时，点M、N都在折线段O﹣B﹣C上运动， 点M表示的数为1×（t﹣4）＝t﹣4， 点N表示的数为18﹣1.5t， ∴O，M两点间的和谐距离|OM|＝|t﹣4﹣0|＝t﹣4， C，N两点间的和谐距离|CN|＝|18﹣1.5t﹣12|＝1.5t﹣6． ∵M，N相遇时，两点表示的数相同， ∴t﹣4＝18﹣1.5t， 解得t＝8.8． 故答案为：19；t﹣4；1.5t﹣6；8.8． （2）由（1）知，t＝4时点M运动到点O，点N运动到点C， ∴当t＜4时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当4≤t≤16，即点M在折线段O﹣B﹣C上运动时， 可得|t﹣4﹣0|＝|18﹣1.5t﹣6|， 解得t＝6.4或t＝16， 当16＜t时，点M从点C向点D运动，速度为2个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，t＝6.4或t＝16． 【典例5】数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数﹣8，点C表示的数为2，点B表示的数为6． （1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ （2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，3？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时3？直接写出t的值． 【分析】（1）设运动时间为t，利用路程＝速度×时间，再根据点P与点Q相遇，列关于t的一元一次方程，解方程即可； （2）①分点P在AO上，点Q在BC上和点P在OC上，点Q在AO上两种情况，结合题意列出方程即可求解； ②分别求出点Q的运动时间，结合点P，点Q的不同位置，根据3列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设运动时间为t秒，点P与点Q相遇， ∵点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动， ∴2t+t＝14， 解得：t， ∴点P与点Q经过秒相遇； （2）①（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时， 设点P与点Q运动的时间为t秒时，3， ∵AO﹣AP+OC+BC﹣BQ， 8﹣2t+6﹣t＝3， 解得：t； （Ⅱ）∵点P在OC上运动速度为1个单位/秒，点Q在OC上运动速度为2个单位/秒， 结合（1），当点P运动到OC中点时，点Q运动到点O， 此时，1， ∵8，2，点P在AO上运动速度为2个单位/秒，在OC上运动速度为1个单位/秒， ∴点P运动到OC中点所需时间为：1＝5秒， 设点P运动到OC中点后，继续运动使得3的时间为t′秒， ∵点Q在AO上运动速度为1个单位/秒， ∵OQ+OP＝t′+1+t′＝3， ∴t′＝1， ∴经过5+1＝6秒后，3， 综上，经过秒或6秒，3； ②（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时， PO+OC+CQ＝（8﹣2t）+2+（4﹣t）＝14﹣3t，8﹣2t， ∵3， ∴14﹣3t＝3（8﹣2t）， ∴t； （Ⅱ）当点P在OC上，设点P过AO，点Q过BC的4秒后，时间为t′秒， 1）当OP+QC＝OC， 即t′+2t′＝2， 即t′时，P，Q相遇， OC﹣OP﹣QC＝2﹣t′﹣2t′，t′， ∵3， ∴2﹣t′﹣2t′＝3t′， 解得：t′， ∴t＝4； 2）当点Q到达点O时，点P恰好到达OC中点，并继续向上运动2﹣1＝1秒， OP+OQ＝t′+（t′﹣1），t′， ∵3， ∴t′+（t′﹣1）＝3t′， t＝﹣1（舍去）； 3）当Q在OA上，P在OC向下运动时， OP+OQ＝（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]，2﹣2×2（t′﹣2）， ∵3， ∴（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]＝3×[2﹣2×2（t′﹣2）]， 解得：t′， ∴t＝4； （Ⅲ）当点P重新运动至OA上， 设点P运动至O点后的运动时间为t″秒， 在t″秒之间，点P，点Q已经运动4+2秒， 此时，点Q在OA上运动4﹣1秒， 即OQ1， 1）OQ﹣OP＝（t″）﹣2t″，2t″， ∵3， ∴（t″）﹣2t″＝3×2t″， 解得：t″， ∴t； 2）当点P在点Q右侧，超过点Q后， OP﹣OQ＝2t″﹣（t″），2t″， ∵3， ∴2t″﹣（t″）＝3×2t″， 解得：t″（舍）， 综上，当t或或或秒时，3． 【典例6】如图1，有理数a，b分别对应数轴上的点A，B，且a，b满足（a+8）2+|b﹣6|＝0． （1）a＝ 　﹣8　 ，b＝ 　6　 ； （2）如图2，点C表示的数为2，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，CP＝CQ； （3）如图3，我们将图2的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可； （2）首先得到点P表示的数为﹣8+2t，点Q表示的数为6﹣t，然后根据CP＝CQ得到|2﹣（﹣8+2t）|＝|2﹣（6﹣t）|，进而求解即可； （3）分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时，点P在BC上，点Q在AO上时，然后根据题意分别列式求解即可． 【解答】解：（1）∵（a+8）2+|b﹣6|＝0， ∴b﹣6＝0，a+8＝0， ∴b＝6，a＝﹣8， 故答案为：﹣8，6； （2）由题意得，点Q表示的数为6﹣t，点P表示的数为﹣8+2t， ∵CP＝CQ， ∴|2﹣（﹣8+2t）|＝|2﹣（6﹣t）|， 解得t＝6或； （3）当点Q在BC上，点P在AO上时， 设点P与点Q运动的时间为t秒时，， ∵， 8﹣2t+6﹣t＝4， 解得：； 当点Q在AO上，点P在BC上时， ∵点P在OC上运动速度为1个单位/秒，点Q在OC上运动速度为2个单位/秒，点P在BC上运动速度为2个单位/秒，点Q在OA上运动速度为1个单位/秒， ∴点P运动到点C的时间为：秒，点Q运动到点O的时间为秒， ∴6秒时，点Q运动到点O左侧距离点O1个单位处， 设继续运动t′秒后，使得， ∵， ∴， ∴经过秒后，， 综上，经过秒或秒，． 模型10. 挡板问题 【模型提炼】 数轴上设置一处或两处固定挡板（墙壁），动点匀速碰到挡板后原速反向反弹，速度大小不变，仅运动方向反转。本质就是带边界约束的往返折返题，和区间往返模型同源，但挡板题经常结合双动点碰撞+挡板反弹的复合考法。 （1）碰撞挡板：速度大小不变，方向取反（右变左，左变右）； （2）两动点相撞：两者同时反向，或题目规定同向继续/静止，以题干为准； （3）挡板为固定定点，坐标永久不变。 【模型运用】 【典例1】已知：如图①，在数轴上有两点A、B，它们表示的数分别为a、b，点P从点B出发，沿着数轴先向左移动（2b﹣2a+1）个单位长度，再向右移动个单位长度后停止． （1）若a、b满足|a+4|+|b﹣6|＝0，则a＝ 　﹣4　 ，b＝ 　6　 ，此时点P表示的数为 　1　 ，若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则数轴上折痕处所表示的数为 　1　 ． （2）对任意a、b的值，用含a、b的代数式表示点P停止时在数轴上所表示的数； （3）如图②，在（1）的条件下，在数轴上的点A和点B处各竖立一个挡板，甲、乙两个弹珠同时从点N出发（点N在A、B两点之间），甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，甲、乙两个弹珠第一次相遇的位置是否可能恰好到点A和点B的距离相等？如果可能，请求出相遇的时间及对应N点在数轴上的数值；若不能，请说明理由．（忽略弹珠的大小，可看成一点） 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b，再根据中点公式求解； （2）根据数轴上点的移动规则列式表示； （3）根据甲乙用的时间相等，列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：a＝﹣4，b＝6， ∴2b﹣2a+1＝12+8+1＝21，9+6+1＝16， ∴点P表示的数为：6﹣21+16＝1， ∵1， 故答案为：﹣4，6，1，1； （2）∵b﹣（2b﹣2a+1）+（1）＝b﹣2b+2a﹣11＝0.5a+0.5b， ∴点P停止时在数轴上所表示的数（0.5a+0.5b）； （3）当点N表示的数为，运动时间为时，甲乙在距AB相等的点相遇． 理由：设点N表示的数为x， 则：， 解得：x， 6﹣x+5， 所以当点N表示的数为，运动时间为时，甲乙在距AB相等的点相遇． 【典例2】阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若a、b为有理数，则|a﹣b|表示数a与数b的差的绝对值，也可以理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为|3﹣1|＝2；有理数5与﹣2对应两点间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；有理数﹣2与3对应两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5… （1）问题提出： 如图②，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离为　15　 ，若点P是点A和点B之间的一个动点，点P表示的数为a，则|a+2|+|a﹣13|的值为　15　 ； （2）拓展探究：如图②，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为　﹣2+3t ；点Q表示的数为　13﹣2t ； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【分析】（1）由A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，即得AB＝15，a+2＞0，a﹣13＜0，去绝对值，计算即可求解； （2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为13﹣2t； ②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是，即得，可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为13﹣3×（9﹣5）＝1． 【解答】解：（1）∵A表示的数为﹣2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13﹣（﹣2）|＝15， ∵点P是点A和点B之间的一个动点，点P表示的数为a， ∴a+2＞0，a﹣13＜0， ∴|a+2|+|a﹣13|＝a+2﹣a+13＝15； 故答案为：15；15； （2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为13﹣2t； 故答案为：﹣2+3t；13﹣2t； ②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t， ∴3t+2t＝13+2， ∴5t＝15， 解得：t＝3， 相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7； （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是， 根据题意得：， ∴13﹣3t+15＝﹣2+2t﹣15， ∴﹣3t﹣2t＝﹣2﹣15﹣13﹣15， ∴﹣5t＝﹣45， 解得：t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13﹣3×（9﹣5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【典例3】（2026春•锡山区校级期末）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣6）2＝0． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　6　 ； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1x+2的解，点M是BC的中点，在数轴上是否存在点P，使PA+PM＝8，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值； （2）先求出x的值，根据中点坐标公式求出M，再由PA+PM＝8，可得出点P对应的数． （3）根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣6）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣6＝0， 解得a＝﹣2，b＝1； （2）2x﹣1x+2， 解得：x＝2， M在数轴上对应的数为（2+6）÷2＝4， 设点P对应的数y，由题意得，点P只能在点A的左边或点M的右边， ①当点P在点A的左边时， ﹣2﹣y+4﹣y＝8， 解得：y＝﹣3； ②当点P在点M的右边时， y+2+y﹣4＝8， 解得：y＝5， 综上所述，点P对应的数是﹣3或5； （3）①甲、乙两球均向左运动，即0≤t≤3时， 此时OA＝2+t，OB＝6﹣2t， 则可得方程2+t＝6﹣2t， 解得t； ②甲继续向左运动，乙向右运动，即t＞3时， 此时OA＝2+t，OB＝2t﹣6， 则可得方程2+t＝2t﹣6， 解得t＝8． 答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或8秒． 【典例4】（2025秋•鼓楼区校级期末）如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，且a、b满足（a+12）2+|b﹣20|＝0．现有一长度为2的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为ts． （1）直接写出a＝ 　﹣12　 ，b＝ 　20　 ； （2）在整个运动过程中，求AN﹣BM的值（用含t的式子表示）； （3）如图2，在A、B处各放置一块挡板P、Q，当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回．当0＜t≤12时，若|AN﹣BM|＝ON，求t的值． 【分析】（1）根据绝对值的非负性，两个非负的数相加为0，则这两个数分别为0，从而求出答案； （2）由题意得：运动后点M表示的数为4t，点N表示的数为2+4t，分情况根据数轴上两点的距离可得结论； （3）先计算边界时点t的值，分两种情况，由|AN﹣BM|＝ON列方程即可解答． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣20|＝0， ∴a+12＝0，b﹣20＝0， 解得a＝﹣12，b＝20； 故答案为：﹣12，20； （2）由题意得：运动后点M表示的数为4t，点N表示的数为2+4t， 当0≤t＜5时，点M在B的左边，AN﹣BM＝2+4t﹣（﹣12）﹣（20﹣4t）＝2+4t+12﹣20+4t＝8t﹣6， 当t＝5时，M与B重合，AN﹣BM＝2+20+12＝34， 当t＞5时，点M在B的右边，AN﹣BM＝2+4t﹣（﹣12）﹣（4t﹣20）＝2+4t+12﹣4t+20＝34， 综上，AN﹣BM的值为8t﹣6或34； （3）分两种情况： ①t4.5，即当t＝4.5时，点N与挡板BQ重合， 当0≤t≤4.5时，M表示4t，N表示2+4t， ∵|AN﹣BM|＝ON， ∴|2+4t﹣（20﹣4t）|＝2+4t， ∴|8t﹣6|＝2+4t， ∴8t﹣6＝2+4t或8t﹣6＝﹣2﹣4t， ∴t＝2或； ②t4.5＝12，即当t＝12时，点M与挡板PA重合， 当4.5＜t≤12时，M表示20﹣2﹣4（t﹣4.5）＝36﹣4t，N表示20﹣4（t﹣4.5）＝38﹣4t，∵|AN﹣BM|＝ON，∴|38﹣4t+12﹣（20﹣36+4t）|＝|38﹣4t|， ∴66﹣8t＝±（38﹣4t）， ∴t＝7或； 综上，t的值是2或或7或． 【典例5】（2025秋•虹口区校级期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足（a﹣15）2+|b+6|＝0． （1）直接写出A，B两点表示的数； （2）动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，M、N分别为BQ，AP的中点． ①当OM＝ON时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在A，B两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点P，Q在A，B之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当OP＝3OQ时，直接写出t的值． 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①先用t表示出动点P、Q、M、N，再表示出OM和ON，依题意建立方程求解即可； ②由题可得，即可得解； ③根据点Q，P运动方向和速度，分类讨论，分别表示出OP和OQ的长度，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）根据绝对值和偶次方的非负性可得： （a﹣15）2≥0，|b+6|≥0，（a﹣15）2+|b+6|＝0， ∴a＝15，b＝﹣6， ∴点A表示的数为15，点B表示的数为﹣6； （2）①由题意知P：15﹣5t；Q：﹣6+3t， 由条件可知点M表示的点为，点N表示的点为：， ∵OM＝ON， 则， 解得：或9； ②∵， ∴当时，取最小值． ③根据点Q，P运动方向和速度，分类讨论如下： 当0≤t≤2时，点P向左运动，点Q向右运动，OP＝3OQ， 则15﹣5t＝3（6﹣3t）， 解得（成立）； 当2＜t≤3时，点P向左运动，点Q向左运动，且点Q的速度为每秒1个单位，点P的速度为每秒5个单位，OP＝3OQ， 则15﹣5t＝3（t﹣2）， 解得（成立）； 当3＜t≤8时，点P向右运动，点Q向左运动，且点Q的速度为每秒1个单位，点P的速度为每秒3个单位，OP＝3OQ， 3（t﹣3）＝3（t﹣2）， 方程无解； 当8≤t≤13时，点P向左运动，点Q向右运动，且点Q的速度为每秒1个单位，点P的速度为每秒3个单位，OP＝3OQ， 则15﹣3（t﹣8）＝3[6﹣（t﹣8）]，此方程无解； 当13＜t≤14时，点P向右运动，点Q向右运动，且点Q的速度为每秒1个单位，点P的速度为每秒1个单位，OP＝3OQ，则（t﹣13）＝3[6﹣（t﹣8）]， 解得； 当14＜t≤43时，点P运动，点Q在点O处静止， 当t＝43时，点P在点O处静止，此时OP＝3OQ＝0，满足题意， 综上，或或或t＝43． 【典例6】（2025秋•永春县期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段AB的长表示为AB．当点C为线段AB中点时，即AC＝BC时，点C表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数﹣2，B点表示数5．若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为t（秒）． （1）当时，动点Q表示的数为　5﹣3t ；当时，动点Q表示的数为　3t﹣5　 ；（用含t的代数式表示） （2）分别取OB和AQ的中点E，F． ①当EF＝2时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用当0＜t时动点Q表示的数＝点B表示的数﹣点Q的运动速度×点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当0＜t时动点Q表示的数；利用当t时动点Q表示的数＝原点表示的数+点Q的运动速度×（点Q的运动时间），可用含t的代数式表示出当t时动点Q表示的数； （2）①分0＜t及t两种情况考虑，根据EF＝2，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分0＜t及t两种情况，可找出AB，OQ，EF的值，结合AB﹣OQ+mEF的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（5﹣0）÷3（秒），2（秒）， ∴当0＜t时，动点Q表示的数为5﹣3t； 当t时，动点Q表示的数为0+3（t）＝3t﹣5． 故答案为：5﹣3t，3t﹣5； （2）①当0＜t时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：2， 解得：t； 当t时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：2， 解得：t． 答：t的值为秒或秒； ②当0＜t时，点Q表示的数为5﹣3t，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴AB＝5﹣（﹣2）＝7，OQ＝5﹣3t，EF1t， ∴AB﹣OQ+mEF＝7﹣（5﹣3t）+m（1t）＝（3m）t+2+m， ∴若AB﹣OQ+mEF的值是定值，则3m＝0， 解得：m＝﹣2； 当3m＝0，即m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF为定值，该定值为0； 当t时，点Q表示的数为3t﹣5，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴AB＝5﹣（﹣2）＝7，OQ＝3t﹣5，EF6t， ∴AB﹣OQ+mEF＝7﹣（3t﹣5）+m（6t）＝﹣（3m）t+12+6m， 若AB﹣OQ+mEF的值是定值，则3m＝0， 解得：m＝﹣2． 综上所述，存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，m的值为﹣2． 模型11. 新定义问题 【模型提炼】 1. 精读定义，圈画关键词 把定义里的限定词、运算规则、取值范围、特殊前提全部标出来。 区分清楚：谁是主动点、谁是参照点，运算顺序不能颠倒。 2. 符号翻译，把文字转代数式 数轴新定义绝大多数最后都能转化成绝对值运算、坐标加减运算。 常规模板：设动点坐标x，定点a，b，把文字描述翻译成含x的式子。 3. 结合动点写出动态表达式 设运动时间t，写出动点坐标x(t)，代入新定义公式，得到带t的代数式。 4. 按设问求解（求值/存在性/定值/范围） 【模型运用】 【典例1】（2025秋•西安校级月考）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为4，请判断点C是否为A，B的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P所表示的数． 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出A、B两点之间的距离，分当点P在点A与点B之间时和当点P在点A的左侧时两种情况进行讨论即可； ②分三种情况进行讨论，即当点A、B、P分别为“关联点”的时候进行求解． 【解答】解：（1）点C是点A，B的“关联点” 理由：点A与点C之间的距离为4﹣（﹣2）＝6， 点B与点C之间的距离为4﹣1＝3， ∵3×2＝6， ∴点C是点A，B的“关联点”； （2）由条件可知点A与点B之间的距离为2﹣（﹣4）＝6． 分两种情况讨论如下： ①当点P在点A与点B之间时： 点P与点A之间的距离为6÷3＝2， 或点P与点B之间的距离为6÷3＝2， 所以此时点P表示的数为﹣4+2＝﹣2或2﹣2＝0； 当点P在点A的左侧时： 点P与点B之间的距离等于点P与点A之间距离的2倍． 所以此时点P表示的数为﹣4﹣6＝﹣10． 综上可知，点P所表示的数为0或﹣2或﹣10． ②当点P为点A，B的“关联点”时： 因为点P在点B的右侧， 所以点P与点A之间的距离等于点P与点B之间距离的2倍， 所以此时点P所表示的数为2+6＝8； 当点A为点P，B的“关联点”时： 因为点P在点B的右侧，点A在点B的左侧， 所以点A与点P之间的距离等于点B与点P之间距离的2倍， 所以此时点P所表示的数为2+6＝8； 当点B为点P，A的“关联点”时： 点B与点P之间的距离等于点B与点A之间距离的2倍或， 又因为点P在点B的右侧， 所以此时点P所表示的数为14或． 综上可知，点P所表示的数为8或14或5． 【典例2】【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝ 　9　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　＝　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为 　　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　5.5或10　 ． 【分析】（1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得EF＝3，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知BC＝2AC＝6， ∴AB＝AC+BC＝9； 故答案为：9； （2）由条件可知AD＝2BD， ∴， ∴AC＝BD； 故答案为：＝； （3）由条件可知OF＝4， 根据题意可知， ∴； 故答案为：； （4）由条件可知EF＝3， ∵线段EF与GF互为“优点”伴侣线段， 当EF＝2GF时，GF＝1.5， ∴点G表示的数为5.5， 当GF＝2EF时，GF＝6， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10． 故答案为：5.5或10． 【典例3】（2025秋•新田县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” （1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 　﹣4或2　 ； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 　﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）　 （填一个即可）； （3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解； （2）根据幸福中心的定义即可求解； （3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论． 【解答】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2； （2）∵4﹣（﹣2）＝6， ∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）； （3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有 ①8﹣2x﹣4+（8﹣2x+1）＝6， 解得x＝1.75； ②4﹣（8﹣2x）+[﹣1﹣（8﹣2x）]＝6， 解得x＝4.75． 故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 【典例4】（2025秋•肥西县期末）综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． （1）观察判断 如图1，点C为线段AB的“优点”． ①若AC＝8，AC＜BC，则AB＝　24　 ； ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　＝　 BD（填“＝”或“≠”）； （2）性质探究 如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长； （3）拓展应用 在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数． 【分析】（1）①由BC＝2AC即可求解； ②利用“优点”定义求出BD即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段EF的延长线上，可得出EF＝2GF或GF＝2EF，求解即可． 【解答】解：（1）①∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝8， ∴BC＝2AC＝16， ∴AB＝AC+BC＝24， 故答案为：24； ②如图： ∵点D是线段AB的“优点”， ∴AD＝2BD， ∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD， ∵AB＝AC+BC＝AC+2AC＝3AC， ∴AC＝BD， 故答案为：＝； （2）∵点F表示的数为4， ∴OF＝4， 当点M在点N左侧时，则MF＝2OM，ON＝2NF， ∴OM＝NFOF， ∵OF＝OM+MN+NF， ∴MN； 当点M在点N右侧时，则： 2MF＝OM，2ON＝NF， ∴ON＝MFOF， ∵OF＝ON+MN+MF， ∴MN． 综上，线段MN的长为； （3）∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴EF＝4﹣1＝3， 线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有 EF＝2GF或GF＝2EF， 当EF＝2GF时， GF＝1.5， ∴点G表示的数为5.5； 当GF＝2EF时， GF＝6， ∴点G表示的数为10． 综上，点G表示的数为5.5或10． 【典例5】（2025秋•李沧区校级月考）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则A、B两点之间的距离AB＝b﹣a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB＝15﹣5＝10．定义：在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1，M2，M3，…，Mn﹣1将AB线段n等分，则这n﹣1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A＜n，1＞，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A＜n，2＞，…，Mn是靠近A的第n﹣1个n等分点，则记为A＜n，n﹣1＞． 探究一：如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB的二等分点A＜2，1＞表示的数为． （1）探究二：如图2，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A＜5，2＞表示的数为　　 ； （2）应用一：如图3，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，则x的值为　2　 ； （3）应用二：如图4，在数轴上A、B两点表示的数分别为﹣10和﹣2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为　或7　 ． 【分析】（1）根据定义直接列式即可； （2）根据定义列出方程式，求解即可； （3）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）a+2 ． 故答案为：． （2）AB＝﹣2﹣（﹣10）＝8， 线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞为﹣10+34， CD＝4﹣（﹣6）＝10， 与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞为﹣6x﹣6， ∵若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合， ∴x﹣6＝﹣4， ∴x＝2． 故答案为：2． （3）AB＝﹣2﹣（﹣10）＝8， 线段AB上靠近A的等分点A（8，3）为﹣10+37， 点P表示的数为﹣10+3t，点Q表示的数为﹣2﹣2t， 若点P在点Q的左侧时，PQ＝﹣2﹣2t﹣（﹣10+3t）＝8﹣5t， 线段PQ的三等分点为﹣10+3t或﹣10+3t+2， ∵线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合， ∴﹣10+3t7或﹣10+3t+27， ∴t或t＝7（舍）， 若点P在点Q的右侧时，PQ＝（﹣10+3t）﹣（﹣2﹣2t）＝﹣8+5t， 线段PQ的三等分点为﹣10+3t或﹣10+3t+2， ∵线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合， ∴﹣10+3t7或10+3t+27， ∴t（舍）或t＝7， 综上所述：t或7． 故答案为：或7． 1．（2026春•牟平区期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒或秒 C．5秒或秒 D．秒 【分析】根据题意，分别求出点M，N表示的数，及运动时间，设运动时间为t秒，分类讨论，第一种情况，点M在原点左边，点N在原地右边；第二种情况，点M，N都在原点左边；第三种情况，当点M在原点右边时，运动时间大于10秒，则点N在点A坐标，不存在OM＝ON；图形结合，列式求解即可． 【解答】解：已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10， ∴OA＝10， ∵OB＝2OA，则OB＝20， ∴点B表示的数为20， ∵点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发）， ∴点M从点A到点O的时间为：10秒；点N从点B到点O的时间为：秒；点N从点B到点A的时间为：30÷3＝10（秒）； 根据题意，设经过t秒， ∴点M表示的数为：﹣10+t，点N表示的数为：20﹣3t， 第一种情况，点M在原点左边，点N在原地右边， ∴OM＝0﹣（﹣10+t）＝10﹣t，ON＝20﹣3t，且OM＝ON ∴10﹣t＝20﹣3t， 解得，t＝5； 第二种情况，点M，N都在原点左边， ∴OM＝0﹣（﹣10+t）＝10﹣t，ON＝0﹣（20﹣3t）＝3t﹣20，且OM＝ON， ∴10﹣t＝3t﹣20， 解得，； 第三种情况，当点M在原点右边时，运动时间大于10秒，则点N在点A坐标，不存在OM＝ON； 故选：C． 2．（2025秋•香洲区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣16，点B表示的数为8，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点A运动．当点P，点Q相遇时，相遇点表示的数为（　　） A．0 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣2 【分析】设相遇点表示的数为x，利用时间＝路程÷速度，结合点P，Q相遇时两点的运动时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设相遇点表示的数为x， 根据题意得：， 解得：x＝﹣8， ∴相遇点表示的数为﹣8． 故选：B． 3．（2025秋•昌黎县期末）如图，数轴上有A、B两点（O为原点），两点距离为12个单位长度，动点P、Q分别从A、B两点同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/s，点Q的速度为1个单位长度/s，设运动时间为t（s），若点P、Q两点之间的距离为8个单位长度，则t的值为（　　） A．4s B． C．4s或20s D．4s或 【分析】分两种情况讨论，当点P在点Q的左侧和点P在点Q的右侧时，根据点P、Q两点之间的距离为8个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【解答】解：当点P在点Q的右侧时，由题意得2t﹣（12+t）＝8， 解得t＝20； 当点P在点Q的左侧时，由题意得（12+t）﹣2t＝8， 解得t＝4； ∴t的值为4s或20s． 故选：C． 4．（2025秋•海淀区校级月考）如图，数轴上点A表示﹣10，点B表示20，动点P，Q分别从A，B同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为t秒，点M为BP的中点，点N为MQ的中点．以下结论：①M，N两点之间的距离不会随着t的变化而变化；②当时，t＝12；③AB＝4NQ．其中正确的结论是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为20+t，点M表示的数为5+t，点N表示的数为t， ①利用数轴上两点间的距离公式，可得出MN，进而可得出M，N两点之间的距离不会随着t的变化而变化； ②根据PBBQ，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值； ③利用数轴上两点间的距离公式，可得出AB＝30，NQ，进而可得出AB＝4NQ． 【解答】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为20+t，点M表示的数为5+t，点N表示的数为t， ①∵MNt﹣（5+t）， ∴M，N两点之间的距离不会随着t的变化而变化，结论①正确； ②根据题意得：|﹣10+2t﹣20||20﹣（20+t）|， 即30﹣2tt或2t﹣30t， 解得：t＝12或t＝20，结论②不正确； ③∵AB＝20﹣（﹣10）＝30，NQ＝20+t﹣（t）， ∴AB＝4NQ，结论③正确． 综上所述，正确的结论有①③． 故选：B． 5．（2025秋•济阳区期末）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点D，点N从点D出发沿着“折线数轴”运动至点A，两点同时出发．点M，N的初始速度分别是3个单位长度/秒和6个单位长度/秒，点M和点N运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为t（t＞0）秒，有下列结论： ①当t＝9时，点N表示的数为数轴的原点； ②当点M到达点D时，t＝21； ③当点N到达点A时，t＝11； ④运动过程中，点M和点N在线段OB上相遇； ⑤当t＝11或18时，． 以上结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先理解题意，得出CD＝12，BC＝12，BO＝12，AO＝9，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当t＝9时，点N表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点M到达点D时，t＝21；依题意，，即当点N到达点A时，t＝10.5≠11，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在8≤t≤9之间，再设未知数以及列方程，分别算出当t＝11时，点M表示的数为8，当t＝18时，即点M表示的数为8，当t＝18时，即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【解答】解：∵点B表示12，点C表示24，点D表示36，A表示﹣9， ∴BO＝12，AO＝9，CD＝36﹣24＝12，BC＝24﹣12＝12， ∵点D表示36，点N的初始速度是6个单位长度/秒，点N运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当t＝9时，点N表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点M初始速度是3个单位长度/秒，点M运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ ＝9÷3+12÷1+12÷6+12÷3 ＝21， 即当点M到达点D时，t＝21； 故②符合题意； 依题意， ＝12÷6+12÷2+12÷12+9÷6 ＝10.5， 即当点N到达点A时，t＝10.5≠11， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点O的时间是AO÷3＝9÷3＝3 点N到达点B的时间是， 点M到达点B的时间是， 点N到达点O的时间是8+OB÷（6×2）＝8+12÷12＝9， 故点M和点N相遇只可能在8≤t≤9之间， 设相遇时间为t 点M在线段OB上的速度是， 则点M表示的数为1×（t﹣3）＝t﹣3， 点N在线段 OB上的速度是6×2＝12， 则12﹣12×（t﹣8）＝108﹣12t， 故108﹣12t＝t﹣3， 解得， 即运动过程中，点M和点N在线段OB上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当t＝11时，[11﹣（9÷3）]×1＝8， 即点M表示的数为8， 则，， ∵， 由②得当点M到达点D时，t＝21； 依题意，36﹣3×（21﹣18）＝27， 即当t＝18时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 6．（2026•曹妃甸区一模）数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过　2　 秒后，P、Q两点之间的距离为9． 【分析】设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为9，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为9， 由题意，得t+（5﹣2）+2t＝9， 解得t＝2． 故经过2秒后，P、Q两点之间的距离为9． 故答案为：2． 7．（2026春•浚县月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣20，OA＝2OB，点P以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向左运动（P、Q两点同时出发），经过　5或　 秒，OP＝OQ． 【分析】确定点B表示的数为10，设经过t秒，OP＝OQ，根据题意，得AP＝3t，BQ＝t，故点P表示的数为﹣20+3t，点Q表示的数为10﹣t，继而得到|﹣20+3t|＝|10﹣t|，求解即可． 【解答】解：点A表示的数为﹣20，OA＝2OB， 故20＝2OB， 解得OB＝10， 由点B在原点的右侧， 故点B表示的数为10， 设经过t秒，OP＝OQ， 因为点P以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向左运动， 故AP＝3t，BQ＝t， 故点P表示的数为﹣20+3t，点Q表示的数为10﹣t， ∴OP＝|﹣20+3t|，OQ＝|10﹣t|， ∵OP＝OQ， ∴|﹣20+3t|＝|10﹣t|， ∴﹣20+3t＝10﹣t或﹣20+3t＝﹣（10﹣t）， ∴4t＝30或﹣20+3t＝t﹣10， ∴或2t＝10， ∴或t＝5， 故答案为：5或． 8．（2026春•芝罘区期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是﹣4，8，点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点P从点A出发，以每秒3个单位速度在AB之间往返，直到点A追上点B时所有运动停止．则在这个过程中，点P运动的路线总长是　36个单位长度　 ． 【分析】当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣4+2t，点B表示的数为8+t，根据点A追上点B时两点表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入3t中，即可求出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣4+2t，点B表示的数为8+t， 根据题意得：﹣4+2t＝8+t， 解得：t＝12， ∴3t＝3×12＝36， ∴在这个过程中，点P运动的路线总长是36个单位长度． 故答案为：36个单位长度． 9．（2025秋•江汉区期末）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为17，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5，则点A在数轴上表示的数为 　9　 ． 【分析】设木棒MN的长为x，根据题意5和17之间的长度是12个单位，得到关于x的一元一次方程，求出x的值，即可求出点A在数轴上表示的数． 【解答】解：设木棒MN的长为x， 根据题意，得3x＝17﹣5， 解得x＝4， 所以5+4＝9， 即点A在数轴上表示的数为9， 故答案为：9． 10．（2025秋•淮北期末）在数轴上，点P表示的数是﹣15，点Q表示的数是5，PQ表示点P与点Q之间的距离．若点A从点P出发，点B从点Q出发，点A，B同时向数轴正方向运动，点A的速度是每秒6个单位长度，点B的速度是每秒4个单位长度． （1）当运动时间是　2秒　 时，点Q是AB的中点． （2）当运动时间是　6秒或14秒　 时，A，B两点之间的距离为8个单位长度． 【分析】（1）当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣15+6t，点B表示的数为5+4t，根据点Q是AB的中点，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣15+6t，点B表示的数为5+4t，根据A，B两点之间的距离为8个单位长度，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣15+6t，点B表示的数为5+4t， 根据题意得：5﹣（﹣15+6t）＝5+4t﹣5， 解得：t＝2， ∴当运动时间是2秒时，点Q是AB的中点． 故答案为：2秒； （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣15+6t，点B表示的数为5+4t， 根据题意得：|5+4t﹣（﹣15+6t）|＝8， 即20﹣2t＝8或2t﹣20＝8， 解得：t＝6或t＝14， ∴当运动时间是6秒或14秒时，A，B两点之间的距离为8个单位长度． 故答案为：6秒或14秒． 11．（2025秋•金华期末）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为﹣30，10，动点N从点A出发以每秒6个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点P从点B出发以每秒4个单位的速度沿负方向运动，动点Q从原点出发以每秒3个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点N回到点A时，三点停止运动．存在常数k，当kPQ﹣QN在某段时间内为定值时，k的值是　﹣9，9，3　 ． 【分析】根据点的运动速度和方向，表示PQ，QN的长度，进而求得k的值． 【解答】解：由题意知，分以下三种情况： ①当时，PQ＝10﹣4t+3t＝10﹣t，QN＝﹣3t﹣（﹣30+6t）＝30﹣9t， ∴kPQ﹣QN＝k（10﹣t）﹣（30﹣9t）＝（9﹣k）t+10k﹣30， ∴9﹣k＝0， 解得k＝9； ②当时，QN＝9t﹣30，PQ＝10﹣t， ∴kPQ﹣QN＝（﹣k﹣9）t+10k+30， ∴k＝﹣9； ③当5＜t≤10时，PQ＝10﹣t，QN＝﹣6（t﹣5）+3t＝﹣3t+30， ∴kPQ﹣QN＝k（10﹣t）﹣（﹣3t+30）＝（3﹣k）t+10k﹣30， ∴k＝3； 故答案为：﹣9，9，3． 12．（2025秋•连云港期末）如图，点A和点B分别表示的数为﹣5与10，点D从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点E从点B出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点P为线段DE的中点，D、E两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点C在线段AB上，且AC＝2BC，当t＝　或　 时，满足2OP+2CE＝CD． 【分析】先确定点C的位置，再用含t的代数式表示D、E、P三点的坐标，接着分别表示出OP、CE、CD的长度，最后代入方程2OP+2CE＝CD求解t，并结合运动时间的取值范围确定最终答案． 【解答】解：∵点A表示的数为﹣5， 点B表示的数为10， ∴AB＝10﹣（﹣5）＝15， ∵AC＝2BC，AC+BC＝AB， ∴2BC+BC＝15， ∴BC＝5， ∴点C表示的数为10﹣5＝5， ∵点D从A出发以1个单位长度/秒向右运动， ∴点D表示的数为﹣5+t， ∵点E从B出发以2个单位长度/秒向左运动， ∴点E表示的数为10﹣2t， ∵点P为DE的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C表示的数为5，点E表示的数为10﹣2t， ∴CE＝|5﹣（10﹣2t）|＝|2t﹣5|， ∵点C表示的数为5，点D表示的数为﹣5+t， ∴CD＝|5﹣（﹣5+t）|＝|10﹣t|， ∵D、E相遇时停止运动，相遇时间满足﹣5+t＝10﹣2t， ∴3t＝15， ∴t＝5，即0≤t≤5， ∵0≤t≤5， ∴，2t﹣5可正可负，10﹣t＞0， ∴，CD＝10﹣t， 分情况讨论： 当时CE＝2t﹣5代入2OP+2CE＝CD， 得， 解得， 当时，CE＝5﹣2t，代入2OP+2CE＝CD， 得， 解得； 故答案为：或． 13．（2026春•霍州市月考）综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是　﹣8　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是　1　 ． （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）①根据P的路程﹣Q的路程＝18解答即可； ②根据相遇前和相遇后两种情况讨论即可解答； ③分三种情况讨论即可解答． 【解答】解：（1）根据两点间的距离公式和中点公式可知： 点B表示的数是10﹣18＝﹣8； 点P表示的数是． 故答案为：﹣8；1； （2）①根据题意得6t﹣2t＝18， 解得t＝4.5． 答：当点P运动4.5秒时，点P追上点Q． ②当点P与点Q相遇前，距离10个单位长度， 2t+（18﹣6t）＝10， 解得t＝2； 当点P与点Q相遇后，距离10个单位长度， （6t﹣18）﹣2t＝10， 解得t＝7， 答：当点P运动2秒或7秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度． ③当B为PQ的中点时， （﹣8）﹣（﹣8﹣2t）＝（10﹣6t）﹣（﹣8）， 解得t＝2.25； 当点P为BQ的中点时， （﹣8）﹣（10﹣6t）＝（10﹣6t）﹣（﹣8﹣2t）， 解得t＝3.6； 当点Q为BP的中点时， （﹣8）﹣（﹣8﹣2t）＝（﹣8﹣2t）﹣（10﹣6t）， 解得t＝9． 答：当t＝2.25秒或3.6秒或9秒时，P，B，Q是一组“幸福点”． 14．（2025秋•汝南县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　 ，线段AB的中点C表示的数为 　3　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t ；点Q表示的数为 　8﹣2t ； （2）求当t为何值时，PQAB； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，则PQ＝|5t﹣10|，再由，可得|5t﹣10|＝5，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度． 【解答】（1）解：①由题意得：AB＝|﹣2﹣8|＝10， 线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②由题意得：t秒后，点P表示的数为：﹣2+3t， 点Q表示的数为：8﹣2t； 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t； （2）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又∵， ∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3， ∴当t＝1或3时，； （3）解：不发生变化， 理由如下：∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 ， ∴． 15．（2025秋•湘桥区期末）如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且AB＝21，点C在点A与点B之间，AC＝9． （1）点B表示的数是 　18　 ，点C表示的数是 　6　 ； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，QC＝　6　 ； （3）在（2）的条件下，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝8？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据数轴上的点向右运动就用加法，向左运动就用减法进行计算； （2）先算出运动的时间，再计算路程； （3）根据“PC+QB＝8”列方程求解． 【解答】解：（1）点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且AB＝21，点C在点A与点B之间，AC＝9， ∴点B表示的数为：﹣3+21＝18，点C表示的数为：﹣3+9＝6， 故答案为：18；6； （2）当点P运动到点C时需要的时间为：9÷3＝3秒， 此时点Q表示的数为：18﹣2×3＝12， ∴QC＝12﹣6＝6， 故答案为：6； （3）在运动过程中，存在某一时刻使得PC+QB＝8，此时点P表示的数为0或 ． 理由：设运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣3+3t，点Q表示的数是18﹣2t， ∴PC＝|6﹣（﹣3+3t）|＝|9﹣3t|，QB＝2t． ∵PC+QB＝8， ∴|9﹣3t|+2t＝8， 解得t＝1或 ， 当t＝1时，﹣3+3t＝﹣3+3×1＝0， 当 时，． 综上，在运动过程中，存在某一时刻使得PC+QB＝8，此时点P表示的数为0或 ． 16．（2025秋•高青县期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0． （1）a＝　﹣3　 ，b＝　﹣1　 ，c＝　9　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　7　 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得b＝﹣1．由|a+3|+（c﹣9）2＝0，可求得a＝﹣3，c＝9． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是AC的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为9﹣2t，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得|9﹣（﹣3+t）|＝2|（9﹣2t）﹣（﹣1）|，求出t的值即可． 【解答】解：（1）数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．则： ∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∵|a+3|+（c﹣9）2＝0， ∴a+3＝0，c﹣9＝0， ∴a＝﹣3，c＝9， 故答案为：﹣3，﹣1，9； （2）设点B与数x表示的点对应，则： ， 解得x＝7， 故答案为：7； （3）①情况1：P点在 B点右侧时， （9﹣2t）﹣（﹣1）＝5， 解得t＝2.5； 情况2：P点在 B点左侧时， （﹣1）﹣（9﹣2t）＝5， 解得t＝7.5． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得|9﹣（﹣3+t）|＝2|（9﹣2t）﹣（﹣1）|， 整理得|12﹣t|＝2|10﹣2t|， ∴12﹣t＝2（10﹣2t）或12﹣t＝﹣2（10﹣2t）， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 17．（2025秋•祁阳市期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a，b满足|a+3|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　﹣3　 ，b＝　3　 ，c＝　﹣1　 ； （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数　3　 表示的点重合； （3）点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为BC，则当BC＝2时，求时间t的值； （4）在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为AB，则4AB﹣3AC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【分析】（1）根据c为最大的负整数可得出c的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、b的值； （2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点C重合的数； （3）根据运动的方向和速度结合b、c的值，即可找出t秒后点B、C分别表示的数，由BC＝2得到关于t的绝对值方程，解方程即可； （4）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用两点间的距离即可求出AB、AC的值，代入4AB﹣3AC中，可得出4AB﹣3AC为定值26，此题得解． 【解答】解：（1）∵c是最大的负整数，且a、b满足|a+3|+（b﹣5）2＝0， ∴c＝﹣1，a+3＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣3，b＝5， 故答案为：﹣3；5；﹣1． （2）， 故答案为：3． （3）t秒钟过后，点B表示的数为5+2t，点C表示的数为﹣1+3t， ∵BC＝2， ∴|5+2t﹣（﹣1+3t）|＝2， 解得t＝4或t＝8， ∴时间t的值为4或8； （4）4AB﹣3AC的值不随着时间t的变化而变化， t秒钟过后，点A表示的数为﹣3﹣t，点B表示的数为5+2t，点C表示的数为﹣1+3t， ∴AB＝（5+2t）﹣（﹣3﹣t）＝8+3t，AC＝（﹣1+3t）﹣（﹣3﹣t）＝2+4t， ∴4AB﹣3AC＝4（3t+8）﹣3（4t+2）＝12t+32﹣12t﹣6＝26． ∴4AB﹣3AC的值为定值26． 18．（2025秋•临湘市期末）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，﹣10，原点O是线段AB上一点．已知AC＝4，且OA＝3OB，有两条动线段PQ和MN满足PQ＝2，MN＝4．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段PQ以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． （1）直接写出a，b的值：a＝　﹣6　 ，b＝　2　 ； （2）设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段PQ，MN同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； （3）当点Q运动到点B时，线段PQ立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段PQ，MN同时停止运动，设运动时间为t秒，当t＞5时，存在两个常数m，n使得m•QC﹣n•NC的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 【分析】（1）先根据AC＝4，点C表示的数为﹣10，求出点A表示的数a＝﹣10+4＝﹣6，再根据OA＝3OB，求出OB＝2，即可得出答案； （2）分两种情况：当点P为CM的中点时CP＝MP，当点M为CP的中点时CM＝MP，分别列出方程，解方程即可； （3）先求出QC＝﹣2t+12﹣（﹣10）＝﹣2t+22，NC＝2﹣t﹣（﹣10）＝12﹣t，得出m•QC﹣n•NC＝（n﹣2m）t+22m﹣12n，根据常数m，n使得m•QC﹣n•NC的值与t无关，得出n﹣2m＝0，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AC＝4，点C表示的数为﹣10， ∴点A表示的数a＝﹣10+4＝﹣6， ∴OA＝6， ∵OA＝3OB， ∴OB＝2， ∴b＝2， 故答案为：﹣6；2； （2）t秒后点M表示的数为2﹣4﹣t＝﹣2﹣t，点P表示的数为﹣10+2t， 当点P为CM的中点时CP＝MP， 则：﹣10+2t﹣（﹣10）＝﹣2﹣t﹣（﹣10+2t）， 解得：； 当点M为CP的中点时CM＝MP， 则：﹣2﹣t﹣（﹣10）＝﹣10+2t﹣（﹣2﹣t）， 解得：t＝4； 综上分析可知：当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间的值为或4． （3）点Q运动到点B需要的时间为：[2﹣（﹣10+2）]÷2＝10÷2＝5（秒）， ∴当t＞5时，线段PQ向左运动，点Q表示的数为2﹣2（t﹣5）＝﹣2t+12， ∴QC＝﹣2t+12﹣（﹣10）＝﹣2t+22，NC＝2﹣t﹣（﹣10）＝12﹣t， ∴m•QC﹣n•NC ＝m（﹣2t+22）﹣n（12﹣t） ＝﹣2mt+22m﹣12n+nt ＝（n﹣2m）t+22m﹣12n， ∵常数m，n使得m•QC﹣n•NC的值与t无关， ∴n﹣2m＝0，即n＝2m． 19．（2025秋•长春期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，A、C两点之间距离为30，原点O在点A和点C之间，且点C到O的距离是点A到O的距离的2倍．动点B沿数轴从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时动点P、Q分别从点A、C出发沿着数轴运动，点P、Q的速度分别为每秒3个单位长度、每秒4个单位长度，设运动时间为t秒． （1）a＝　﹣10　 ，c＝　20　 ； （2）已知D为数轴上一动点，且满足CD+AD＝40，求点D表示的数； （3）若点P向右运动，点Q向左运动，当PB＝BQ时，求t的值； （4）若点P向左运动，点Q向右运动，3PB﹣m×BQ的值不随时间t的变化而改变，直接写出m的值． 【分析】（1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）设D表示的数为x，根据题意求得CD+AD＝40的表达式，分x≤﹣10，﹣10＜x＜20，x≥20三种情况解答即可； （3）根据题意分别得出t秒后P，Q，B的位置表达式，再由题意得出PB＝BQ的表达式方程，即可求得t的值； （4）利用3PB﹣m×BQ列出关于t的代数式，合并同类项后令t的系数为零即可． 【解答】解：（1）∵原点O在A、C之间， ∴a＜0，c＞0， ∵AC＝c﹣a＝30，OC＝2OA， ∴c＝2|a|， ∴|a|＝﹣a， ∴c＝﹣2a， 代入c﹣a＝30，得﹣2a﹣a＝30，解得a＝﹣10，c＝20， 故答案为：﹣10，20； （2）已知D为数轴上一动点，且满足CD+AD＝40， 设D表示的数为x，则AD＝|x﹣（﹣10）|＝|x+10|，CD＝|x﹣20|， 由CD+AD＝40，分以下情况讨论： ①当x≤﹣10时，则x+10≤0，x﹣20≤0， ∴AD＝﹣x﹣10，CD＝20﹣x， ∴（﹣x﹣10）+20﹣x＝40，解得x＝﹣15； ②当﹣10＜x＜20时，则x+10＞0，x﹣20＜0， ∴AD＝x+10，CD＝20﹣x， ∴x+10+20﹣x＝30≠40，无解； ③当x≥20时，则x+10＞0，x﹣20≥0， ∴AD＝x+10，CD＝x﹣20， ∴x+10+x﹣20＝40，解得x＝25， 综上所述，D表示的数为﹣15或25． （3）由题意知，t秒后P的位置为﹣10+3t，t秒后Q的位置为20﹣4t，t秒后B的位置为1+t， ∴PB＝|（1+t）﹣（﹣10+3t）|＝|11﹣2t|，BQ＝|（1+t）﹣（20﹣4t）|＝|5t﹣19|， 根据题意得：|11﹣2t|＝|5t﹣19|， 即11﹣2t＝5t﹣19或2t﹣11＝5t﹣19， 解得：或， 即t的值为或． （4）若点P向左运动，点Q向右运动，3PB﹣m×BQ的值不随时间t的变化而改变， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10﹣3t，点B表示的数为1+t，点Q表示的数为20+4t， ∴PB＝1+t﹣（﹣10﹣3t）＝11+4t，BQ＝20+4t﹣（1+t）＝19+3t， ∴3PB﹣m×BQ＝3（11+4t）﹣m（19+3t）＝（12﹣3m）t+33﹣19m， 由题意可得：12﹣3m＝0， 解得m＝4， 即m的值为4． 20．（2025秋•梅州校级期中）如图，在数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是10． （1）A、B两点之间的距离是　15　 ； （2）若在数轴上存在一点C，且点C到点A的距离是到点B距离的2倍，则点C表示的数是　5或25　 ； （3）若在原点Q处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒1个单位的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当0≤t≤5时，甲小球到原点的距离是t+5　 ；乙小球到原点的距离是　10﹣2t ；（分别用含t的代数式表示）； ②当甲、乙两小球到原点的距离相等时，求t的值． 【分析】（1）数轴上两点距离等于两点坐标差的绝对值； （2）由题可知分两类讨论，一种是点C在线段AB上满足条件；另一种是点C在AB的延长线上满足条件；设点C坐标列方程求解即可． （3）①路程问题根据路程等于速度乘以时间来表达，且注意乙小球向左碰到挡板前和碰到挡板后两种不同情形的讨论． ②分2种情况根据题意列方程求解． 【解答】解：（1）AB＝|10﹣（﹣5）|＝15， 故答案为：15； （2）设点C表示的数是x，由题得 当点C在线段AB上时：x﹣（﹣5）＝2（10﹣x）， 解得：x＝5， 当点C在线段AB的延长线上时：x﹣（﹣5）＝2（x﹣10）， 解得：x＝25， 综上所述点C表示的数是5或25， 故答案为：5或25； （3）①甲小球距离原点距离：|﹣5|+1×t＝t+5； 乙小球距离原点距离：10﹣2t， 故答案为：t+5；10﹣2t； ②当0≤t≤5时，t+5＝10﹣2t，解得， 当t＞5时，乙小球距离原点距离：2t﹣10 t+5＝2t﹣10，解得t＝15， 答：当甲、乙两小球到原点的距离相等时，t等于． 21．（2025秋•澄城县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：例如数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算，若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A所对应的数a是多项式3x2y﹣4xy3﹣y+2最高次项的系数，且AB＝12，点D从A出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向正半轴运动，点E从B出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向负半轴运动，当D、E两点相遇时均停止运动． 【综合运用】 （1）在数轴上，点A表示的数为　﹣4　 ，点B表示的数为　8　 ； （2）点P为线段DE的中点，D、E两点同时开始运动，设运动时间为t秒，线段OP的长为d个单位长度，求用含t的代数式表示d； （3）在（2）的条件下，点C在线段AB上，且AC＝2BC，当t为何值时，满足2OP+3CE＝CD． 【分析】（1）根据多项式的项与系数的含义可得a＝﹣4，再由线段AB＝12，可得b＝﹣4+12＝8． （2）用含t的整式表示点E，点P，故根据题意可列式﹣4+t＝8﹣2t，t＝4，再进一步求解即可． （3）根据点C在线段AB上，AC＝2BC，AC+BC＝AB＝12，可得点C表示的数为：8﹣4＝4，再由CD＝|4﹣（﹣4+t）|＝8﹣t，分成点E在点C右边和点E不在点C右边时，分别讨论即可． 【解答】解：（1）由题意可得：点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A所对应的数a＝﹣4，且AB＝12， ∵点B在点A的右侧，且AB＝12， ∴b＝﹣4+12＝8， 故答案为：﹣4，8； （2）由题意可得：点D表示的数为：﹣4+t， ∵点E从B出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点E表示的数为：8﹣2t， ∴点P表示的数为：， ∵当D、E两点相遇时停止运动，即当﹣4+t＝8﹣2t， ∴t＝4时停止运动， ∴线段OP的长度； （3）∵点C在线段AB上，且AC+BC＝AB＝12，AC＝2BC， ∴3BC＝12，BC＝4，点C表示的数为：8﹣4＝4， 由（2）可知，点D表示的数为：﹣4+t，且在点C左边， ∴CD＝|4﹣（﹣4+t）|＝8﹣t， 当点E不在点C右边时，即8﹣2t≤4， ∴2≤t≤4， CE＝|4﹣（8﹣2t）|＝2t﹣4， ∵2OP+3CE＝CD， ∴， 解得， 当点E在点C右边时，即8﹣2t＞4，t＜2， CE＝|4﹣（8﹣2t）|＝4﹣2t， ∵2OP+3CE＝CD， ∴， 解得， 综上所述，当或时，2OP+3CE＝CD． 22．（2025秋•九龙坡区期末）如图，点O是数轴上的原点，A，B是数轴上的两个点，点A对应的数是为﹣9，点B对应的数是为3． （1）若点M以每秒4个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向右运动，运动时间为t秒，则当t为何值时，原点O为MN的中点； （2）若点M沿数轴从点A出发向右运动，同时点N沿数轴从点B出发向左运动，4秒后，M，N两点之间的距离为2个单位长度，已知N的速度是M的两倍，分别求出M，N两点的速度； （3）点M，N，P三个点同时开始运动：其中，点M以每秒2个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动；点N以每秒1个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动；点P以每秒2个单位的速度从点O出发沿数轴先向右运动，与点N相遇后立即以原来速度沿数轴向左运动，直到与点M相遇时三个点都停止运动．请直接写出P，N两点中一个点到原点的距离是另一个点到原点的距离的2倍时的运动时间． 【分析】（1）依据题意得，t秒时，M为﹣9+4t，N为3+2t，又原点O为MN的中点，可得0，进而计算可以得解； （2）依据题意，设M以每秒x个单位，则N以每秒2x个单位，则4秒后，M为﹣9+4x，N为3﹣8x，结合4秒后，M，N两点之间的距离为2个单位长度，故|﹣9+4x﹣（3﹣8x）|＝2，进而可以得解； （3）依据题意得，t秒时，M为﹣9+2t，N为3﹣t，P为2t，故当P、N相遇时，3﹣t＝2t，则t＝1，此时P为2，从而当0≤t≤1时，PO＝2t，NO＝3﹣t，结合P，N两点中一个点到原点的距离是另一个点到原点的距离的2倍，可得2t＝2（3﹣t）或2t×2＝3﹣t，进而求出t的可能值，又当t＞1时，P为2﹣2（t﹣1）＝4﹣2t，可得PO＝|4﹣2t|，NO＝|3﹣t|，结合直到与点M相遇时三个点都停止运动，从而可得此时1＜t，进而|4﹣2t|＝2|3﹣t|或|4﹣2t|×2＝|3﹣t|，故可得解． 【解答】解：（1）由题意得，t秒时，M为﹣9+4t，N为3+2t， 又∵原点O为MN的中点， ∴0． ∴t＝1． 答：当t为1时，原点O为MN的中点； （2）由题意，设M以每秒x个单位，则N以每秒2x个单位， ∴4秒后，M为﹣9+4x，N为3﹣8x． 又∵4秒后，M，N两点之间的距离为2个单位长度， ∴|﹣9+4x﹣（3﹣8x）|＝2． ∴x或x． ∴M的速度为单位/秒，N的速度为单位/秒或M的速度为单位/秒，N的速度为单位/秒； （3）由题意得，t秒时，M为﹣9+2t，N为3﹣t，P为2t， ∴当P、N相遇时，3﹣t＝2t，则t＝1，此时P为2． ∴当0≤t≤1时，PO＝2t，NO＝3﹣t． 又∵P，N两点中一个点到原点的距离是另一个点到原点的距离的2倍， ∴2t＝2（3﹣t）或2t×2＝3﹣t． ∴t（不合题意，舍去）或t． 又当t＞1时，P为2﹣2（t﹣1）＝4﹣2t， ∴PO＝|4﹣2t|，NO＝|3﹣t|． ∵直到与点M相遇时三个点都停止运动， ∴4﹣2t＝﹣9+2t． ∴t． ∴1＜t． 又∵P，N两点中一个点到原点的距离是另一个点到原点的距离的2倍， ∴|4﹣2t|＝2|3﹣t|或|4﹣2t|×2＝|3﹣t|． ∴t或或． 综上，t或或或． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $