第五十八讲 平面向量基本定理及坐标表示 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学导学案系统梳理平面向量基本定理及坐标表示核心考点，以定理（基底、分解式）为基础，坐标表示（定义、运算）为桥梁，构建“定理-坐标-运算”知识网络，通过必掌握知识点分点梳理和解题方法总结，引导学生自主推导联系，形成层次分明的认知体系。 亮点是必考题型分层设计与自主诊断工具，如开篇基底判断题助学生定位基础，三点共线、圆弧动点最值等综合题型培养数学思维与语言表达，每个题型配例题与巩固题。学生可通过错题归因自主提升，教师依题型分布实施分层指导，有效支持因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第五十八讲 平面向量基本定理及坐标表示 【学习目标】1.知道平面向量基本定理； 2.会进行坐标表示下的平面向量运算. 【学习重点】平面向量基本定理及坐标表示. 【学习难点】平面向量基本定理的应用. 必掌握知识点： 1、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则 2.平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （1）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （2）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （3）若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． (4)设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 3．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 解题方法总结： （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 必考题型全归纳： 题型一 基底判断（两向量是否共线） 1．（贵州贵阳市修文中学2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试题）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底， 对于A，和不共线，可以作为平面的一组基底，故A不合题意； 对于B，和不共线，可以作为平面的一组基底，故B不合题意； 对于C，和不共线，可以作为平面的一组基底，故C不合题意； 对于D，因为，所以和共线，则和不能作为平面的一组基底，故D适合题意. 2．（上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷）向量，则下列能使成立的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A，共线，不可作为基底，所以A不正确 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底，所以B不正确 对于C，不共线，可以作为基底，且，故C正确 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底，所以D不正确 题型二 向量坐标基础运算（加减、数乘、终点减起点） 3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积. 【详解】由，，得，则，．故选C． 【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知，则（    ） A．－3 B．－10 C．9 D．15 【答案】D 【分析】先根据求出，然后再根据数量积的坐标运算求的值. 【详解】因为，所以， 因为，则，所以.故选：D. 5（多选）．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据点的坐标，写出向量的坐标，根据模的计算公式求出向量的模，可判断A,B; 根据数量积的坐标表示，求出相关向量的数量积，可判断C,D. 【详解】A：， 同理， 关系不定，故不一定相等，A错误； B：，，所以， ，故，B正确； C：由题意得：， ，不一定相等，故C错误； D： ，，故D 正确；故选：BD 6（多选）．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误；故选：AC 题型三 平行、垂直坐标条件求参数 7．已知向量，，，若，则实数（    ） A．－6 B．－5 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算及向量的夹角公式即可求解. 【详解】，， 所以，，， 因为，所以，解得.故选：C. 8．已知向量，．若向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：设,则,,由已知可知,解得,故.选D. 考点：共线向量与垂直向量的性质. 9（多选）．（河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期入学摸底考试数学试题）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0从而列方程验算即可；对于B，由向量平行的充要条件列方程即可；对于C，由数量积大于0且不共线即可说明C正确；对于D，由条件求得，再举反例说明D错误即可. 【详解】若，则，解得，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 当时，，由B知此时与不共线，所以与的夹角为锐角，故C正确； 若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然，故D错误. 故选：AC. 10（多选）．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求，判断A，根据向量垂直的向量表示结合数量积的坐标运算求，判断B，由两边平方可得，结合数量积坐标运算求，再求判断C，由条件可得，且向量与不共线，列不等式 的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 所以，又，， 所以，所以，B错误； 对于C，由可得，， 所以，所以，由，， 可得，所以，所以，， 所以，C正确； 对于D，由向量与的夹角为锐角，可得，且向量与不共线， 所以，且，所以实数的取值范围是，D错误； 故选：AC. 题型四 夹角、投影、单位向量计算 11．已知单位向量，满足，若向量，则向量与向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积求出向量与向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. 【详解】，由，所以. 故选：B 12（多选）．（福建省泉州实验中学2026届高三上学期8月月考数学试卷）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确.故选：BCD 题型五 三点共线与基底线性表示求最值 、参数 13．在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________． 【答案】/0.5 【分析】根据题意，用表示出与，求出λ、μ的值即可． 【详解】设，则 =（1﹣k）+k． =，∴ 故答案为： 14．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点.    (1)用，表示； (2)过点作直线交线段于点，交线段于点，且，，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合三角形的结合特点，直接求解即可； （2）先求得，再将其转化为用表示，结合三点共线，即可求得参数值； （3）用基底表示目标式中的所有向量，再结合向量的数量积运算，即可求得结果. 【详解】（1）. （2）E，C，O共线，所以，所以，. 由得.又因为，所以. 从而，解得，即. 因为G，O，H共线，所以，， 所以，解得. （3）因为，故可得， 所以. 即，所以，得. 题型六 圆弧动点基底线性组合最值 15．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x、.则的最大值为______；的取值范围是______. 【答案】 2 【分析】如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，设，根据，可得所以，然后利用三角函数的性质求解即可 解：如图所示，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，    则，，设. 由于，，. 根据，得到从而 故，当时，. ，又， ，即.故答案为：2， 巩固提升： 1．已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据坐标运算得，再根据向量夹角公式列方程求解即可. 【详解】，，， ，的夹角与，的夹角相等， ，即，解得， 2．如图所示，在中，D是线段BC上一点，，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算以及基本不等式可得答案． 【详解】由条件可得， ∴，，，， ∴，∵M，D，N三点共线，∴，， 当且仅当即时等号成立，即的最小值是．故选：D. 3（多选）．（湖南省永州市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 【答案】BC 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 4（多选）．（江西省“红色十校”2026届高三第一次联考数学试卷）在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 【答案】ACD 【分析】利用平行直线的斜率相等可判断；利用垂直直线的斜率乘积为可判断；利用向量夹角的余弦值公式可判断；由三点共线可得，及向量共线的坐标表示，结合二次函数的最值可判断D. 【详解】对于：当时，， ，，且与不重合可知，故正确； 对于：， 因为，所以， 可得，故错误； 对于：当时，，，，， 于是，， 故，故正确； 对于：由三点共线可知， 而，， 所以， 即， 可得，即，故正确. 故选：ACD. 5．在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 【分析】根据向量的线性运算和共线定理分别用表示，再根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】根据题意可知，，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 存在实数使得，所以，解得，即， 又因为， 所以， 整理得，所以，故答案为： 6．如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解； （2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值； （3）用，表示，从而进行数量积运算. 【详解】（1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线， 所以存在实数，使，其中D是BC中点，且， 所以即 解得，，所以． （2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使， 其中，，所以， 根据平面向量基本定理可得：即，所以． （3） ，整理可得：，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十八讲 平面向量基本定理及坐标表示 【学习目标】1.知道平面向量基本定理； 2.会进行坐标表示下的平面向量运算. 【学习重点】平面向量基本定理及坐标表示. 【学习难点】平面向量基本定理的应用. 必掌握知识点： 1、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则 2.平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （1）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （2）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （3）若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 3．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 解题方法总结： （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 必考题型全归纳： 题型一 基底判断（两向量是否共线） 1．（贵州贵阳市修文中学2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试题）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷）向量，则下列能使成立的一组向量是（   ） A． B． C． D． 题型二 向量坐标基础运算（加减、数乘、终点减起点） 3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．在平面直角坐标系xOy中，已知，则（    ） A．－3 B．－10 C．9 D．15 5.（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 平行、垂直坐标条件求参数 7．已知向量，，，若，则实数（    ） A．－6 B．－5 C．5 D．6 8．已知向量，．若向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 9（多选）．（河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期入学摸底考试数学试题）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 10（多选）．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 题型四 夹角、投影、单位向量计算 11．已知单位向量，满足，若向量，则向量与向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 12（多选）．（福建省泉州实验中学2026届高三上学期8月月考数学试卷）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 题型五 三点共线与基底线性表示求最值 、参数 13．在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________． 14．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点.    (1)用，表示； (2)过点作直线交线段于点，交线段于点，且，，求的值； (3)若，求的值. 题型六 圆弧动点基底线性组合最值 15．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x、.则的最大值为______；的取值范围是______. 巩固提升： 1．已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 2．如图所示，在中，D是线段BC上一点，，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3（多选）．（湖南省永州市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 4（多选）．（江西省“红色十校”2026届高三第一次联考数学试卷）在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 5．在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 6．如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $