第十五讲 平面向量的线性运算导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理平面向量线性运算核心考点，涵盖向量概念、加减数乘运算及共线定理，按高考题回顾、必考题型分类（加法、减法、数乘、混合运算）构建知识体系，通过问题链引导学生自主推导运算规律，形成从基础到综合的认知框架。 亮点在于诊断性真题引入和分层题型设计，开篇设置3道高考真题让学生自主检测，每种题型配表格梳理法则与几何意义，培养数学思维与数学语言表达能力。巩固提升含证明题与多选题，帮助学生个性化查漏，教师可依学情精准指导，提升复习实效。

高三一轮复习 第十五讲 平面向量的线性运算高考题分类解析 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 高考题回顾： 1.（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 2.（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得．故答案为：15 3.（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；. 必考题型全归纳： 一、向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则、交换律 、 结合律） 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 1．在所在平面内，点C满足，记，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由向量的线性运算可知 . 2．在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】已知且，所以， 则. 3．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 4．如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【分析】以为基底表示出，根据列方程求解可得. 【详解】由题可知， ， 所以， 所以， 解得或（舍去）．故选：A 5．在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将用，表示后匹配选项. 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，，因此. 题型二、向量减法运算（三角形减法法则、相反向量） 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 6．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意.故选：B. 7．设D是的边AB上的点，若，，则______． 【答案】 【分析】利用基底表示平面向量，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】∵，， ∴． 又∵， ∴．∴，即． 8．已知正方形ABCD的边长为1，，，，则（    ）． A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以．因为，所以． 题型三、向量数乘运算（实数 λ 与向量相乘、方向、模长倍数） 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 9．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误，故选：B. 10．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（    ）． A．与的方向相反 B． C．与的方向相同 D． 【答案】C 【分析】根据的正负决定的方向，同理的正负决定的方向，即可判断A，C；根据将条件变形，即可判断B，D. 【详解】当时，与的方向相反；当时，与的方向相同，故A错误； 因为，当且仅当时，，即，故B错误； 因为是非零实数，所以，所以与同向，故C正确； 因为，故D错误． 11．（多选）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据用基底表示向量、向量夹角的计算、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值求解即可. 【详解】对于A，由，得，则，A正确，B不正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C正确； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 12．已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题目条件求出的关系后，换元代入得到二次函数，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】因为是中点，所以，由， 代入得：， 又，，因此，， 代入得：， 因为在上，由三点共线的向量性质可得：， 令，则 ，即求的最小值，令， 将代入得： 这是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值： ，故的最小值为. 题型四、加、减、数乘混合综合运算（平面向量基本定理） 13．已知的平面内有2个不同的点满足，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设点为的重心，得到，根据向量的运算法则，化简得到，得到 和 ，即点和分别落在以为圆心，半径为和的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设为的重心，根据重心的性质，可得， 因为， 可得 所以 ， 当时， ；当时， ， 所以点在以为圆心，半径为的圆上，点在以为圆心，半径为的圆上， 根据圆的性质，可得 . 14．（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面向量线性运算法则，结合等边三角形外心与重心重合的性质，将用不同基底表示，逐一验证选项. 【详解】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此， 是中点，故.则 ，故A正确、B错误； 选项C、D：由上述推导过程可得，故C正确、D错误. 巩固提升： 1．如图所示，过的重心，，，，，求证：． 【答案】证明：连接并延长至，则为的中点，因为为的重心， ， 又， 同理． 因为，共线，所以， 即， 所以，所以． 【分析】利用向量的线性运算将相关向量用基底向量表示，结合共线向量定理证明 【详解】见答案 2．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）易知； （2）易知； （3）易知 3．（多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确.故选：ACD 4．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确．故选:ABD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十五讲 平面向量的线性运算高考题分类解析 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 高考题回顾： 1.（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 2.（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 3.（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 必考题型全归纳： 一、向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则、交换律 、 结合律） 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 1．在所在平面内，点C满足，记，，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 5．在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 题型二、向量减法运算（三角形减法法则、相反向量） 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 6．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 7．设D是的边AB上的点，若，，则______． 8．已知正方形ABCD的边长为1，，，，则（    ）． A．0 B．3 C． D． 题型三、向量数乘运算（实数 λ 与向量相乘、方向、模长倍数） 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 9．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 10．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（    ）． A．与的方向相反 B． C．与的方向相同 D． 11．（多选）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 12．已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 题型四、加、减、数乘混合综合运算（平面向量基本定理） 13．已知的平面内有2个不同的点满足，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 14．（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．如图所示，过的重心，，，，，求证：． 2．化简： (1)； (2)； (3)． 3．（多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $