专题03 解直角三角形的应用9大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题03 解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 题型1 网格中解直角三角形 题型2 坐标系中解直角三角形 题型3 四边形中解直角三角形 题型4 函数中解直角三角形 题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 题型6 直角三角形应用之方位角问题 题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型8 直角三角形应用之生活实际问题 题型9 直角三角形应用之其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 ◆题型1 网格中解直角三角形 1．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） (1)在图中，以线段为边，作出正方形； (2)在图中，作出线段的垂直平分线，交于点N，交于点M； (3)在图中，在线段上确定点P，使得，连接，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用网格构造四个直角三角形，通过网格边长关系得到这四个三角形的两组直角边分别相等且夹角为直角，用证明它们全等，得出四边形的四条边相等，判定其为菱形，再通过角的等量代换证明，从而得出四边形是正方形； （2）先利用网格构造两个三角形，根据网格边长和平行关系得到对应角相等、对应边相等，用证明这两个三角形全等，得出是的中点，同理得到是的中点，再结合正方形对边平行且相等的性质，证明四边形是矩形，得到垂直于，结合是中点，即可确定是的垂直平分线； （3）先用勾股定理求出的长度，再根据垂直平分线和正方形的性质，得出、的长度以及四边形是矩形，接着根据正切的定义求出的长度，进而得到的长度和与的比例，然后利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例确定点的位置，最后在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图，利用网格构建、、、， 由网格可知，，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，利用网格构建和， 由网格可知，，， ∴，， ∴， ∴，即是中点， ∴， 同理得， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴是的垂直平分线； （3）解：， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 如图，利用网格构建和， 由网格可知，，，， ∴，， ∴， ∴， 故点即为所求， 在中，． 2．阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳： 观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务： (1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据可得答案； （2）先取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案； （3）取格点E，连接，延长，作，设菱形的边长为1，根据题意得，即可得，再说明，然后解直角三角形求出，进而求出，接下来根据勾股定理求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：取格点Q，连接， 可知， ∴． 根据勾股定理，得， 可知, ∴是直角三角形， ∴； （2）解：如图，取格点Q，连接， 由图可知， ∴． 根据勾股定理，得， 则 ∴是直角三角形，且， 可知， ∴； （3）解：取格点E，连接，延长，过点B作于点F，如图所示， 设菱形的边长为1，根据题意，得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． (1)在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； (2)在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 【答案】(1)点G即为所求． (2) 【分析】（1）取格点N，连接交于点D，即为所求；与格线交点G，连接； （2）如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接，连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P，连接、． 【详解】（1）解：取格点N，连接交于点D， 由图可知，． ． ． ． ， ，即 点D即为所求； 与格线交点G，连接， 由图可知点G为中点， ， ． ． ． （2）解：如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接， ， ，． ， ． ． 在和中， ． ，． ． 连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P， ，连接、， ，． 在和中 ． ． ， ． ， ． 在和中 . ． ， ． ， ． ． 4．阅读下面的材料： 某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果，都为锐角，且，，求的值． 该数学学习小组最后是这样解决问题的：如图①，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接． (1)观察图形可得：______； (2)请参考上述方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图②的正方形网格中，画出，并求出的值； (3)拓展应用：如图③，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则______． 【答案】(1)1 (2)的值为1； 所作如图所示： (3) 【分析】（1）由图易得，则有，然后可得，进而根据三角函数的定义可进行求解； （2）同理（1）可进行求解； （3）连接，由等边三角形的性质可得，然后可得，设图形中所有等边三角形的边长为a，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：同理可得：， ∴； （3）解：连接，如图所示： 在中，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 设图形中所有等边三角形的边长为a，则有， ∴． ◆题型2 坐标系中解直角三角形 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C．若，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴的垂线，根据正切的定义设出点的坐标，代入一次函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式求解即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ， 设点的坐标为，其中， 一次函数的图象过点， ， 解得， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数解析式，得， 整理得， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， 当时，，为点的坐标， 当时，，为点的坐标， 点的坐标为． 6．如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，边交x轴正半轴于点P，若，，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理求出，证明，利用余弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点，，，在轴上，点，在轴正半轴上，其中，，，．把沿轴向右平移，当恰好经过点时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的三角函数求出点、点的坐标．再使用待定系数法求解直线的解析式．然后根据平移前后一次函数不变设平移后的直线解析式，代入点坐标求出参数．最后依据平移时点纵坐标不变，求出平移后点的横坐标． 【详解】解：，， ， ， ， ． ． 设直线的解析式为． ， 解得， ． 设直线平移后的解析式为． 平移后的直线经过点， ． ∴直线平移后的解析式为． 平移过程中点纵坐标保持不变，始终为． ， ． 平移后点坐标为 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴，点B，C在x轴上且位于y轴两侧．若其边长，，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意先求出，过点D作轴于点E，则，推出即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，，点A在y轴正半轴， ∴，， 过点D作轴于点E，则， ∴， ∴点D的坐标为． ◆题型3 四边形中解直角三角形 9．如图，在正方形中，点E，F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则正方形与菱形的面积比为________． 【答案】(1)证明：连接交于点， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）连接交于点，由四边形是正方形，可得，，再证明，可得，从而可证四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理可证得结论； （2）设正方形边长为，可得，，解直角三角形可得，可得，，再求得，最后求出正方形与菱形的面积比． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形边长为，则， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， ， ，， ，， ， 正方形与菱形的面积比为． 10．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 【答案】 【分析】结合菱形性质得到，过点作于，过作于，根据30度角的性质得到，可知，根据三角函数求出的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，过作于， 则， 即， 在中，，， ∴， 即的最小值为． 11．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ，即． 在和中， （SAS）． (2)8 【分析】（1）运用等腰三角形的判定定理，得到，结合，可得，再利用三角形全等判定定理，证明全等； （2）先证明，解直角三角形求出与，结合，求出、，再利用，求出面积． 【详解】（1）略 （2）， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 12．如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，． (1)若，试求四边形的周长； (2)若与的夹角，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形． （1）先证明平行四边形为菱形，用勾股定理求出菱形的边长，即可求解； （2）过点作，垂足为点，先由求出的长度，再求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形， ∴，，． 在中， 由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的周长为； （2）解：过点作，垂足为点，如图所示． ∵四边形为平行四边形， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型4 函数中解直角三角形 13．如图，正三角形的边长为4，D是边上的一点，过D作边的垂线，交于G，用x表示线段的长度．显然，的面积y是x的函数，则该函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，，确定，再由三角函数得出，利用三角形面积建立函数，然后得出自变量的取值范围，取特殊值即可判断函数图象． 【详解】解：为正三角形，边长为4， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 是边上的一点， ， 在中，， ， 解得， 该函数图象是抛物线的一部分，且的取值范围是， 当时，， 当时，，对比选项，只有B选项符合． 14．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，根据菱形面积公式求得菱形的高； （2）首先求出，，过点作于点，然后分两种情况讨论，解直角三角形表示出，分别根据和求解． 【详解】（1）解：菱形中，，， ，，， ， 设菱形的高为， ， ， 菱形高为； （2）解：∵，，， ∴，， 如图，过点作于点，当时，点P在上，点Q在上， 根据题意得，，，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴， ∴ 当时，点P在上，点Q在上，如图， 根据题意得，，，则 ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴ ∴ ∴ 综上所述，与之间的函数解析式为． 15．如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线． (1)求反比例函数表达式； (2)写出与的位置关系，并说明理由； (3)若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 令， 解得：， ， ， ，且， ， ， ； (3)点的坐标为或，均在反比例函数图象上 【分析】（1）根据矩形的性质得到点的坐标为，进而求出点M坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）令，求出的长，证明，进而得到，从而得到； （3）分情况讨论：当点在点的右边或点在点的左边时，延长交轴于点，在中，根据得到，进而求出和，求出点P的坐标，将点P坐标代入反比例函数解析式判断是否在函数图象上即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点的坐标为， ，；，， ， ， ， 将点代入反比例函数得：， 解得：， 反比例函数表达式为； （2）略 （3）解：如图，当点在点的右边时，延长交轴于点， 四边形是矩形， ． 四边形为菱形， ，， ， 在中，， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， 将代入得：， 点在反比例函数图象上． 当点在点的左边时，同理可得：， 此时点也在反比例函数图象上． 综上，点的坐标为或，均在反比例函数图象上． 【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②-2或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． ◆题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 17．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 18．康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 【答案】米 【分析】分别在和中，利用三角函数求出，的长即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，米，，， 米， （米）． 在中，，， 米， 在中，，， ， （米） （米） 答：宝顶的高度约为米． 19．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 20．综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． ◆题型6 直角三角形应用之方位角问题 21．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 22．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 23．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 24．党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度． (2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 【答案】(1)选择方案一：由题意可知为直角三角形，， ∴， ∴， 即河流宽度为； 选择方案二：由题意可知， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即河流宽度为； (2)如图，观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上．示意图如下：只需要测量出的长度就能推出河宽． ∵O是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 【分析】（1）方案一：直接利用正切定义即可求解；方案二：先证得，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上，利用，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 25．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 26．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 【答案】20.61米 【分析】先利用勾股定理求出，再根据坡度的定义求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解 ∵坡度为， 在，， ， 在中，， ， ， 四边形ABCD为矩形， ， 斜坡的坡度为， ， ， 在中，， 斜坡的长度为20.61米． 27．如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于，过点作于，根据题意得出米，根据背水坡的坡度为，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵背水坡的坡度为， 即， ， 即背水坡的坡角为； （2）过点作于，过点作于， ， ， 四边形是矩形， 米，米， ， ， 米， 背水坡的坡度为， （米）， （米）． 坝底的长为米． 28．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】瀑布的高度约为米 【分析】过点作，交于点，作，交于点， 分别解，，求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，作，交于点，则四边形是矩形， ∴． 在中，，，， ，， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ． 答：瀑布的高度约为米． ◆题型8 直角三角形应用之生活实际问题 29．项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 【答案】(1)书架的高度约为 (2)用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 【分析】（1）如图，过作于，过作于，交于，分别求解，，过作于，过作交的延长线于，分别求解，，再进一步求解即可． （2）设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 过作于，过作交的延长线于， ∴，， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴书架的高度约为． （2）解：设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架， ∴， 解得：， ∴， ∴用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 30．【综合实践】——如何安装遮阳棚？ 【问题背景】随着旅游业的蓬勃发展和乡村振兴战略的深入实施，民宿经济迎来了前所未有的发展机遇。为提高服务质量，小阳家的民宿计划在墙外安装遮阳篷，便于旅客休憩，如图1． 【处理数据】为正确安装遮阳篷，小阳先画出了遮阳篷侧面示意图（如图2），遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端到的距离为3米，与水平面的夹角为． 【问题解决】 (1)确定材料宽度：确定遮阳篷斜面的尺寸，即求的长； (2)探究安装高度：当太阳光线与地面的夹角为时，为使遮荫距离的长为2米，那么遮阳篷应安装在靠墙端离地多高处？（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） 【答案】(1)米 (2)3.6米 【分析】（1）作于N，然后根据三角函数进行求解即可； （2）作于，由题意易得四边形为矩形，然后可得米，，进而根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作于N， 在中，米，， ∵， ∴（米）； 答：的长为米． （2）解：如图，作于， 则， 四边形为矩形， 米，， 米， （米）， ， ∴（米）， （米）， 在中，米，， ∵， （米）， （米）， 答：遮阳篷靠墙端离地高的长约为3.6米． 31．图1是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图，已知，当，时，用眼舒适度较为理想．求此时：（结果精确到，参考数据：，，，，，） (1)拐点离桌面的高度； (2)顶部边缘A处离桌面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，在中，根据三角函数即可求出的长度； （2）过点作于点，过点作于点，在中，求出的度数，从而求出的长度，最后由顶部边缘处离桌面的高度为：，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， 在中，，， ， 答：拐点离桌面的高度约为； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， ， ， 顶部边缘处离桌面的高度为： ， 答：顶部边缘A处离桌面的高度约为． 32．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． ◆题型9 直角三角形应用之其他问题 33．数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】33792 【分析】作于点，根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，然后根据周长公式求出周长即可． 【详解】解：作于点，则， ，， ， 在中，千米， 千米， 北纬的纬线长度 （千米）． 34．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可； （2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，，，，，， ∴， ∴中，， 即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， 即， 解得：， ∴， 答：城门楼的顶端到地面的距离约为． 35．在庆祝中国共青团成立100周年的歌咏比赛中，用的是如图①这款话筒支架，图②是其示意图，是三脚支架，支撑杆与悬臂支架交于点可绕点O旋转，已知，点O到地面的垂直距离为． 当嘴巴与地面的距离与点A与地面的距离相等时，扩音效果最佳． (1)表演者小红的嘴巴离地面距离是，当悬臂支架绕点O旋转至时，求此时的点A的高度对小红的扩音效果是最佳的吗？(精确到) (2)表演者小方的嘴巴离地面高度是，为使扩音效果最佳，需把的度数调为多少度？ 参考数据：， 【答案】(1)点A的高度对小红的扩音效果不是最佳的，见解析 (2)需把的度数大约调至 【分析】（1）过点A作垂直于直线于点H，过点O作于点P，分别计算出，再解直角三角形得到即可判断； （2）先求，进而得到，再求角即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作垂直于直线于点H，过点O作于点P， ∵， ∴. ∴. ∵在中，， ∴， ∴ ∴点A的高度对小红的扩音效果不是最佳的； （2）当时， ， ∴在中，， 又∵ ∴， ∴. 答：需把的度数大约调至. 36．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为10°．（参考数据：，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】（1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． （2）解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，作辅助线，构造出直角三角形． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 2．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 3．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 4．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 5．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 6．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 7．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 8．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】2.3 【分析】先解求出，再解求出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴在中，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 9．2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，则桌面到地面的距离为________．（参考数据：，，结果精确到）． 【答案】 【分析】延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 则，， ∵， ∴． 在中，，， ， ． 10．如图，要测量旗杆的高度，在旗杆前平地上处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿方向走到处，测得旗杆顶端的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点、、在同一直线上，延长交于点，则旗杆的高度约为________．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】设，在中利用得出，在中利用列方程求解即可 【详解】解：依题意得：, ∴四边形是矩形，同理，四边形是矩形， ， 设，则， 在中，，， 在中，，， ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意 则旗杆的高度约为米． 11．如图，在广场上空用氢气球悬挂着“人文黔东南，和谐黔东南，美丽黔东南，热爱黔东南，建设黔东南”的大型宣传条幅，小明站在D处看条幅顶端A的仰角为，再往条幅方向前进米到B处，在B处看条幅顶端A的仰角为，求条幅的高度（小明的身高不计，条幅垂直于地面，结果精确到米，参考数据，） 【答案】米 【分析】利用直角三角形两个锐角互余，等角对等边，直角三角形中所对的边是斜边的一半，勾股定理以及公式法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意得米，，，， ， ， 设米，则米，米， 米， 在中，， ，化简得， 两边同时除以得， ， 或（舍去）， （米）． 12．如图1，是一辆汽车起重机，又称吊车，其工作原理是起重臂内转动卷筒上缠绕的钢丝绳利用滑轮进行物料搬运．如图2，是其工作状态下的示意图，起重臂最长为20米，起重臂与水平线的夹角最大为，旋转中心点B离地面的距离为1.6米． (1)如图2，求这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离；（参考数据：，，） (2)接上级通知，需紧急启动一辆汽车起重机调往距离为180千米的某城市执行救援任务，救援队小王按原计划速度匀速行驶60千米后，以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求救援队小王原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度． 【答案】(1)这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离为20.6米 (2)原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为100千米/时 【分析】（1）解直角三角形求出的长，进而可求得； （2）设原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为x千米/时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得米，， 在中，， （米）． （米）， （米）． 答：这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离为20.6米． （2）解：设原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为x千米/时． 则． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． ． 答：原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度为100千米/时． 13．火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 【答案】(1) (2)该云梯消防车能实施有效救援， 理由：如图：当，时，消防车能实施救援的高度最大， 过点作，垂足为， 则，， ， 在中，， ， ， ， 该云梯消防车能实施有效救援． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答； （2）当，时，消防车能实施救援的高度最大，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为； （2）略 14．综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 15．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 题型1 网格中解直角三角形 题型2 坐标系中解直角三角形 题型3 四边形中解直角三角形 题型4 函数中解直角三角形 题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 题型6 直角三角形应用之方位角问题 题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型8 直角三角形应用之生活实际问题 题型9 直角三角形应用之其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 ◆题型1 网格中解直角三角形 1．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） (1)在图中，以线段为边，作出正方形； (2)在图中，作出线段的垂直平分线，交于点N，交于点M； (3)在图中，在线段上确定点P，使得，连接，直接写出的长． 2．阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳： 观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务： (1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． (1)在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； (2)在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 4．阅读下面的材料： 某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果，都为锐角，且，，求的值． 该数学学习小组最后是这样解决问题的：如图①，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接． (1)观察图形可得：______； (2)请参考上述方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图②的正方形网格中，画出，并求出的值； (3)拓展应用：如图③，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则______． ◆题型2 坐标系中解直角三角形 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C．若，则点B的坐标为______． 6．如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，边交x轴正半轴于点P，若，，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点，，，在轴上，点，在轴正半轴上，其中，，，．把沿轴向右平移，当恰好经过点时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴，点B，C在x轴上且位于y轴两侧．若其边长，，则点D的坐标为______． ◆题型3 四边形中解直角三角形 9．如图，在正方形中，点E，F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则正方形与菱形的面积比为________． 10．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 11．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 12．如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，． (1)若，试求四边形的周长； (2)若与的夹角，求四边形的面积． ◆题型4 函数中解直角三角形 13．如图，正三角形的边长为4，D是边上的一点，过D作边的垂线，交于G，用x表示线段的长度．显然，的面积y是x的函数，则该函数的大致图象为（） A． B． C． D． 14．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 15．如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线． (1)求反比例函数表达式； (2)写出与的位置关系，并说明理由； (3)若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 17．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 18．康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 19．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 20．综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） ◆题型6 直角三角形应用之方位角问题 21．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 22．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 23．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 24．党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度． (2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． ◆题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 25．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 26．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 27．如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 28．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） ◆题型8 直角三角形应用之生活实际问题 29．项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 30．【综合实践】——如何安装遮阳棚？ 【问题背景】随着旅游业的蓬勃发展和乡村振兴战略的深入实施，民宿经济迎来了前所未有的发展机遇。为提高服务质量，小阳家的民宿计划在墙外安装遮阳篷，便于旅客休憩，如图1． 【处理数据】为正确安装遮阳篷，小阳先画出了遮阳篷侧面示意图（如图2），遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端到的距离为3米，与水平面的夹角为． 【问题解决】 (1)确定材料宽度：确定遮阳篷斜面的尺寸，即求的长； (2)探究安装高度：当太阳光线与地面的夹角为时，为使遮荫距离的长为2米，那么遮阳篷应安装在靠墙端离地多高处？（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） 31．图1是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图，已知，当，时，用眼舒适度较为理想．求此时：（结果精确到，参考数据：，，，，，） (1)拐点离桌面的高度； (2)顶部边缘A处离桌面的高度． 32．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． ◆题型9 直角三角形应用之其他问题 33．数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米．（结果保留整数．参考数据：，，，） 34．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 35．在庆祝中国共青团成立100周年的歌咏比赛中，用的是如图①这款话筒支架，图②是其示意图，是三脚支架，支撑杆与悬臂支架交于点可绕点O旋转，已知，点O到地面的垂直距离为． 当嘴巴与地面的距离与点A与地面的距离相等时，扩音效果最佳． (1)表演者小红的嘴巴离地面距离是，当悬臂支架绕点O旋转至时，求此时的点A的高度对小红的扩音效果是最佳的吗？(精确到) (2)表演者小方的嘴巴离地面高度是，为使扩音效果最佳，需把的度数调为多少度？ 参考数据：， 36．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为10°．（参考数据：，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 2．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 3．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 4．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 5．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 6．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 7．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 8．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 9．2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，则桌面到地面的距离为________．（参考数据：，，结果精确到）． 10．如图，要测量旗杆的高度，在旗杆前平地上处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿方向走到处，测得旗杆顶端的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点、、在同一直线上，延长交于点，则旗杆的高度约为________．（参考数据：，，） 11．如图，在广场上空用氢气球悬挂着“人文黔东南，和谐黔东南，美丽黔东南，热爱黔东南，建设黔东南”的大型宣传条幅，小明站在D处看条幅顶端A的仰角为，再往条幅方向前进米到B处，在B处看条幅顶端A的仰角为，求条幅的高度（小明的身高不计，条幅垂直于地面，结果精确到米，参考数据，） 12．如图1，是一辆汽车起重机，又称吊车，其工作原理是起重臂内转动卷筒上缠绕的钢丝绳利用滑轮进行物料搬运．如图2，是其工作状态下的示意图，起重臂最长为20米，起重臂与水平线的夹角最大为，旋转中心点B离地面的距离为1.6米． (1)如图2，求这辆汽车起重机工作时点A离地面的最大距离；（参考数据：，，） (2)接上级通知，需紧急启动一辆汽车起重机调往距离为180千米的某城市执行救援任务，救援队小王按原计划速度匀速行驶60千米后，以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求救援队小王原计划驾驶这辆汽车起重机的行驶速度． 13．火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 14．综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 15．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $