专题02 锐角三角函数的计算题9大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 专项以“题型分类+梯度进阶”构建锐角三角函数计算训练体系，覆盖9大核心题型，逻辑递进且典例代表性强。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |锐角三角函数计算|9大题型36题|涵盖特殊角运算、化简求值、三角形形状判断、角度求解等，从基础到综合|基于特殊角三角函数值概念，通过计算→推理→几何应用的递进，培养运算能力与推理意识，体现数学思维的逻辑性与几何直观|

专题02 锐角三角函数的计算题 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数的计算题 题型1 特殊角三角函数值的混合运算 题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 比较三角函数值的大小 题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 题型7 利用同角三角函数关系求值 题型8 互余两角三角函数的关系 题型9 三角函数计算综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数的计算题 ◆题型1 特殊角三角函数值的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．计算：． 【答案】 【分析】首先计算负整数指数幂、指数幂、乘方、化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，进一步合并得出答案即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，计算即可得出结果； （2）先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【分析】先利用化为同分母、完全平方公式、平方差公式化简，利用算出的值，代入化简结果即可求出原式的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原分式分母不为，原分式有意义， 原式． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先进行括号内分式的减法与括号外分式的化简，再进行分式的加法计算，继而求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 8．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，再将x化简后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． ◆题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 10．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 11．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知:，， ∴原式． 12．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 13．若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 14．已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式为0，先求出的值，再结合是锐角得到的度数． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得：， 化简得：， 整理得：， ∵是锐角，， ∴， ∴． 15．已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】/40度 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形内角和定理，先由平方的非负性求出的度数，再利用三角形内角和算出的度数，最后根据特殊角余弦值得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵，内角和为， ∴ ∴ ∴ 故选：A． ◆题型5 比较三角函数值的大小 17．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 18．比较大小（用＜连接），，，__． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，熟练掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．利用互余的角的三角函数关系进行转化，同时掌握即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 19．一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：    第一步     第二步       第三步 (1)比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”），原解题过程在第__________步开始出现错误； (2)根据（1）的分析，计算：． 【答案】(1)，三 (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的运算法则即可解答； （2）代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：比较大小：，原解题过程在第三步开始出现错误； 故答案为：，三； （2）解： ． 20．（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______； ⑤_______． 猜想：已知，则_______； （2）如图，在中，，请根据提示，利用面积方法验证结论． 【答案】（1）①=；②=；③=；④=；⑤=；猜想：=； （2）证明：图1中， ∵， ∴， 又∵， ∴； 图2中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据计算器计算即可得出结论； （2）根据三角函数定义可得，由，可求；再根据锐角三角函数定义可得，可求，可求，比较即可得出结论． 【详解】（1）①=； ②=； ③=； ④=； ⑤=． 猜想：已知，则=； （2）略 【点睛】本题考查计算器求值比大小，锐角三角函数定义，从三角形面积不同算法，得出是解题关键． ◆题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 21．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 22．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 23．若α为锐角，且，则m的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围. 【详解】α是锐角，且且， 则有0＜＜1， 解得， ＜m＜ . 故答案为 ＜m＜ . 【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键. 24．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． ◆题型7 利用同角三角函数关系求值 25．如图：中，，． (1)尺规作图：请在图1作出边的垂直平分线交于，连接，并作出过点的直线交线段于点，使点关于直线的对称点恰好落在边上． (2)若，请求出的面积（直接写答案）．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)如图所示， (2) 【分析】（1）第一步，根据尺规作图，作边的垂直平分线交于，连接， 第二步，根据尺规作图，作的角平分线，交于点，即直线，作出点关于直线的对称点； （2）可证得是等腰直角三角形，由对称的性质可知，是边上的高，根据简单的三角函数，计算出，即可得到的面积． 【详解】（1）解：第一步，作边的垂直平分线交于，连接， 第二步，作的角平分线，交于点，即直线，作出点关于直线的对称点； 图略 （2）解：∵的垂直平分线交于， ∴， ， ， ∴， ∴， 在中，，，， 连接， ∵点关于直线的对称点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 26．如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t． (1) ______（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在内部时，求t的取值范围； (3)连结，则的最小值为______； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意可得出答案； （2）当点Q在上时，与点P重合，此时，求出，则可得出答案； （3）取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小，由勾股定理可得出答案； （4）分两种情况，当点Q在三角形内部时，当点Q在三角形外部时，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合）， ∴， 故答案为：； （2）当点Q在上时，与点P重合，此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在内部时，t的取值范围是； （3）∵， ∴点Q在以为直径的半圆上运动， 取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小， ∵， ∴． ∴的最小值为； 故答案为：； （4）当点Q在三角形内部时， 过点A作于点D， 则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在三角形外部时， 过点A作于点N，同理可得， ∴． 综上所述，t的值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 27．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 28．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． ◆题型8 互余两角三角函数的关系 29．计算: 【答案】2 【分析】先将转化为，再代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 30．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 31．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 32．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． ◆题型9 三角函数计算综合 33．如图，在中，，，，为的中点，为上一点，连接，交于点，若，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，由可得，得到，再用三角函数解 求出相关线段长度，最后在中，由勾股定理得代入即可． 【详解】解：如图①，过点作交于点，过点作交于点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵，， 在中，，， 为的中点，， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查了中位线定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 34．如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 35．阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 【答案】(1)成立， 理由如下：∵， ∴， ∴； (2)，，， (3) 【分析】本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用． （1）根据三角函数的定义得到于是得到结论； （2）过点C作于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作于H，可证，即可得到结论； （3）把，，，代入，即可求得的长度． 【详解】（1）略 （2）在锐角中，，，， 过点C作于D， ∵在和中，， ∴，． ∴，． ∴． 同理，过点A作于H，可证， ∴， 故答案为：；；； ； （3），，，代入， ，即， ． 36．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． (2)这片区域的面积约为平方米 (3) ，或． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 综合攻坚·知能拔高 1．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由非负数的性质求得，，利用特殊角的三角函数值求得，，进而可得是等边三角形． 【详解】解：由得，， 解得，， ∴，， ∴，则， 所以是等边三角形． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当方程有两个相等实数根时，判别式，据此求出的值，再结合特殊角的三角函数值即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得， ∵为锐角， ∴， 故选D． 3．在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用非负数相加和为0则每一项都为0，求出和的度数，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，， ∵ 在中，，， ∴，， ∵ 三角形内角和为， ∴. 4．计算：______． 【答案】7 【分析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简，再合并即可． 【详解】解： 5．计算： ________________． 【答案】 【分析】根据，的特殊锐角三角函数值，再代入原式，按照二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 6．计算：________． 【答案】 【分析】原式第一项利用乘方的意义及负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】解： ． 7．如图，矩形中，，，连接，已知，那么的度数约为____． 【答案】/98度 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形内角和定理和正切，过点作于点，则四边形为正方形，得，求出，从而可求出，可得，由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．在锐角三角形中，若满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，绝对值和偶次方的非负性，三角形内角和，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 在锐角三角形中，，， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为________． 【答案】 【分析】由等边对等角，结合三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，设，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由特殊角的三角函数值可得，可得，即可得的值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查含角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质，特殊角的三角函数值，求角的正切值． 10．计算： 【答案】 【详解】解： ． 11．计算： 【答案】 【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【分析】先利用化为同分母、完全平方公式、平方差公式化简，利用算出的值，代入化简结果即可求出原式的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原分式分母不为，原分式有意义， 原式． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】，－2 【分析】先计算括号内，再将除法化为乘法，分别因式分解后约分，根据平方的非负性和特殊三角函数值求得x和y，代入计算即可． 【详解】解：原式= = = = =， 当时，且， 解得， 将代入， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，平方的非负性，特殊三角函数值．注意在约分时要先化为乘法才能约分． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 锐角三角函数的计算题 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数的计算题 题型1 特殊角三角函数值的混合运算 题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 比较三角函数值的大小 题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 题型7 利用同角三角函数关系求值 题型8 互余两角三角函数的关系 题型9 三角函数计算综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数的计算题 ◆题型1 特殊角三角函数值的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． ◆题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简再求值：，其中． ◆题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 10．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 11．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 12．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 13．若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．已知α为锐角，且，则α等于____． 16．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 ◆题型5 比较三角函数值的大小 17．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 18．比较大小（用＜连接），，，__． 19．一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：    第一步     第二步       第三步 (1)比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”），原解题过程在第__________步开始出现错误； (2)根据（1）的分析，计算：． 20．（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______； ⑤_______． 猜想：已知，则_______； （2）如图，在中，，请根据提示，利用面积方法验证结论． ◆题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 21．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 22．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 23．若α为锐角，且，则m的取值范围是______________． 24．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． ◆题型7 利用同角三角函数关系求值 25．如图：中，，． (1)尺规作图：请在图1作出边的垂直平分线交于，连接，并作出过点的直线交线段于点，使点关于直线的对称点恰好落在边上． (2)若，请求出的面积（直接写答案）．（如需画草图，请使用备用图） 26．如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t． (1) ______（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在内部时，求t的取值范围； (3)连结，则的最小值为______； (4)当时，直接写出t的值． 27．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 28．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． ◆题型8 互余两角三角函数的关系 29．计算: 30．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 32．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． ◆题型9 三角函数计算综合 33．如图，在中，，，，为的中点，为上一点，连接，交于点，若，则线段的长度为______． 34．如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 35．阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 36．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 综合攻坚·知能拔高 1．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（） A． B． C． D． 3．在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．计算：______． 5．计算： ________________． 6．计算：________． 7．如图，矩形中，，，连接，已知，那么的度数约为____． 8．在锐角三角形中，若满足，则_____． 9．如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为________． 10．计算： 11．计算： 12．先化简，再求值：，其中． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 15．先化简，再求值：，其中满足方程． 1 / 14 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