专题01 锐角三角函数12大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以12类题型系统覆盖锐角三角函数全考点，从定义应用到综合构造，逻辑递进培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角的正弦值|4题|结合直角三角形、矩形、中点等基础图形|从三角函数定义出发，强化对边比斜边的直接应用| |已知正弦值求边长|4题|涉及平行四边形、菱形、折叠等变式|通过方程思想实现三角函数值与边长的转化| |解直角三角形及综合|8类44题|含非直角三角形构造、新定义、辅助线添加|从基本直角三角形到复杂图形，构建“定义-转化-建模”的解题链条，培养空间观念与运算能力|

专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1 求角的正弦值 题型2 已知正弦值求边长 题型3 求角的余弦值 题型4 已知余弦值求边长 题型5 求角的正切值 题型6 已知正切值求边长 题型7 直接解直角三角形 题型8 解非直角三角形 题型9 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型10 解直角三角形的新定义问题 题型11 添加辅助线解直角三角形 题型12 利用图形求特殊角的三角函数值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1 求角的正弦值 1．如图，在中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵中，，，， ． 2．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 3．在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，设，再得出，进而在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，再根据锐角正弦的定义计算的正弦值． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ， ， ，即是直角三角形， ∴， ∴． 4．与按如图所示位置放置，已知，，点分别是边的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由中位线的判定与性质得到长度，在中，由正弦函数值定义代入线段长计算即可． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∵， ， 在中，，，， ∴． ◆题型2 已知正弦值求边长 5．如图，中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于D，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过A作于D，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 6．在中，为边上的中点，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值即可得出答案； （2）根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴. 又∵， ∴. 设，则. 在中， ， 则. （2）解：∵为斜边上的中点， ∴， ∴. 则， ， ∴. 7．如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若 ，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴．v (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，过 C 作于H，得出，再由平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 过 C 作于H． 在中， ，， ∴， ∴四边形的面积：． 8．如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． ◆题型3 求角的余弦值 9．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， 由勾股定理可得：，， ． 10．如图，在中，，，，点E在上，将沿折叠，点B恰好与点C重合，则________，的值为________． 【答案】 80 / 【分析】先求出的度数和的长，再得出，求出的度数和的长，则可得的长，然后根据角的和差和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴，，， ∴，， ∴在中，． 11．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 12．如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接， (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形； (2) 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的应用，关键是利用矩形的对边平行性质证明三角形全等，进而得到平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定菱形，同时结合勾股定理和三角函数求解线段比例． （1）先根据矩形的性质得到，从而得到内错角，再结合是中点的条件，证明，得到，结合可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可完成证明． （2）设菱形的边长，则可表示出，在中，利用勾股定理建立方程，解方程求出的值，进而得到的长度，最后在中，根据余弦的定义计算出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴，则． 在中，， 由勾股定理得：，则． 解得， ∴． 在中，． ◆题型4 已知余弦值求边长 13．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据余弦的定义得出与的比值，设未知数后利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 14．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)． 【分析】（）证明，，得四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （）由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后由勾股定理求出 的长即可； 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 16．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键： （1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ◆题型5 求角的正切值 17．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 【答案】1 【分析】连接，由网格可知：，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在正方形中，连接、，相交于点O，E为中点，连接，则的值为____． 【答案】 【分析】利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，可得为直角三角形，设参数表示出和的长度，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，（）， 根据正方形的性质，可得对角线，，，， ，． 为中点， ， 在中，． 19．如图，已知正方形的边长为12，点E，F为边的三等分点，与交于点G，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，证明以及，结合解题即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意知，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ∴． 20．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． ◆题型6 已知正切值求边长 21．如图所示，在中，，，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 利用三角函数的定义可以求得，再利用勾股定理可求得． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， ． 故答案为13． 22．如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则 ． 【答案】(1) 证明：∵点D、E、F分别是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，即，根据菱形的判定定理，得到四边形是菱形； （2） 过B作于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，带入数值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过B作于H， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．如图，已知在中，于点，，，． 求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的值为． 24．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且．取，的中点E，F，连接并延长到点G，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， E，F是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形； (2)28 【分析】（1）先根据平行四边形的性质求得，然后根据三角形中位线定理，可证明，，进一步证明，即可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的三线合一性质证明，即可证得答案； （2）先求出，再利用解直角三角形求出的长，即可进一步求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ． 故答案为：28． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理等知识，综合运用矩形、平行四边形、等腰三角形、解直角三角形等知识是解题的关键． ◆题型7 直接解直角三角形 25．如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 26．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 27．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 28．如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）先得出是的中位线，即，再结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合，，得出，运用勾股定理列式计算得，根据中位线的性质以及平行四边形的性质得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 在中，， ∵ ∴． 根据勾股定理，． 由（1）得是的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． ◆题型8 解非直角三角形 29．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 30．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 31．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 32．已知：如图，在△中，，，．求的长． 【答案】． 【分析】过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC． 【详解】解：过点作于． 在△中，，， 设，则． 在△中，，， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决． ◆题型9 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 34．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 35．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 36．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． ◆题型10 解直角三角形的新定义问题 37．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为_____； (2)若，则的正对值的取值范围是_____； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识的综合，理解题意，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据题意得到这个三角形是等边三角形，结合正对值的计算方法即可求解； （2）根据度数的变化，结合定义中的等腰三角形的特点，即可求解； （3）如图所示，过点作于点，根据正切值，勾股定理得到，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对， ∴，即所对底边与腰的比， ∵是等腰三角形，顶角为， ∴这个三角形是等边三角形，即这个三角形三边相等， ∴， 故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， ∴，则的正对值的取值范围是； （3）解：如图所示，过点作于点， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： (1)问题1中的“▲”应填______． (2)将问题2中的剩余部分补充完整． (3)如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 解：∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形及勾股定理的熟练运用是解题的关键． （1）根据题中所给思路，继续完成计算即可． （2）先由勾股定理求得，再由得出答案； （3）设，由，，可得，，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：_______． (2)对于的正对值的取值范围是________． (3)如图2，已知中，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，，则可证明是等边三角形，得到，据此根据定义求解即可； （2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可得到答案； （3）在上截取，过点G作于H，连接，根据余弦的定义得到，设，则，利用勾股定理求出，，再根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当接近时，底边的长接近0，故此时的值接近0， 当接近时，底边的长接近是的长的倍，故此时的值接近， ∵大角对大边， ∴当的长度固定时，越大，则越大， ∴随着的增大，的值也增大， ∴当时，； （3）解：如图所示，在上截取，过点G作于H，连接， ∵， ∴在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，根据新定义，得到“朔望三角形”的三个内角的度数分别为，根据三角形的外角的性质，推出，进而得到，分别求出的长，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”， ∴“朔望三角形”的三个内角的度数分别为， ∵中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接， ∴， ∵为“朔望三角形”， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． ◆题型11 添加辅助线解直角三角形 41．如图，在中，点E，F分别是边，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点分别是边的中点， ． ． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再根据中点的定义得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）过作，垂足为．通过解直角三角形求出，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作，垂足为． ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 42．三角形中有一条重要的角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在中，是的角平分线， (1)请证明： (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明：过点分别作于点，于点， 平分， ， ， 过点作于点， ， ∴； (2) 【分析】（1）过点分别作于点，于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理以及面积思想求证即可； （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，先通过特殊角表示出三条高，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点分别作于点，于点，过点作于点， 平分， ，，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得． 43．如图，在中，，，． (1)求． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作交于，在中，求出的长，在中，求出，即可得出结果； （2）求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：过作交于． ∵，，， ∴在中，， ∴在中，． ．   （2）解：∵在中，， 又∵在中，， ， ， ． 44．如图，在平行四边形中，，分别平分，，点，分别在边，上，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴. (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定得到是平行四边形，进一步可得到结论； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． ◆题型12 利用图形求特殊角的三角函数值 45．如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，、、是量角器边缘上三点，对应的度数分别是，、（），连接、、，若点坐标为过点作轴的垂线，垂足为． (1)______，______（用含或的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系：______（用“”连接）； (3)请借助该图形，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质和判定，以及等边三角形的性质和判定，求角的余弦值，以及其值的大小比较，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 （1）证明是等边三角形，即可求出，根据求解即可． （2）过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为R，根据余弦定义分别表示出、、，再根据其值判断大小即可解题． （3）过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为I，、相交于点Q．根据余弦定义分别表示出、，得到，根据题意证明是等边三角形，推出，最后根据，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， 是等边三角形， ， 过作轴于， 由题知，，且为半径长度为， ， ， ． 故答案为：1，． （2）解：过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为R，如图所示：    有、、， ， 、、， ， ． 故答案为：． （3）解：如图，过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，作轴，垂足为I，,、相交于点Q． 则四边形是矩形，则四边形是矩形，， , 由（2）知，． ． 是等边三角形． ，． ， ，即的值为． 46．知识再现：如图1，在中，，，，的对边分别为a，b，c． ∵， ∴，． ∴． 拓展探究：如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b，c． 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】拓展探究：；解决问题：点A到点B的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 拓展研究：作于点D，于点E，根据正弦的定义得， ，，，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【详解】(拓展探究)证明：作于点D，于点E． 在中，， 同理：， ． ． ． ． ． (解答问题)解：在中， 解得： 答：点A到点B的距离为． 47．（1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． （1）根据题意可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，则，故． （2）仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ，由勾股定理得， ， ， 在中，． （2）如图，构造的直角三角形： 解：如图，在中，，延长至点D，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴． 48．阅读与探究 小宇学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，求的值．小宇同学通过查找资料，获得了以下解题思路.请仔细阅读，并完成探究． 思路：先画出几何图形（如图），虽然不是特殊角，但是的一半，于是在上截取，再连结，构造出等题（如图） 解题过程：在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设， 则，……．    (1)实践应用：按照上面的解题思路，得到的值为______； (2)尝试应用：如图，仿照上述方法，求的值； (3)拓展应用：如图，小宇发现家中的电瓶车在夜晚开启大灯时，大灯照亮地面的宽度为，光线的边缘与地面的夹角分别为，，大灯距离地面的高度为，求照明宽度的长．（精确到）（参考数据：，）    【答案】(1)； (2)； (3)照明宽度的长约为． 【分析】（）根据题意，找出各边长即可； （）通过题中理解推导，找出各边长即可； （）由（）（）可知：，直接计算即可； 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设， 则， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2） 作，交于点，连结， ∴为等腰三角形， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， （3）如图， ∴，， 由（）（）可知：，， ∴，， 则，， ∴（米），（米）， ∴（米） 答：照明宽度的长约为． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 2．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 4．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，，利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，， 同理，在中，由勾股定理可知，， 设， 则在中， 由勾股定理可知，； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即， ∵， ∴， ∴， 5．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点作于点，根据三角函数可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 为的中点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， 在中，． 6．如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，， 如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 【答案】 【分析】作，使，延长到，使，连接，根据等腰三角形的性质可得，再求出，设，则，然后利用正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，作，使，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 8．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___． 【答案】 【分析】根据等边对等角得到，根据，得到，即可证明，得到，，因此．过点B作于点H，通过解直角三角形求出，再由“三线合一”求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 过点B作于点H， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 10．如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上，，连接，交于点，，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点D作的延长线于点H，则，由平行四边形的性质以及三角函数的定义分别求出，，利用勾股定理求出，过点E作，由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可求出． 【详解】解：过点D作的延长线于点H， 则， ∵，平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 过点E作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 11．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以为腰的锐角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且； (2)过点作边的垂线，垂足为．请直接写出线段的长． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 【分析】（1）根据网格特征及等腰三角形的定义取点，连接、，取格点，连接，交于，利用勾股定理及“等积法”得出，，可得，即为所求； （2）根据（1）中所求的值，求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，交于，由网格可知， 由网格可得，，， ∴， 解得：，， ∴， ∴即为所求． （2）解：由（1）可知，，， ∴． 12．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线，分别交、于点、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且四边形的面积为，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）由正切值求出，结合菱形的面积公式得出，，勾股定理求出，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵四边形是菱形 菱形的周长为． 13．在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 【答案】(1) (2) (3)解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【分析】（1）先得出，，再设，求出，的长，进而可得，的长，然后根据正切的定义求解即可； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，，， ∵是中所对的“等截线”， ∴， ∴，， ∴在中，． （2）解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是所列方程的解）或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． （3）略． 14．如图1，平行四边形中，，，，点是边上的点，，连接，，过点作于点． 【基础巩固】 (1)求和的长； 【探究思考】 (2)判断的形状并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，过点作于点，求的长． 【答案】(1)， (2)解：为等腰三角形，理由如下： 过点A作于点G， ∵， ∴设，， ∵， ∴． ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴是等腰三角形； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，解，求出的长即可； （2）过点A作于点G，根据，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而推出，进而得到垂直平分，得到，即可得出结论； （3）延长交的延长线于点K，推出，证明，，得到，，根据线段的和差关系求出的长，进而求出的长即可. 【详解】（1）解：在平行四边形中，， ∴， ∴． 在中，， 设，则， ∴， ∴，； （2）略 （3）解：延长交的延长线于点K， 由（2）知：， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 15．如图，在中，，， ，四边形为矩形，点D，E分别在线段上运动，点G，F在线段上． (1)边上的高_______； (2)当时，求的长度； (3)求矩形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点A作于点K，设与相交于点P，利用三角形面积公式即可求出答案； （2）当时，四边形为正方形，设，则，证明，则，即，解方程即可求出的长度； （3）求出，证明，得到，设，则，得到，，根据矩形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质即可求出矩形面积的最大值． 【详解】（1）解：过点A作于点K，设与相交于点P， ∵， ， ∴ 解得， 即边上的高； （2）解：∵四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，， ∴，，可设， 则， ， ，即， 解得， 即的长度为； （3）解： ， ， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ， ，， ∴矩形面积， ∵， ∴当时，矩形面积取得最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1 求角的正弦值 题型2 已知正弦值求边长 题型3 求角的余弦值 题型4 已知余弦值求边长 题型5 求角的正切值 题型6 已知正切值求边长 题型7 直接解直角三角形 题型8 解非直角三角形 题型9 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型10 解直角三角形的新定义问题 题型11 添加辅助线解直角三角形 题型12 利用图形求特殊角的三角函数值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1 求角的正弦值 1．如图，在中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 4．与按如图所示位置放置，已知，，点分别是边的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． ◆题型2 已知正弦值求边长 5．如图，中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 6．在中，为边上的中点，． (1)求的值； (2)若，求的值． 7．如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若 ，求四边形的面积． 8．如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． ◆题型3 求角的余弦值 9．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点E在上，将沿折叠，点B恰好与点C重合，则________，的值为________． 11．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接， (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值． ◆题型4 已知余弦值求边长 13．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 15．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． ◆题型5 求角的正切值 17．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 18．如图，在正方形中，连接、，相交于点O，E为中点，连接，则的值为____． 19．如图，已知正方形的边长为12，点E，F为边的三等分点，与交于点G，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． ◆题型6 已知正切值求边长 21．如图所示，在中，，，，则______． 22．如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则 ． 23．如图，已知在中，于点，，，． 求： (1)的长； (2)的值． 24．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且．取，的中点E，F，连接并延长到点G，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则的长为______． ◆题型7 直接解直角三角形 25．如图，在中，，，，则中线的长为______． 26．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 28．如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． ◆题型8 解非直角三角形 29．如图，在中，已知，，，求的长． 30．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 31．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 32．已知：如图，在△中，，，．求的长． ◆题型9 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 35．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 36．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． ◆题型10 解直角三角形的新定义问题 37．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为_____； (2)若，则的正对值的取值范围是_____； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值． 38．阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： (1)问题1中的“▲”应填______． (2)将问题2中的剩余部分补充完整． (3)如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 39．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：_______． (2)对于的正对值的取值范围是________． (3)如图2，已知中，试求的值． 40．定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为________． ◆题型11 添加辅助线解直角三角形 41．如图，在中，点E，F分别是边，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 42．三角形中有一条重要的角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在中，是的角平分线， (1)请证明： (2)当，，时，求的长． 43．如图，在中，，，． (1)求． (2)求． 44．如图，在平行四边形中，，分别平分，，点，分别在边，上，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． ◆题型12 利用图形求特殊角的三角函数值 45．如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，、、是量角器边缘上三点，对应的度数分别是，、（），连接、、，若点坐标为过点作轴的垂线，垂足为． (1)______，______（用含或的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系：______（用“”连接）； (3)请借助该图形，求的值． 46．知识再现：如图1，在中，，，，的对边分别为a，b，c． ∵， ∴，． ∴． 拓展探究：如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b，c． 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 47．（1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 48．阅读与探究 小宇学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，求的值．小宇同学通过查找资料，获得了以下解题思路.请仔细阅读，并完成探究． 思路：先画出几何图形（如图），虽然不是特殊角，但是的一半，于是在上截取，再连结，构造出等题（如图） 解题过程：在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设， 则，……．    (1)实践应用：按照上面的解题思路，得到的值为______； (2)尝试应用：如图，仿照上述方法，求的值； (3)拓展应用：如图，小宇发现家中的电瓶车在夜晚开启大灯时，大灯照亮地面的宽度为，光线的边缘与地面的夹角分别为，，大灯距离地面的高度为，求照明宽度的长．（精确到）（参考数据：，）    综合攻坚·知能拔高 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 6．如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 7．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 8．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___． 9．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 10．如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上，，连接，交于点，，则的长为_______． 11．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以为腰的锐角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且； (2)过点作边的垂线，垂足为．请直接写出线段的长． 12．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线，分别交、于点、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且四边形的面积为，求四边形的周长． 13．在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 14．如图1，平行四边形中，，，，点是边上的点，，连接，，过点作于点． 【基础巩固】 (1)求和的长； 【探究思考】 (2)判断的形状并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，过点作于点，求的长． 15．如图，在中，，， ，四边形为矩形，点D，E分别在线段上运动，点G，F在线段上． (1)边上的高_______； (2)当时，求的长度； (3)求矩形面积的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $