专题04 解直角三角形章末18易错+6压轴题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形章末易错点与压轴题，通过18类易错题型和6类压轴题型构建从基础到综合的递进训练体系，强化逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|18类基础题型|概念辨析与基础计算，覆盖三角函数定义、特殊角运算及简单应用|从三角函数概念到解直角三角形方法，形成"定义-性质-应用"的完整逻辑链| |压轴题型|6类综合题型|结合相似、函数、折叠等综合考点，突出实际问题建模与复杂图形转化|以解直角三角形为核心，辐射几何综合与代数融合，体现知识迁移与综合应用|

专题04 解直角三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 易错题型1 正弦的相关概念与求解 易错题型2 余弦的相关概念与求解 易错题型3 正切的相关概念与求解 易错题型4 特殊三角形的三角函数 易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 易错题型9 同角三角函数关系 易错题型10 互余两角三角函数的关系 易错题型11 解直角三角形的相关计算 易错题型12 解非直角三角形 易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型14 仰俯角问题 易错题型15 方位角问题 易错题型16 坡度坡比问题 易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 易错题型18 解直角三角形的其他应用 考点二 解直角三角形章末压轴题型 压轴题型1 解直角三角形压轴 压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型3 解直角三角形与函数综合 压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型5 解直角三角形的应用问题 压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 ◆易错题型1 正弦的相关概念与求解 1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B．2 C． D． 2．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． ◆易错题型2 余弦的相关概念与求解 4．已知在中，，为斜边中线，，，则______． 5．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． ◆易错题型3 正切的相关概念与求解 7．如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 9．如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的值． ◆易错题型4 特殊三角形的三角函数 10．如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 11．某公园计划修建一个花坛，已知花坛的俯视图为四边形，如图所示，，，对角线与相交于点O，施工队有两个补充设计方案，分别为：①；②． (1)请从①②中任选一个作为补充条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 12．尺规作图与证明． 如图，在中： (1)请用尺规作图法，作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，点到边的距离为3，，求直角边的长． ◆易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 13．计算： 14．计算： (1) (2) 15．计算：__________． ◆易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 17．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 18．在中，，则的形状是______． ◆易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 20．若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 21．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° ◆易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 22．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”） 23．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 24．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． ◆易错题型9 同角三角函数关系 25．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 26．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 27．已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 ◆易错题型10 互余两角三角函数的关系 28．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 29．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 30．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． ◆易错题型11 解直角三角形的相关计算 31．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 32．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 33．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，则四边形的面积是______． ◆易错题型12 解非直角三角形 34．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 35．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 36．阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． ◆易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 38．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为_________．    39．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 ◆易错题型14 仰俯角问题 40．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 41．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 42．如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） ◆易错题型15 方位角问题 43．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 44．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 45．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） ◆易错题型16 坡度坡比问题 46．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 47．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 48．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） ◆易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 49．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 50．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 51．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． ◆易错题型18 解直角三角形的其他应用 52．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种直播用的手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，，为悬杆，可以绕点C旋转，且可以伸长或者缩短．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求此时端点D与的水平距离；（答案精确到） (2)调节悬杆，使得，，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长度．（答案精确到个位） 53．项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 54．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点 ，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)点距离地面的高度．（结果精确到 ，参考数据：，，，，，．） 考点二 解直角三角形章末压轴题型 ◆压轴题型1 解直角三角形压轴 55．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 56．如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 57．如图，在中，，，点D在边上，点E在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转α得到． (1)当，且点E与点C重合时， ①如图1，若点F落在上，求的度数； ②如图2，若，连接并延长，交的延长线于点G，求证：； (2)如图3，当，，时，连接，，求的周长． ◆压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 58．如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，经过________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似；（如图2）连接，经过________秒时，． 59．如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． (1)求边的长 (2)当时，求的长； (3)当点在边上，且和相似时，求的长； (4)当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 60．定义：在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”．已知在中，，，过顶点作线段交于点，且是的“相似分割线”，其中是等腰三角形，，则的长为______． ◆压轴题型3 解直角三角形与函数综合 61．如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有两点P、Q，且，使四边形的周长最小，求周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H，将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 63．如图，矩形中，，点P为对角线上一点，射线交线段于点D，射线交线段于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求y关于x的函数表达式； (3)如图，连接，交于点M，若，求点P到线段的距离． ◆压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 64．综合应用： (1)证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为 ； (2)类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 65．如图，点D是斜边的中点，将沿翻折，点B落在点E处，连接，交于点M，交于点N，连接． （1）_______； （2）若点N是的中点，则_______． 66．如图，中，，点E是边上的一个动点，点D是射线上的一个动点；连接，以为斜边，在右侧作等腰，再过点D作，交射线于点H． (1)如图1，若点F恰好落在线段上，且，求出的长； (2)如图2，若点D在延长线上，此时，过F作于点G，与边的交点记为M，当时，求证：． ◆压轴题型5 解直角三角形的应用问题 67．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 68．综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 69．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． ◆压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 70．已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点重合），折痕交边于点． (1)特例感知：如图1，若，是的中点，求证：； (2)变式求异：如图2，若，，，过点作于点，求和的长； (3)化归探究：如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围． 71．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，______，______； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 继续（2）中的探究，如图，当点在上时，已知正方形纸片的边长为，当时，则的长是______． 72．已知中，点为的中点，将沿所在的直线折叠得，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，，则线段，，之间的数量关系为________． (2)如图2，若为锐角，写出此时，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，，求线段的长． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 3．（2026·湖北孝感·一模）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，．若，则（   ） A． B． C． D．2 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 6．（2025·贵州黔西南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 7．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 8．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 9．（2025·山东济南·模拟预测）市政府为实现网络全覆盖，年拟建设基站三千个．如图，在斜坡上有一建成的基站塔，斜坡的坡比为．小芳在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走了米到达处，在处测得塔顶的仰角为．（点、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，），基站塔的高为______米． 10．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，的延长线与的延长线相交于点F，连接．若，，，则的面积为______． 11．（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 13．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 14．（2026·贵州遵义·模拟预测）根据以下材料，完成任务． 材料1 “天下第一壶”位于中国名茶之乡遵义湄潭县天壶公园，建筑由茶壶和底座构成，壶身最大直径24米，是世界上最大的茶壶实物造型，并于2006年5月18日被上海大世界吉尼斯总部授予（中国之最）最大实物造型，被誉为遵义的又一地标性建筑． 材料2 小明画出了建筑的侧面示意图，水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的茶壶，经过测量，从A到C处的斜坡的坡度且米．假设A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内． 材料3 已知在A处测得建筑物顶端E的仰角，在C处测得E的仰角． (1)任务1：求平台到地面的高度； (2)任务2：求建筑物的高度．（结果保留整数） 参考数据：，，，，， 15．（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 易错题型1 正弦的相关概念与求解 易错题型2 余弦的相关概念与求解 易错题型3 正切的相关概念与求解 易错题型4 特殊三角形的三角函数 易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 易错题型9 同角三角函数关系 易错题型10 互余两角三角函数的关系 易错题型11 解直角三角形的相关计算 易错题型12 解非直角三角形 易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型14 仰俯角问题 易错题型15 方位角问题 易错题型16 坡度坡比问题 易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 易错题型18 解直角三角形的其他应用 考点二 解直角三角形章末压轴题型 压轴题型1 解直角三角形压轴 压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型3 解直角三角形与函数综合 压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型5 解直角三角形的应用问题 压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 ◆易错题型1 正弦的相关概念与求解 1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据勾股定理求出，进而根据正弦的定义进行分析解答即可． 【详解】解：如图，利用网格以为斜边构建， 由网格可知，， 由勾股定理得， ∴． 2．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据正弦的意义可得． 【详解】解：在中，对角线与相交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． ◆易错题型2 余弦的相关概念与求解 4．已知在中，，为斜边中线，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，推出，最后利用锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵为斜边中线， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得，则垂直平分，则，证明是直角三角形，解即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 6．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． ◆易错题型3 正切的相关概念与求解 7．如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，由作图可得，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解； 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图可得，， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴在中，， 即． 8．如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 9．如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）菱形判定：四边相等，结合，利用尺规作，构造菱形； (2)菱形对角线互相垂直平分，先利用等腰勾股求高，再借助直角三角形正切定义求解． 【详解】（1）解：已知，菱形满足：①以为圆心、长为半径画弧，②以为圆心、长为半径画弧，两弧交于点；③连接、，四边形即为所求菱形． （2）解：连接交于点． 四边形是菱形， ，． 在中， ， ． ◆易错题型4 特殊三角形的三角函数 10．如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作或作线段的垂直平分线，交点为所求或运用作一个角等于已知角的基本作图求解； （2）根据等腰三角形的性质，特殊角的三角函数求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，．   ，， ．   在中，， ．   又， ． 11．某公园计划修建一个花坛，已知花坛的俯视图为四边形，如图所示，，，对角线与相交于点O，施工队有两个补充设计方案，分别为：①；②． (1)请从①②中任选一个作为补充条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)证明：若选择①． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形； 若选择②．，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）若选择条件① ，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形，又因为已知 ，根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形 是菱形；若选择条件② ，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形，再结合已知 ，依据菱形的定义，能得出四边形 是菱形 （2）根据菱形的性质得出，，，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ． 12．尺规作图与证明． 如图，在中： (1)请用尺规作图法，作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，点到边的距离为3，，求直角边的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）由尺规作图-作一个角的角平分线方法直接作图即可； （2）先根据题意作出图形，由角平分线性质及定义求出相关角度与线段长度，在和中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：过点作，如图所示： 由点到边的距离为3，可知， 由角平分线的性质得， ∵平分，， ∴，， 在中，，即，解得， 在中，，则，即，解得． ◆易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 13．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：__________． 【答案】 【详解】解： ◆易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 17．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．在中，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． ◆易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 20．若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 【答案】/30度 【分析】先将已知等式整理为关于的一元二次方程，解方程得到的可能取值，结合为锐角的条件舍去不符合的解，再根据特殊锐角的三角函数值，即可得到的度数． 【详解】解：将原等式移项得：， 方程两边同乘得：， 因式分解得：， 解得或． 因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去． 当时，根据特殊锐角的三角函数值，可得． 21．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 【答案】A 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． ◆易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 22．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了互余两角的三角函数的关系以及锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．本题通过正弦和余弦的互余关系转换角度，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴，即 故答案为：． 23．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 24．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． ◆易错题型9 同角三角函数关系 25．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 26．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 27．已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数，根据是关于x的方程的两根，可得，结合，可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 又， ． 故选C． ◆易错题型10 互余两角三角函数的关系 28．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 29．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 【答案】（1）1 （2）∵在中，是直角， ∴，， ∴． （3） 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案； （2）根据正切的定义即可得结论； （3）根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2） 略 （3） ． 30．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. ◆易错题型11 解直角三角形的相关计算 31．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 【答案】(1)； (2)； 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，，， ，． 32．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 33．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，则四边形的面积是______． 【答案】(1)证明：在平行四边形中， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】根据平行四边形性质得出，根据等量减等量差相等，得出，从而证明四边形是平行四边形；先证明平行四边形是菱形，根据三角函数求出，求出，从而求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 且， ，， 在中，，， ， ， ． ◆易错题型12 解非直角三角形 34．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1) 射线为所求． (2) 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M； （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 35．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 36．阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 【答案】(1)②④； (2) 证明：延长至点，使得，连接． ∵四边形是邻对等四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义； （2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明； （3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度． 【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义， ①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； ③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； 故答案为：②④． （2）略 （3）解：∵四边形是邻对等四边形， ∴由（2）的结论可知，且． ， ． 在中，， ． 过点作于点， 在中，，， ． 在中，，，， ． ◆易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 38．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为_________．    【答案】 【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数． 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 39．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. ◆易错题型14 仰俯角问题 40．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 41．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 42．如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 ◆易错题型15 方位角问题 43．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 44．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 【答案】(1)小时 (2)海里， 海里 【分析】（1）两船分别沿东北、西北方向行驶，则，，可得为直角三角形，设航行时间为,用含的式子表示两船的航程，即，的长，已知的长，使用勾股定理，可求出值，即可得到两船位于,处的航行时间． （2）用两船的航行速度乘以两船的航行时间的具体值，得到两船航程，即的长度． 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则， ∵， ∴为直角三角形， 设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即， 和平号航程： 海里，即， 已知， 由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去）， 所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． 45．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． ◆易错题型16 坡度坡比问题 46．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 47．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 48．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 ◆易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 49．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 50．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线，构造含的直角三角形，因为已知、长度和的度数，所以可利用三角函数求出到的垂直距离；因为与地面平行，且车轮半径已知，所以到地面的距离等于车轮半径，将到的距离加上到地面的距离，即可得到到地面的距离； （2）先根据腿长计算出舒适状态下到的垂直距离，再利用三角函数求出的长度，结合原有的长度作差，即可得到的长度． 【详解】（1）过点作于点， ∵，， ∴， ∵、平行于地面，且点到地面的距离等于车轮半径， ∴在中，， ∵， ∴， ∴到地面的距离为：； （2）由题意，舒适高度到的距离为： 设调整后， ∴在中，， ∴， 且， ． 51．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． ◆易错题型18 解直角三角形的其他应用 52．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种直播用的手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，，为悬杆，可以绕点C旋转，且可以伸长或者缩短．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求此时端点D与的水平距离；（答案精确到） (2)调节悬杆，使得，，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长度．（答案精确到个位） 【答案】(1)端点与的水平距离约为cm (2) 【分析】（1）过点作于点，先求出的长度，然后在中，根据余弦的定义求解即可； （2）过C作于E，过D作于F，在中，根据余弦的定义求出，根据三角形内角和定理求出，结合已知可求出，在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点． 因为，且共线， 所以． 在中，cm． cm． 答：端点与的水平距离约为cm． （2）解：过C作于E，过D作于F， 在中，， ， ∴，， ∵， ∴， 又点D到地面的距离为， ∴， 在中，， ∴， 答：的长度为． 53．项目式学习 【项目主题】为班级图书角设计创意书架． 【项目背景】在世界读书日来临之际，“综合与实践”小组的同学为班级图书角设计创意书架，开展图书共享活动． 【实践工具】美工纸、卷尺、木工板、铅笔、乳胶、螺钉等． 【设计说明】如图1，整个书架由两部分组成，下面是底柜（由矩形和三角形储物柜组成），上面是四个形状大小相等的矩形书橱，用来摆放班级共享图书． 【解决问题】 (1)抽象出该书架部分截面示意图如图2所示，其中，， ，，．矩形底座的边，求书架的高度（点到的距离）．（参考数据：，，） (2)已知张木工板正好可以加工个底柜或个矩形书橱，个底柜和个矩形书橱刚好组合成个书架．现有张木工板，则用多少张木工板加工底柜，多少张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架？ 【答案】(1)书架的高度约为 (2)用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 【分析】（1）如图，过作于，过作于，交于，分别求解，，过作于，过作交的延长线于，分别求解，，再进一步求解即可． （2）设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 过作于，过作交的延长线于， ∴，， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴书架的高度约为． （2）解：设用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架， ∴， 解得：， ∴， ∴用张木工板加工底柜，张木工板加工书橱，才能使得加工成的底柜和书橱刚好全部组合成书架． 54．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点 ，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)点距离地面的高度．（结果精确到 ，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2)点距离地面的高度约为 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）过点作交 的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ； （2）解：如图，过点作交 的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 考点二 解直角三角形章末压轴题型 ◆压轴题型1 解直角三角形压轴 55．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 56．如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点A作于点H，根据三角形的中位线性质得出，，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 57．如图，在中，，，点D在边上，点E在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转α得到． (1)当，且点E与点C重合时， ①如图1，若点F落在上，求的度数； ②如图2，若，连接并延长，交的延长线于点G，求证：； (2)如图3，当，，时，连接，，求的周长． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵由旋转有， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用等边对等角，再通过角度和差计算即可求得的度数； ②由平行的性质得出，从而确定，利用等腰三角形三线合一及旋转的性质得到，进而求得的度数，进一步推出的度数，最后根据等边对等角即可证得结论； （2）过点F作交于点K，取的中点G，连接，过点G作交于点H，由已知条件确定出是等边三角形，利用三角形内角和定理和平角定义推出，证明，再利用解直角三角形和勾股定理推出，角度和差关系与三角形外角的性质推出，证明，利用勾股定理求出的长度，最终求出的周长． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵由旋转得，， ∴， ∴． ②略 （2）解：如图，过点F作交于点K，取的中点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，点G为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． ◆压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 58．如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，经过________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似；（如图2）连接，经过________秒时，． 【答案】 或 【分析】对于第一空，分两种情况：和，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可；对于第二空，过P作于点M，，交于点N，则有，解直角三角形得到，，证明，得出，代入计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴由勾股定理得， ①当时，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； 综上所述，经过秒或秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似； 过P作于点M，设，交于点N，如图所示： 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴经过秒时，． 59．如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． (1)求边的长 (2)当时，求的长； (3)当点在边上，且和相似时，求的长； (4)当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)的长为15 (2)的长为5 (3)的长为6或 (4)的长为或或 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）根据，求出的长，进而求出的长即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）分，和，三种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当和相似时，分两种情况， ①时，则， ∴； ∴； ②当时，则， ∴， ∴； （4）解：当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，设交于点，分三种情况： ①，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴； ③，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或. 60．定义：在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”．已知在中，，，过顶点作线段交于点，且是的“相似分割线”，其中是等腰三角形，，则的长为______． 【答案】或 【分析】根据定义，分三种情况讨论为等腰三角形的可能，结合 得到角的关系，排除不存在的情况，再利用直角三角形的性质计算的长度． 【详解】∵， ∴， 设， 则，，， 分三种情况讨论： 1.当时，如图， 即：，即，解得，即， 在中，，，， ∴，符合题意； 2.当时，，即，解得，不符合三角形内角和定理，舍去； 3. 当时，如图， 即：，则：，解得， 过点作于，在中，，， ∴，即：， 在中，， ∴， ∴，符合题意． 综上，的长为或． ◆压轴题型3 解直角三角形与函数综合 61．如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的对称性可得，即，当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长，由图中此时，即，在菱形中点E是边的中点，再说明，可得，当点F和点B重合时，此时的最大值为6，可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵菱形中点A与点C关于对称， ∴， 即， 当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长， 由图象知此时，即， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴． 当点F和点B重合时，此时的最大值为6，， ∴点Q的坐标为． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有两点P、Q，且，使四边形的周长最小，求周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H，将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标为或或或 【分析】（1）对于，令，则，解得，故点，点A是的中点，则点，再用待定系数法即可求解； （2）作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到P，此时四边形的周长最小，进而求解； （3）分是边、是对角线两种情况，分别利用平移的性质和两点间距离公式即可即可求解． 【详解】（1）解：对于， 令， 则， 解得， 故点， ∵点A是的中点， 则点， 当时， ， 故点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为； （2）解：作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到P，连接，则，此时四边形的周长最小． ∵、， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∴， 设直线交y轴于点D， 令，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴； 将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位向上平移2个单位， ∴，， ∴， ∴； 由点的平移知，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，最小， 此时，四边形的周长为最小， 故四边形的最小周长为； （3）存在，理由： 连接，过点G作轴于点T，则， 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当是边时，若是边， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 故点或； 若是边，， ∴， ∵ ∴，解得（舍去）或， ∴； 当是对角线时，与是边，， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，菱形的性质，图形的平移、轴对称，分类讨论，是解题的关键． 63．如图，矩形中，，点P为对角线上一点，射线交线段于点D，射线交线段于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求y关于x的函数表达式； (3)如图，连接，交于点M，若，求点P到线段的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作于F，易知，，再利用，，建立方程求出、，进而求出，即可得解； （2）作于可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果； （3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：过P作于点F， ， 为等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ； （2）解∶ 如图，作于F， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ； （3）解∶如图，连接，交于G， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P到线段OC的距离为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． ◆压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 64．综合应用： (1)证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为 ； (2)类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ②1 (2)结论：． 理由：如图2中，过G作于． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①由正方形的性质得，．所以，又知，所以，于是,可得； ②证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）结论：，如图2中，过G作于M．证明：即可解决问题． （3）如图中，作交的延长线于M．利用相似三角形的性质求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①略； ②结论：． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，作交的延长线于．延长、相交于K， ∵，， ∴， ∴， 假设，，则， 由折叠性质得，，， ∴， 由（2）知，又， ∴， 在中，由得， ∴或（舍去）， ∴，,，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 65．如图，点D是斜边的中点，将沿翻折，点B落在点E处，连接，交于点M，交于点N，连接． （1）_______； （2）若点N是的中点，则_______． 【答案】 【分析】（1）根据中点和翻折的性质，得出，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出，即可得解； （2）先证明，得到，再证明，得到，则，再通过证明证明出，得到，最后求角的正弦值即可． 【详解】解：点D是斜边的中点， ， 翻折， ， ，， ， ， ，即． （2）翻折， 垂直平分， ， ， ， 点N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ． 66．如图，中，，点E是边上的一个动点，点D是射线上的一个动点；连接，以为斜边，在右侧作等腰，再过点D作，交射线于点H． (1)如图1，若点F恰好落在线段上，且，求出的长； (2)如图2，若点D在延长线上，此时，过F作于点G，与边的交点记为M，当时，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图2，过点D作交其延长线于点N， ∵， ， ， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， 四边形时矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，解直角三角形求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）如图2，过点D作交其延长线于点N，证明，利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴． （2）略 ◆压轴题型5 解直角三角形的应用问题 67．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 68．综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 【答案】(1)直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 (2)桶盖边缘点M掀起的高度是厘米 【分析】（1）过点 作于点 ，在中利用 求出，即桶盖打开后最大间隙高度，与篮球直径 比较即可判断． （2） 踏板下压 后，过作 于 ，过点 作 于点Q，利用求出 点上升量，再由，在中用勾股定理求，最后利用的比例关系求出点掀起高度． 【详解】（1）解：如图（1），过点M作于点Q，则 当脚踩踏板垃圾桶盖打开最大张角时， 在中， ∵7号篮球的直径为24.6cm 且 ∴直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 （2）解：如图（2），过点作 于点C，过点 作 于点Q， 则 ∴ ∵点A的对应点是 厘米， 在中， 厘米， 厘米， 厘米 解得：， ∵当圆珠B上升到点时，点H上升到点 过点作 于点N，则 在中， 厘米，厘米 ， 厘米 答：桶盖边缘点M掀起的高度是厘米． 69．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． 【答案】(1)点离水平地面的高度约为 (2)； (3)土坑的深度约为 【分析】（1）连接，过点作交于，交于，则，根据三角形的外角的性质得出，根据等角对等边可得，解，即可求得的长； （2）根据光的反射原理得出，得出，，进而根据，即可求解； （3）证明，得出，解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于，交于，则． ，， ． 在中， 即点离水平地面的高度约为． （2）解：如图， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ． （3）解：由题意得四边形是矩形， 则， 在中，， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 即土坑的深度约为． ◆压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 70．已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点重合），折痕交边于点． (1)特例感知：如图1，若，是的中点，求证：； (2)变式求异：如图2，若，，，过点作于点，求和的长； (3)化归探究：如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明：，， 是等边三角形， ，， 由折叠得， ∵是的中点， ∴， ， 是等边三角形， ． (2)；的值为或 (3)当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置 【分析】（1）先判定是等边三角形，再利用折叠的性质证明是等边三角形，等量代换即可； （2）先利用勾股定理求，证明，根据对应边成比例求出，再根据点落的位置分情况讨论，利用勾股定理求，进而求； （3）过点作于，过点作于，先用勾股定理求出，由折叠可设，利用三角函数得到等量关系，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 将沿过点的直线折叠， 情形一：当点落在线段上的点处时，如图中， ， ， ， ； 情形二：当点落在线段上的点处时，如图中， 同法可证， ， 综上所述，满足条件的的值为或． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于． ，， ，， ， 当时， 设， 则， ， ∴， ， ， 观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置． 71．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，______，______； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 继续（2）中的探究，如图，当点在上时，已知正方形纸片的边长为，当时，则的长是______． 【答案】(1) (2)①，； ②结论：． 理由：四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解 （2）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得； （3）由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：对折矩形纸片， ，， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ， ， （2）解：①由（1）可知， ， ， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， ②略 （3）解：由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ． 72．已知中，点为的中点，将沿所在的直线折叠得，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，，则线段，，之间的数量关系为________． (2)如图2，若为锐角，写出此时，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，，求线段的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) ，证明如下： 连接， 由翻折的性质得，，，， 点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及翻折的性质得出，再利用三角函数求出，，即可得出； （2）连接，根据等腰三角形和平行线的性质得出，即可得出，最后根据即可得出结论； （3）连接，过点作于，利用三角函数求出和，再根据勾股定理求出，同（2）证出，即可解答． 【详解】（1）解：，点为边的中点， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， ， ，， 在中，， ∵，， （或或等等，答案不唯一）； （2）略 （3）解：连接，过点作于， ，， ， ，， ， 在中，， 由翻折的性质得，，，， 点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接格点、，根据网格特征结合勾股定理得出，，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接格点、， ∵正方形网格的边长为， ∴，，，， ∴，是直角三角形，， ∴， ∴． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出，通过同角的余角相等，证得，最后在中计算即可求解． 【详解】解：连接，    ∵矩形，， ∴设，， ∵是中点， ∴， ∴ ∵，， 又∵折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·湖北孝感·一模）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 6．（2025·贵州黔西南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 7．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ，， ， ． 9．（2025·山东济南·模拟预测）市政府为实现网络全覆盖，年拟建设基站三千个．如图，在斜坡上有一建成的基站塔，斜坡的坡比为．小芳在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走了米到达处，在处测得塔顶的仰角为．（点、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，），基站塔的高为______米． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点，根据坡度及勾股定理求出，，设，则，，根据等腰直角三角形的性质可得，则，再根据三角函数求出，进而求出米，米，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点，于点， 斜坡的坡比为， ，即， 设，则， 在中，米，， ， 解得（负值已舍去）， ，， 设，则，， ，， ，， ， ， 解得， 米，米， 米， 故答案为：． 【点睛】正确作出辅助线，理解坡比的定义，以及应用三角函数、勾股定理解方程是解题的关键． 10．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，的延长线与的延长线相交于点F，连接．若，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】解直角三角形求出，，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 【答案】， 【分析】在中，，，延长至点，使，连接，得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴． 13．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 【答案】(1)学校与公园之间的距离约为270米； (2)学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的垂线，进而求出的内角，过C点作的垂线构造直角三角形，利用特殊角、的三角函数值求解． （2）先计算点A到直线的垂直距离，与噪音半径比较；若受影响，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点． 由题意得，． ∵，， ∴，， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴（米）． 答：学校与公园之间的距离约为270米． （2）如图，过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）知，在中，，， ∴，， ∴学校在大型货车的噪声污染范围内． 设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则 ∵， ∴， ∴米． 答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 14．（2026·贵州遵义·模拟预测）根据以下材料，完成任务． 材料1 “天下第一壶”位于中国名茶之乡遵义湄潭县天壶公园，建筑由茶壶和底座构成，壶身最大直径24米，是世界上最大的茶壶实物造型，并于2006年5月18日被上海大世界吉尼斯总部授予（中国之最）最大实物造型，被誉为遵义的又一地标性建筑． 材料2 小明画出了建筑的侧面示意图，水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的茶壶，经过测量，从A到C处的斜坡的坡度且米．假设A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内． 材料3 已知在A处测得建筑物顶端E的仰角，在C处测得E的仰角． (1)任务1：求平台到地面的高度； (2)任务2：求建筑物的高度．（结果保留整数） 参考数据：，，，，， 【答案】(1)平台到地面的高度为25米； (2)建筑物的高度约为米． 【分析】（1）过点C作于点M，利用斜坡的坡度，结合勾股定理即可解答； （2）延长交于点N，设米，则米，分别在和中，由三角函数的定义求出，利用，求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得（负值舍去）， ∴米， 答：平台到地面的高度为25米； （2）解：延长交于点N， ∵， ∴， 则四边形是矩形， ∴米，， 设米，则米， ∵（米）， ∴米， 在中，，则（米）， 在中，，则米， ∴米， ∴， 解得米， ∴米， 答：建筑物的高度约为米． 15．（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【答案】86m 【分析】利用几何图形中的边角关系，求出倾斜式停车位的水平间距以及单个倾斜车位的水平投影长度，再通过“两侧停车区总长度相等”这一条件建立方程，求出倾斜车位和垂直车位的数量，进而计算出空地的总长度，最后根据“至少”的要求进行取整． 【详解】解：如图，过点作于点T， 由，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设倾斜车位有x个，则垂直车位有个， 由两侧停车区总长度相等，得：， 解得：， ∴垂直停车位有34个，停车区长度为：， 倾斜停车区长度为：， ∴空地长度应至少设计为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $