专题02 解直角三角形的计算题9大题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形计算，以9类基础题型为核心，覆盖从特殊角三角函数值运算到综合应用，构建从概念到性质再到综合的递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9题型（每题型3-4题）|含特殊角三角函数值混合运算、化简求值、三角形形状判断等基础题型|从特殊角三角函数值概念出发，通过运算深化性质理解，建立同角、互余关系应用逻辑| |综合攻坚·知能拔高|15道综合题|结合代数化简、几何图形分析的中档题|整合基础运算与几何推理，体现知识迁移，培养应用意识|

专题02 解直角三角形的计算题 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的计算题 题型1 特殊角三角函数值的混合运算 题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 比较三角函数值的大小 题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 题型7 利用同角三角函数关系求值 题型8 互余两角三角函数的关系 题型9 三角函数计算综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的计算题 ◆题型1 特殊角三角函数值的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． ◆题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 5．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 6．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 7．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵ ， ∴原式． 8．计算、化简求值 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时，原式． ◆题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 10．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 11．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 12．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 13．若，则________． 【答案】7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 14．在中，若，满足 则的度数为________． 【答案】/90度 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 15．已知为锐角，当时，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及代数式求值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据已知等式求出的值，再由为锐角确定的度数，最后将的值代入所求表达式，利用特殊角的三角函数值计算结果． 【详解】解：， ， ， 为锐角， ， ． 16．在中，，求的度数． 【答案】 【分析】根据非负性，确定角的三角函数值，由特殊角的三角函数值确定的角的大小，再利用三角形内角和计算即可． 本题考查了实数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． ◆题型5 比较三角函数值的大小 17．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 18．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 19．比较大小（用＜连接），，，__． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，熟练掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．利用互余的角的三角函数关系进行转化，同时掌握即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 20．以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ◆题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 21．若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 22．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 23．锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 24．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． ◆题型7 利用同角三角函数关系求值 25．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 26．我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的基本关系及新定义运算，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再代入题目规定的公式计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， 故选：A． 27．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 28．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． ◆题型8 互余两角三角函数的关系 29．已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 30．已知为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： 31．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及互余角的三角函数关系，熟练掌握“直角三角形中，两锐角互余，且一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是解题的关键． 利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合互余角的三角函数关系（）来求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 32．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： ◆题型9 三角函数计算综合 33．规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题目给出的规定公式，逐一化简每个结论，即可判断出正确结论的个数． 【详解】解：① 由规定， 可得，故①正确； ② ， 根据， 可得，故②正确； ③ ， 根据，以及，， 可得： ，故③正确； ④ ， 根据， 代入得： ，故④正确； 综上，四个结论都正确，正确结论个数为． 34．我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算与锐角三角函数的基本关系，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再对照题目给出的公式代入计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵根据规定，α为锐角时，， 令，α为锐角，可得． 故选：A． 35．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正割的定义，在中，，．由点 D 是中点，点 E 在 上，且，然后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图：在中，，设，则． ∵点 D 是 中点， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理得， ∴，化简得：． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 将代入可得：． 将代入得，整理得． 设，则． 代入得，即． 两边平方并整理得， 令，得，解得（舍去负根）， ∴，即 ． 故答案为：． 36．如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 综合攻坚·知能拔高 1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 则， 而， 故， ∵， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出的长是解题关键． 6．（25-26九年级上·北京·课后作业）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系，根据特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 7．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在中，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据正切函数的定义，可用表示，再根据勾股定理求得，最后利用余弦函数的定义求解． 【详解】解：在中，，， 即， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是方程的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________． 【答案】 【分析】将代入方程，得出的值，从而得出的度数，进而的解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查三角函数值与一元二次方程根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的意义以及特殊角三角函数值是解本题的关键． 10．（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知0，则的值为___． 【答案】1 【分析】由分式为0的条件，推导出且，求得．对进行化简，得，将代入其中，得，进而求出． 【详解】解：， 且． 且． 且． 且． ． ， ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系，熟练掌握分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系是解决本题的关键． 11．（26-27九年级上·北京·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入特殊三角函数值，再计算即可； （2）先计算绝对值、特殊三角函数值、零指数幂和算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】(1)如图： (2)如图： (3)如图： 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，则， 此时． （2）解：如图②所示， ，． ． （3）解：如图③所示， ，， ． ． 14．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知:，， ∴原式． 15．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 【答案】(1)锐角三角形 (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，三角形的分类． （1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴， ∴， ∴是锐角三角形； （2）解：原式 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的计算题 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的计算题 题型1 特殊角三角函数值的混合运算 题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 比较三角函数值的大小 题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 题型7 利用同角三角函数关系求值 题型8 互余两角三角函数的关系 题型9 三角函数计算综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的计算题 ◆题型1 特殊角三角函数值的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)． ◆题型2 与特殊角三角函数值有关的化简求值 5．先化简，再求代数式的值，其中． 6．先化简，再求代数式的值，其中． 7．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 8．计算、化简求值 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． ◆题型3 根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 12．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 13．若，则________． 14．在中，若，满足 则的度数为________． 15．已知为锐角，当时，求的值． 16．在中，，求的度数． ◆题型5 比较三角函数值的大小 17．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．比较大小（用＜连接），，，__． 20．以“<”连接以下五个值，，，，：_____． ◆题型6 根据三角函数值判断锐角取值范围 21．若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 22．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 23．锐角满足，且，则的取值范围为___________． 24．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． ◆题型7 利用同角三角函数关系求值 25．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 26．我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 27．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 28．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． ◆题型8 互余两角三角函数的关系 29．已知α为锐角，，则____． 30．已知为锐角，且，则_______． 31．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． ◆题型9 三角函数计算综合 33．规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（    ） A． B． C． D．3 35．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是______． 36．如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 综合攻坚·知能拔高 1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 5．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·课后作业）计算：______． 7．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在中，，，则的值为_______． 8．（25-26九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是______． 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是方程的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________． 10．（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知0，则的值为___． 11．（26-27九年级上·北京·课后作业）计算： (1)； (2)． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 14．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 15．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $