专题04 相似形章末易错压轴题型13易错9压轴（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似形易错点与压轴难点，以题型分类构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|13类（比例线段、黄金分割等）|基础概念辨析、判定性质应用、网格作图|从比例线段、黄金分割等概念生成，到相似多边形、三角形判定与性质推导，再到重心及实际应用| |压轴题型|9类（动点、旋转、最值等）|综合应用、动态问题、新定义探究|以相似三角形为核心，结合几何变换、函数思想拓展，构建模型化解题逻辑链|

专题04 相似形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分三角形两边成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似多边形的性质 题型6 相似三角形的判定 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 题型8 相似三角形的判定综合 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型10 利用相似求坐标 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型12 重心的有关性质 题型13 相似三角形的实际应用 考点二 相似形压轴题型 题型1 黄金分割综合应用 题型2 相似三角形的判定与性质综合 题型3 相似三角形的动点问题 题型4 重心的综合应用 题型5 相似三角形的实际应用综合 题型6 相似三角形的模型问题 题型7 相似三角形中的旋转问题 题型8 相似三角形中的最值问题 题型9 相似三角形中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 ◆题型1 比例线段 1．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 2．已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 3．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 黄金分割 4．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 5．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 6．阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)2 (2)解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． (3)如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 【分析】（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）作线段的垂直平分线，交线段于点O，过点作的垂线，截取，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点； （2）略 （3）证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． ◆题型3 平行线分三角形两边成比例 7．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 8．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 9．如图，在中，，点D为中点，作的垂直平分线，与交于点E，连接，点F为的中点，连接．若，则的长为（） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再证明，利用平行线分线段成比例定理证得为中点，即可求解． 【详解】解：点为中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ∴ 又点为中点，即 ， ． ◆题型4 相似多边形 10．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 11．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 12．如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． ◆题型5 相似多边形的性质 13．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 14．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 15．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． ◆题型6 相似三角形的判定 16．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 17．如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的中垂线交于点即可； （2）根据等边对等角，得到，进而求出，得到，再根据，即可得证. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 18．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 ◆题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 19．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 20．已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．    （1）你添加的条件是 ； （2）根据题目中的条件和添加上的条件证明△ABD∽△ACB． 【答案】（1）∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或，答案不唯一）；（2）见解析 【分析】（1）根据图形得到△ABD与△ACB有一公共角，故添加另一组对应角相等或是添加公共角的两边对应成比例即可； （2）根据条件证明即可. 【详解】（1）∵△ABD与△ACB有一公共角∠A， ∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB， 或∠ADB=∠ABC时，△ABD∽△ACB， 或时，△ABD∽△ACB， 故答案为：∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或，答案不唯一）； （2）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACB； ∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A ∴△ABD∽△ACB； ∵，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理并运用解题是关键. 21．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足与相似的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则可判断； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足与的条件是：①②③⑤，共4个，故选D． ◆题型8 相似三角形的判定综合 22．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 23．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1) 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）略． （2）略． ◆题型9 利用相似三角形的性质求解 25．如图，在与中，，连接，若． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，，即， ∴，即， ∴∽； (2)2 【分析】（1）根据题意易证，得到对应角相等和对应边成比例，进而通过角的和差得到，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证得结论； （2）先根据勾股定理得到，再根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知∽， ∴， ∵， ∴． 26．如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，，结合，得出，进而证明结论即可； （2）根据列出比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ∵， ∴， ． （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在矩形中，，，E是边上的一点（不与点C，D重合），，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，则可证明，再证明即可证明结论； （2）由矩形的性质和勾股定理求出的长，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴，即， ∴． ◆题型10 利用相似求坐标 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，点即为所求：    (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）略 （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于x的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点P在y轴上， ， 如图，在y轴正半轴上取一点P使， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 30．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． ◆题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 32．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 33．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图②中，在上找一点E，使； (3)在图③中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点E即为所求； (3) 如图，点Q即为所求； 【分析】（1）根据矩形对角线互相平分即可解答； （2）如图，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求，利用相似三角形的性质得到，再根据三角形的面积求解即可； （3）取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，在网格上取点E，连接交于点D，即为所求； 理由如下： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为的中线； （2）解：如图所示，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ◆题型12 重心的有关性质 34．两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，然后根据重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍即可求解． 【详解】解：联结并延长交于，联结并延长交于， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴， ∵点、分别是、的重心， ∴，，，，， ∴，即、、三点共线， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴. 35．如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】 【分析】根据重心的性质，可得，再用勾股定理求出，进而得到即可． 【详解】解：点G是的重心， ，则， ， ， ． 36．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1)3；6 (2) (3)4 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； （2）解：∵，， ∴． （3）解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． ◆题型13 相似三角形的实际应用 37．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 38．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 39．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 考点二 相似形压轴题型 ◆题型1 黄金分割综合应用 40．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】/ 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 41．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 42．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)设的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：． 如图2：由折叠的性质可得：； 如图3：由勾股定理可得： 由折叠的性质可得：， ∴， 如图4：， 所以矩形为黄金矩形． (3)四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由如下： 如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∴，整理得：， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值． 【分析】（1）将代入计算、化简即可； （2）利用折叠的性质可得、、，勾股定理可得，再利用线段的和差以及黄金矩形的定义即可解答； （3）如图，连接，设正方形的边长为1，设，则，设，则，利用折叠的性质、勾股定理可得，进而得到四边形的周长为，矩形的周长为，最后求比例即可． 【详解】（1）解：将代入可得：． （2）解：略 （3）解：四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由略． ◆题型2 相似三角形的判定与性质综合 43．如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】①② 【分析】对于①：证明，则，，则，即可证明四边形为平行四边形；对于②：延长交于点，，那么，即可证明；对于③：先证明，同理，则可求，，，再相加即可求解四边形的面积；对于④：先证明，再证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 连接， 由旋转可得，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 同理， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形，故①正确； 延长交于点， ∴ ∴， ∴，即，故②正确； 当时，点共线，共线，共线，共线，如图， ∵由旋转以及矩形可得，， ∴ ∵ ∴，同理 ∴，， ∵ ∴，故③错误； 当四边形为矩形时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 同上可得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，与上式矛盾，故④错误， 综上其中正确结论的序号是①②． 44．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①， 证明如下： 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，， ， 又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ， 同理可得：， ， ∵四边形为矩形， ∴ 又∵，， ∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，） ， 又， ， ，即． ②， 证明如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ， 又，， ， ，， ，即垂直平分， ， ∵在中，由勾股定理得， ∴． (3) 【分析】（1）过点作，，连接，证明即可得出；证明得出，，再在中，利用，即可得出； （2）①过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，先由三角形中位线性质得出，再证明，即可得出，即；②延长，交于点，连接，由得出，，进而得出，在中，由勾股定理得，通过等量代换即可得出； （3）当点与点重合时，点落在点的位置，连接，，证明，可得出点在过点并且垂直于的射线上运动，当点与点重合时，点落在点的位置，所以点的轨迹是线段，作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点，所以当，，三点共线时，取最小值，即为的长度，求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵， ∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点， ∴，， 又∵，， ∴为中点，为中点， ∴，， ∴， ∵，，矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，， （当时，，） ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，， 又∵， ∴， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：， ∴， ， ， 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，， ∵，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即， ∴， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 45．综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)90，相等，是 (2)解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形； (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或2 【分析】（1）首先根据正方形的性质证明，结合可证明，进而证明；证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，易得，可证明，即是等腰三角形； （2）首先证明，结合菱形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，可证明，即是等腰三角形； （3）①作于点，作于点，易得四边形是矩形，证明，，结合相似三角形的性质可得，即可证明结论；②设，则由①得，进而可得，且，，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：略； （3）①证明：略； ②解：设，则由①得， ∵， ∴， 由①可知， ∴， 则， 若，如下图， 则， ∴， 解得（此时，舍去）， ∴； 若，如下图， ∵， ∴， ∴，解得， 此时，舍去； 当时，如下图， 即， ∴ 解得（此时，舍去）， ∴． 综上所述的长为或2． ◆题型3 相似三角形的动点问题 46．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 47．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 48．如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； (3)在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，； (2)关于的函数关系式为； (3)的值为或或． 【分析】（）由，，，根据勾股定理求得，当时，则，此时，由，且，得，求得； （）作于点，可证明，得，求得，即可由，求得关于的函数关系式为； （）分三种情况讨论，一是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则；二是四边形是菱形，且以为对角线，则，所以；三是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则，解方程求出相应的值即可. 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴当时，； （2）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形， 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，则， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，的值为或或． ◆题型4 重心的综合应用 49．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 50．利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由； 四边形是长方形， ，， 由第一次折叠知，点落在边上的点处，折痕为， ， 又， ， 在中，，， ， ， 又由折叠性质知， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形． (2)菱形，； (3) 【分析】（1） 第一次折叠使点落在边上的点处，折痕为，由折叠性质得，结合可知两角均为，从而推出且，再证四边形是矩形且邻边相等即可． （2） 由（1）得，第二次折叠后且，先判定判定四边形为平行四边形，再由邻边相等证得它是菱形，最后以为底、为高求面积． （3）先由折叠与重心性质推出，并证得，设，分别表示构造方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ， 由第二次折叠知，沿对角线折叠后点落在边上的点处， ，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ，，， 菱形的高为， ． （3）解：设与交于点， 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 点、、在同一直线上， ，． 点是的重心，且过点， 为的中点，且， ，． 在和中， ，，， ， ， ， ， 且，即． 由折叠性质，，， ∴，， 又因为 、、、 四点共线，所以 、 分别是点 、 到直线 的垂线段， 已知 ，， 的面积为 利用矩形割补表示的面积为：   ∴ 由完全平方公式可得， ∴或（舍去） ． 51．如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 【答案】4 【分析】延长交于点H，由重心的定义和性质可得，由折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点H， ∵点为的重心， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． ◆题型5 相似三角形的实际应用综合 52．问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3)最小的镜子长为 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度，如图： ∴， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度，如图： ∴， ∴最小的镜子长为． 53．咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 【答案】桥塔的高度为88米 【分析】先证明得，则，再证明，得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ，     ，即， ． ∴桥塔的高度为88米． 54．综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②存在，或． 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得．由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出； （2）由题意得，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导的关系； （3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出； ②由（2）得，同理，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 即， 整理得， 解得； （2）解：存在，、满足的等量关系为， 理由：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴； （3）解：①∵点M、Q重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简得， ∴， ∴； ②点M、Q不重合时，如图，点M在点Q左侧时， 同理，， 由（2）得， 同理， ∴， ∴； 如图，点M在点Q右侧时， 同理，， ∴； 综上，或． ◆题型6 相似三角形的模型问题 55．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 56．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到，    证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 57．如图1，在中，平分，，．                    (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，作交于G，点D是中点，H是上一点，，，，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； (2) 证明：在上截取，连接 ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先由平行线得到，然后结合三角形的外角性质得到，再由邻补角互补证明即可； （2）在上截取，连接，证明即可； （3）在上截取，连接，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接， 由（2）可得，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，点D是中点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． ◆题型7 相似三角形中的旋转问题 58．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，两点旋转后的对应点分别为，旋转角为． (1)如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接，延长交于点，若，①求线段的长； ②直接写出线段的长为____________． 【答案】(1)证明：由旋转的性质得出， ∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)四边形是菱形，理由如下： 由旋转的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． (3)① ② 【分析】（1）由旋转的性质得出，由菱形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质即可得出，进而可得出． （2）由旋转的性质可知：，，由菱形的性质得出，等量代换可得出，由平行线的性质得出，等量代换可得出，即可证明，最后由菱形的判定定理求解即可． （3）①连接交于点H，由旋转的性质进一步得出垂直平分，即可得出，，由菱形的性质进一步得出，，由等面积法得出，即可得出，最后由勾股定理即可得出答案． ②延长交于点K，证明，由相似三角形的性质可得出，，再证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①连接交于点H， 在菱形中， 由旋转的性质得出，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，． ②延长交于点K， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴． 59．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【感知】如图①，连结，，在纸片绕点A旋转过程中，求的值． 【探究】如图②，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的高线的延长线上时，则的长为________． 【拓展】如图③，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，则的周长为________． 【答案】感知：；探究：6；拓展：18 【分析】感知：证明，求出，可得，故，又，可得，从而； 探究：由题意得：，同理“感知”可得：，则有，然后可得，进而问题可求解； 拓展：由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后根据可进行求解． 【详解】解：感知：∵，，， ∴，， ， ， 即， ， ∴， ， ，， ； 探究：由题意得：， 同理“感知”可得：， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为6； 拓展：∵，是的中线，， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 由“感知”可知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 60．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， (1)如图（1），连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； (2)纸片绕点A旋转至图（2）所在位置，使得，求三角形的面积； (3)如图（3），在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）过点A作于点Q，交于点N，根据等腰三角形的性质得到，易得，故，因此得到，由，得，即，设，则，由勾股定理解得， 根据即可求出答案； （3）连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，在中，由勾股定理得，设，则，根据全等三角形的性质得到，在中，由勾股定理得，求得，故，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点N， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ； （3）连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， 是中线， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， ， ， , 即， 解得． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了寻转的性质，三角形相似的判定与性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，中位线定理是解题的关键． ◆题型8 相似三角形中的最值问题 61．如图，正方形中，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，点为边的中点，连接、，若，则下列结论正确的是（     ） A．长最小为 B．最小为 C．最小为 D．最小为 【答案】D 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质得到，，，根据中点的定义得到，则，推出，进而得出点是的中点，分析可知点在线段上运动（不含端点），再根据勾股定理和相似三角形的性质，分别求出每个选项对应的线段最值即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， ∵正方形， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∵为正方形内一点，为定点， ∴点在线段上运动（不含端点）； 当时，有最小值， 在中，， ∵， ∴， ∴长最小为， 故选项A结论错误，不符合题意； 连接， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 故选项B结论错误，不符合题意； 连接， 在中，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 故选项C结论错误，不符合题意； 过点作的对称点，连接交于点，交于点，连接，作交延长线于点，作于点， 则，，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为长； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小为， 故选项D结论正确，符合题意． 62. 我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ∵(x＋2)2≥0， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当______时，代数式的最小值是x=______； （2）知识运用：如图，正方形的边长为2，点P是边上的－个动点（点P不与点B、C重合），连接，过点P作于点Q，求的最大值； （3）知识拓展：已知，求的最小值． 【答案】62．2，11 63．的最大值是 64．的最小值是 【分析】本题主要考查了最值问题．熟练掌握完全平方公式，配方，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）配方得到，当时，有最小值11； （2）设，，根据正方形性质得到，结合，证明．推出．得到，推出，得到时，有最大值； （3）已知条件变形为，代入并配方得到，得到当时，的最小值是． 【详解】62．∵， 当时，有最小值11； 故答案为：2，11； 63．设，． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是； 64．∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 的最小值是． 63．如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． 在边上取一点F，使，连接，，可知和均为等腰直角三角形，即，，，可知，相似比为，得到，，，可知E点在直线上运动，当时，长最小，此时，根据勾股定理求出，即可求出长． 【详解】解：在边上取一点F，使，连接，， ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，相似比为， ∴，， ∴E点在直线上运动， 当时，长最小， 又，， ∴， ∴ 即， 即． 故选：A． ◆题型9 相似三角形中的新定义问题 64．定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”，如图1，在四边形中，，则四边形为“单邻等补四边形” (1)【定义辨析】 下列图形一定为单邻等补四边形的是___________ A．        B． C．        D． (2)【特例探究】 如图2，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． (3)【归纳分析】 如图3，在单邻等补四边形中，，延长，交于点，连接，若，请你求出和之间的关系． (4)【灵活应用】 如图4，在中，，，，在射线或射线上存在一点，当四边形为“单邻等补四边形”时，请你求出此时的长． 【答案】(1)A (2) (3) ，理由如下： 如图，过D作交于G，过D作交于F， ∵“单邻等补四边形”对角互补， ∴， 又∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，点E在延长线上， ∴在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． (4)或 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，30度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质， （1）根据“单邻等补四边形”的定义判断即可； （2）过D作交于E，过D作交延长线于F，则，根据“单邻等补四边形”的定义得到，证明，得到，，证明，得到，进而得到，求出，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求解即可； （3）过D作交于G，过D作交于F，根据“单邻等补四边形”的定义得到，证明，得到，，证明，得到，证明，得到，即，证明，得到，即，则； （4）当在射线上存在一点，使四边形为“单邻等补四边形”时，过点作，由（3）得从而得到，再由（3）得，可利用勾股定理求出，即可求出；当在射线上存在一点，使四边形为“单邻等补四边形”时，过点作，延长、相交于点，同理可得，利用，，再结合勾股定理可求出，即可求出． 【详解】（1）解：根据“有且只有一组邻边相等”可知B、C、D不符合“单邻等补四边形”的定义； A中有且只有一组邻边相等，且，符合“单邻等补四边形”的定义； 故选：A． （2）解：如图，过D作交于E，过D作交延长线于F， ∵， ∴， ∵“单邻等补四边形”对角互补，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：略． （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 当在射线上存在一点，使四边形为“单邻等补四边形”时，如图所示， ∵四边形为“单邻等补四边形”， 又∵， ∴，， 过点作， 由（3）得， ∴， 又∵， ∴， ∴点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴，即， 由（3）得， 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 当在射线上存在一点，使四边形为“单邻等补四边形”时，如图所示， ∵四边形为“单邻等补四边形”， 又∵， ∴，， 过点作，延长、相交于点， 由（3）得， ∴， 又∵， ∴， ∴点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 由（3）得， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上：或． 65．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角． 【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数； 【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为． （1）用的代数式表示； （2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变． ①求证：； ②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】定义理解：； 拓展提升：（1）； （2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，， ， 等边三角形， ， ， ，， 又， ， ． ②是定值， 【分析】定义理解：由倍对角四边形的定义，结合四边形内角和可以推出的度数； （1）方法一：根据倍对角四边形的定义，结合等腰三角形的性质，四边形内角和证明出是等边三角形，再证和是等边三角形，从而得到, ，从而表示出； 方法二：延长、交于点H，证、是等边三角形，再证也是等边三角形，从而变出从而表示出； （2）①由定义理解，可知，，结合为等边三角形，可以知道，，再结合是的外角，可以得到 ，得证； ②延长、交于点H，可证，结合，可以得到，从而证明出和相似，根据相似三角形对应边成比例，得到，从而算出定值． 【详解】定义理解： 解：， 又，， ， ， ． （1）方法一：， ， 又四边形BDEC是倍对角四边形， ， ， 是等边三角形， ， ，是倍角， ， ， 是等边三角形， ， ， 等边三角形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 方法二：延长、交于点H，易证、是等边三角形， ，， 也是等边三角形， ， ． （2）①略 ②延长、交于点H，同①可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了倍对角四边形的定义，四边形的内角和公式，等边三角形的证明与性质，等角对等边，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 66．【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）．    【答案】（1）是， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是和谐四边形. （2）6；（3）． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及和谐四边形的应用： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据四边形是和谐四边形的性质进行求解即可； （3）根据四边形是和谐四边形和四边形是和谐四边形得出，，，再证明，由得，得出，过点D作于M，设，则，根据勾股定理求出x的值，求出，再求出的周长即可 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴，. ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴. （3）∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∴. ∵， ∴相似比为1， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，    ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的周长， 故隔离带的长度为. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， 又， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故符合题意； ③，，不是夹角的两边对应成比例，不能得到，故不符合题意， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．若点的对应点恰好落在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，旋转的性质，关键是由相似三角形的性质推出，由旋转的性质得到，． 由相似三角形的性质推出，由旋转的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 由旋转的性质得到：，， ， ， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 5．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】作于点H，证明，求出，进而求出，然后用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分别把代入两个函数解析式，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． ∵，， ∴直线的解析式为． 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 综上可知，点的个数为：个． 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，不等式组的应用，解此题的关键是得出关于x的不等式组． 根据相似三角形的性质得出比例式，求出的值，根据即可得出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E在上，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，由题意得，则与的相似比为，进而可得点的横坐标为，纵坐标为．解题的关键是掌握位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．． 【详解】解：∵，与关于点位似， ∴， ∴与的相似比为， 即与的相似比为， ∵点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 8．（2025·河北石家庄·三模）如图，中，，平分，点E为的中点，经过点E作于点F，交于点G，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作，分别交，于点M，N．证明，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：如图，作，分别交，于点M，N． ∵， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ， ， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·河北承德·模拟预测）如图，在中，，，点在上，且，连接，过点作．垂足为点，点为中点，连接，若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】连接，过作于点，于点，在等腰中由的长度求出、的边长，结合得到、的长，用勾股定理算出，在中利用等面积法求出的长，在中利用等腰直角三角形斜边中点的性质得到及的长度，证得四边形为矩形，故，再通过同角的余角相等证明，由相似面积比结合的面积求出的面积，利用同高三角形面积比等于底之比求出的面积，进而算出的面积，通过面积法求得的长即的长，算出后在中用勾股定理求出，最后在中由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，连接，过作于点，于点， 在中，，，， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴，解得， ∵点为中点，是等腰直角三角形， ∴，且， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为，面积比为， ∵，且， ∴， ∵，与同高， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 在中， ， 在中，． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：； ； ；若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；当时，可证等于，点E为对角线上的一点，未说，则不一定等于，故不一定正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中 ． ，故正确； ， ． ， ． ，故正确； 当时，． ，即． ， ． ． 点E为对角线上的一点，未说， 不一定等于，故不一定正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故正确． 11．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，由（1）知，可得，可得的值，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴ ． 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)请写出图中所有与相似的三角形______； (2)若的面积为2，求的面积． 【答案】(1)， (2)的面积为8 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得到，，即可证明，； （2）根据平行四边形的性质得到，则，根据相似三角形的性质得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的面积为8． 13．（25-26九年级上·河北唐山·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度．某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项实践活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 测量示 意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … … … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案A测得旗杆的高度为______米； (2)请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2) 补全测量示意图如下所示， 旗杆的高度为15米 (3)还需要测出线段（或线段）的长度 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例， ∴， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米． （2）解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米． ∴旗杆的高度为15米． （3）解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 14．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，，是的两条高，过点作，垂足为，交于点，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，是的高， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴． (2) 证明：由（1）得， ∴， ∴． ∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； (3)1 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，是的高，得，又因为，证明； （2）根据，得，因为是的高，则，再整理得，最后证明，得，即可作答． （3）先证明，得．整理得，证明，得出，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得或0（舍去）， ∴线段的长为1． 15．（2026·河北承德·二模）问题情境：如图1，矩形中，M是边上一点，分别交于点E， (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点 ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）如图1：过点E作于点Q，得，由相似三角形的性质求解即可； （2）①如图2.1：过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值；②如图2.2：过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）如图：连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解：如图1：过点E作于点Q， 则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ， ， ， ， ． （2）解：①如图2.1：过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ，即， ， 故由（1）知：，即， ∵， ； ②如图2.2：过G点作于点P，则， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （3）解：如图：连接，过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ， 由（1）知，， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴y关于x的函数关系式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分三角形两边成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似多边形的性质 题型6 相似三角形的判定 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 题型8 相似三角形的判定综合 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型10 利用相似求坐标 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型12 重心的有关性质 题型13 相似三角形的实际应用 考点二 相似形压轴题型 题型1 黄金分割综合应用 题型2 相似三角形的判定与性质综合 题型3 相似三角形的动点问题 题型4 重心的综合应用 题型5 相似三角形的实际应用综合 题型6 相似三角形的模型问题 题型7 相似三角形中的旋转问题 题型8 相似三角形中的最值问题 题型9 相似三角形中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 ◆题型1 比例线段 1．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．已知a、b、c满足．求的值． 3．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． ◆题型2 黄金分割 4．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 5．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 6．阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） ◆题型3 平行线分三角形两边成比例 7．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，，点D为中点，作的垂直平分线，与交于点E，连接，点F为的中点，连接．若，则的长为（） A．3 B．6 C．9 D．12 ◆题型4 相似多边形 10．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 11．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 12．如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． ◆题型5 相似多边形的性质 13．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 14．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 15．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． ◆题型6 相似三角形的判定 16．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：． 18．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： ◆题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 19．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 20．已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．    （1）你添加的条件是 ； （2）根据题目中的条件和添加上的条件证明△ABD∽△ACB． 21．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足与相似的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆题型8 相似三角形的判定综合 22．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 24．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． ◆题型9 利用相似三角形的性质求解 25．如图，在与中，，连接，若． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 26．如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．如图，在矩形中，，，E是边上的一点（不与点C，D重合），，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的长． ◆题型10 利用相似求坐标 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 30．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    ◆题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 32．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 33．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图②中，在上找一点E，使； (3)在图③中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． ◆题型12 重心的有关性质 34．两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 35．如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 36．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． ◆题型13 相似三角形的实际应用 37．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 38．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 39．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 考点二 相似形压轴题型 ◆题型1 黄金分割综合应用 40．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 41．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 42．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． ◆题型2 相似三角形的判定与性质综合 43．如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 44．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 45．综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． ◆题型3 相似三角形的动点问题 46．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 47．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 48．如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； (3)在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． ◆题型4 重心的综合应用 49．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 50．利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 51．如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． ◆题型5 相似三角形的实际应用综合 52．问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 53．咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 54．综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． ◆题型6 相似三角形的模型问题 55．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 56．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 57．如图1，在中，平分，，．                    (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，作交于G，点D是中点，H是上一点，，，，，求的值． ◆题型7 相似三角形中的旋转问题 58．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，两点旋转后的对应点分别为，旋转角为． (1)如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接，延长交于点，若，①求线段的长； ②直接写出线段的长为____________． 59．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【感知】如图①，连结，，在纸片绕点A旋转过程中，求的值． 【探究】如图②，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的高线的延长线上时，则的长为________． 【拓展】如图③，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，则的周长为________． 60．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， (1)如图（1），连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； (2)纸片绕点A旋转至图（2）所在位置，使得，求三角形的面积； (3)如图（3），在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，直接写出的长． ◆题型8 相似三角形中的最值问题 61．如图，正方形中，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，点为边的中点，连接、，若，则下列结论正确的是（     ） A．长最小为 B．最小为 C．最小为 D．最小为 62. 我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ∵(x＋2)2≥0， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当______时，代数式的最小值是x=______； （2）知识运用：如图，正方形的边长为2，点P是边上的－个动点（点P不与点B、C重合），连接，过点P作于点Q，求的最大值； （3）知识拓展：已知，求的最小值． 63．如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． ◆题型9 相似三角形中的新定义问题 64．定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”，如图1，在四边形中，，则四边形为“单邻等补四边形” (1)【定义辨析】 下列图形一定为单邻等补四边形的是___________ A．        B． C．        D． (2)【特例探究】 如图2，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． (3)【归纳分析】 如图3，在单邻等补四边形中，，延长，交于点，连接，若，请你求出和之间的关系． (4)【灵活应用】 如图4，在中，，，，在射线或射线上存在一点，当四边形为“单邻等补四边形”时，请你求出此时的长． 65．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角． 【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数； 【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为． （1）用的代数式表示； （2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变． ①求证：； ②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由． 66．【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）．    综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．若点的对应点恰好落在上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在△ABC中，，，点P是上的一动点，点E在边上，设，若（点P与点C对应），则x的取值范围是_______． 7．（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______． 8．（2025·河北石家庄·三模）如图，中，，平分，点E为的中点，经过点E作于点F，交于点G，则_________． 9．（2025·河北承德·模拟预测）如图，在中，，，点在上，且，连接，过点作．垂足为点，点为中点，连接，若，则的长为______． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：； ； ；若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 11．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)请写出图中所有与相似的三角形______； (2)若的面积为2，求的面积． 13．（25-26九年级上·河北唐山·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度．某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项实践活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 测量示 意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … … … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案A测得旗杆的高度为______米； (2)请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 14．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，，是的两条高，过点作，垂足为，交于点，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，，直接写出线段的长． 15．（2026·河北承德·二模）问题情境：如图1，矩形中，M是边上一点，分别交于点E， (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点 ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $