专题03 解直角三角形的应用9大题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 以“解直角三角形应用”为核心，通过9类基础题型与综合题构建从几何情境到实际问题的系统化训练，突出知识应用与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9类题型（3-4题/类）|涵盖网格、坐标系等基础应用及仰俯角、方位角等实际问题|从锐角三角函数定义出发，通过几何图形（网格、四边形）到函数综合，再到实际测量，形成“概念应用—综合拓展”链条| |综合攻坚·知能拔高|综合题（约15题）|复杂情境（如运动问题、跨学科场景）与多知识点结合|强化知识迁移，通过实际问题建模（如无人机测量、坡度设计）培养应用意识与空间观念|

专题03 解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 题型1 网格中解直角三角形 题型2 坐标系中解直角三角形 题型3 四边形中解直角三角形 题型4 函数中解直角三角形 题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 题型6 直角三角形应用之方位角问题 题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型8 直角三角形应用之生活实际问题 题型9 直角三角形应用之其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 ◆题型1 网格中解直角三角形 1．如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使． (3)在图③中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】(1)如图，即为所求；（答案不唯一） (2)如图，即为所求； (3)如图，即为所求； 【分析】（1）取格点D，使即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，即为所求； （3）取格点，连接，交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由图和勾股定理得：，， ∴． 4．如图，在的正方形网格中，，，，，均为小正方形的顶点，为线段与网格线的交点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图中将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在上找一点使得； (2)在图中画出点绕着点顺时针旋转后的点；并在上画点，使． 【答案】(1)如图，线段，点即为所求； (2)如图，点，即为所求． 【分析】根据网格特征作，交网格于点，连接，交于点，则线段，点即为所求； 连接交网格于点，延长交网格于点，连接交网格于点，再连接，交于点，连接并延长交于点，点，即为所求． 【详解】（1）解：作图略， 理由，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由作图、勾股定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴线段，点即为所求； （2）解：作图略，理由， 由网格可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴点，即为所求． ◆题型2 坐标系中解直角三角形 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 【答案】 【分析】点在轴正半轴，旋转后长度不变，旋转夹角为，构造直角三角形，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴， ∵将点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，． 过点作轴于点， ∴， ∴在中，， ， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点在边上，且，交于点，将绕点顺时针旋转得到，当点落在线段上时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，且，，故，．旋转后当点落在线段上时，，结合 得为等边三角形，从而，推出．过作，由等边三角形性质得，，结合及，可得点 的坐标为． 【详解】解：如图， 由题意，矩形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，． 当点落在线段上时， 由旋转的性质，可知，，，． ，， 是等边三角形， ， ， ． 过点作于点，则， ，． ， 点的坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点 在 轴的正半轴上，且，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过作交于，设，解直角三角形得，进而得到，再利用解出，得到，然后利用等面积法求出即可得到点的坐标． 【详解】解：过作交于，设， 由题可知，，则，， 又，即， ， ，即， ， ，解得， ， ， ，解得， ，即． ◆题型3 四边形中解直角三角形 9．如图，在菱形中，是上一点，将沿翻折至处，延长交于．若四边形是平行四边形，则___________． 【答案】 【分析】连接交于点，设交于点，过点作交的延长线于点，设交于点，设，由，可证明，求出，则，，而，可求，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：连接交于点，设交于点，过点作交的延长线于点，设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴ 设， 则， 由折叠可得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，则_______． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，结合已知判定四边形为平行四边形，再利用得到直角，从而证明其为矩形． （2）首先根据菱形的性质得到、的长，利用勾股定理求出的长，进而得到的长；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半将转化为，最后在中利用正弦定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，． 在中，， ∴． ∵是直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 11．如图，在中，对角线与交于点O，把点D沿过点O的直线翻折至点B，折痕与边、分别相交于点E、F，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若点E是的中点，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 根据折叠性质得：， ∴四边形DEBF是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，进而得，即可证明，根据全等三角形性质得，再根据，即可判定四边形是平行四边形，再根据折叠性质得，即可判定四边形DEBF是菱形． （2）根据中点性质得，再由（1）中菱形性质得，，，进而可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形性质，结合菱形性质可判定，在中，根据锐角三角函数可求出，最后根据菱形面积公式即可得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E是的中点， ∴， 由（1）知：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 12． 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即； （2）解：如图，设与交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∵， ， ， 中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ，， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ． ◆题型4 函数中解直角三角形 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以1单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在，，上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒）．当，中的一点到达点时，两点同时停止运动． (1)求所在直线的函数表达式； (2)在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的实数t的值． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分Q在、、上运动时讨论：①当时，线段的中垂线经过点C，②当时，线段的中垂线经过点A，③当时，线段的中垂线经过点C，线段的中垂线经过点B，分别画出图形，根据中垂线的性质和勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把、代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为：； （2）解：①当Q在上，即时，线段的中垂线经过点C，过Q作轴于G，如图所示： 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍）， ∴此时； ②当Q在上，即时，线段的中垂线经过点A，则，过A作轴于G，如图所示： 由题意得：，，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时； ③当Q在上，即时，分两种情况： 线段的中垂线经过点C，如图所示： ∴， 由（2）知：，，点Q到达点B的时间（秒）， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 线段的中垂线经过点B，可得，过B作轴于G，如图所示： 则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时， 综上所述，t的值为或或或． 14．如图，已知中，，．点是边上一动点，点在边上，且为定角．设，，若关于的函数图象如图所示，则的值是________． 【答案】/ 【分析】先求得定角，作于点，在上取点，使，连接和，求得点与点重合，据此即可求解． 【详解】解：由图可知，当时，，说明此时点与点重合， ∴， ∵中，，， ∴，，， 当时，与重合，说明与重合， ∴定角， 作于点，在上取点，使，连接和， 由题意得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴此时，点与点重合， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点C坐标为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标； (3)直线在点右侧部分上有一点，过点作直线轴交于点，连接，是否存在点使得与相似，若存在请求出M点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可． （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，用中点坐标公式列方程求解． （3）先用勾股定理逆定理证明，从而发现为定值；再计算出的内角为、、；最后根据直角三角形相似的两种对应关系分类讨论，列比例式求出的值． 【详解】（1）解：对于函数，令得， ， 设直线的函数表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：在中，令得， ， 设， ①若、为对角线，则与的中点重合， ， 解得， ， ②若、为对角线，则与的中点重合， ， 解得， ， ③若、为对角线，则与的中点重合， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：，，， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点在直线上，点在直线上， ，， 设点的坐标为，其中， 直线轴且过点， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 若与相似，则点与点对应， ①若， 则， ， ， ， ， ， ， 此时，满足条件， ， ②若， 则， ， ， ， 此时，，，满足条件， ， 综上所述，点的坐标为或． 16．如图，在四边形纸片中，，，，，． (1)求的长； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1)6 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）过点C作于点R，根据题意得，证四边形为矩形，再根据求解即可； （2）结合运动轨迹分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点R， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴； （2）解：由（1）得，设直线与的交点为Q，点A，点D关于直线的对称点分别为，， 当点Q与点D重合时， ∵直线，，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，重叠部分面积为， 此时，， ∴重叠部分面积为； 连接， ∵，， ∴， ∴, 当点与点C重合时，由折叠的性质得，， ∵直线，， ∴ ∴为等边三角形， ∴， 当时，重叠部分面积为，交于点E，延长交于点F，则， 此时，，，， 由折叠性质得，， ∵直线，， ∴ ∴， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分面积为； 当时，即点在四边形外部时，作于点T，重叠部分面积为， 此时，， ∴， 同理得为等边三角形，则 ∴， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． ◆题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 17．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 18．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 19．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1)处的竖直高度为5米； (2)基站塔的高为19.25米． 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； （2）解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 20．数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． ◆题型6 直角三角形应用之方位角问题 21．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，根据方位角得到直角三角形的内角，利用锐角三角函数求出的总长度，再根据平均速度公式计算结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 海里， 在中， ， ， 在 中， ， ， ∵航行时间为小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 22．小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【答案】7 【分析】过点C作于点D，则，进而求出，，在中，，，在中，，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则， 根据题意得，，，，， ∴，， 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， 即小明家与小亮家的距离约为． 23．如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B，在A的北偏东方向24海里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是中点．（参考数据：，，） (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行．此时在点D处的一艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处．已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里） 【答案】(1)海里 (2)相遇时海警船航行了40海里 【分析】（1）过点C作，根据题意可得，求出，长，继而求出长，进而即可解答； （2）过点C作交的延长线于点G，推导出四边形是正方形，得到海里，设可疑船只航行了x海里，则海警船航行了海里，得到，，在中，，解得，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点C作， 根据题意可得， 则（海里），（海里）， ∴海里， ∴（海里）； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 根据题意， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴海里， 设可疑船只航行了x海里，则海警船航行了海里， ∵点D是中点， ∴海里， ∴海里，海里， ∴海里， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， 即相遇时海警船航行了40海里． 24．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，解题的关键是正确理解题意，构造直角三角形． （1）根据方位角的定义即可求解； （2）根据直角三角形的性质求解即可； （3）先求出，再解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意得，，，， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：根据题意得：， ∴ ∴在中，． 在中，，， ， 点与点之间的距离大约为． ◆题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 25．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 26．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】该汽车超速， 理由如下：过作于点， 于点，则矩形 在中， ． 在中， 设，， 则． ∵矩形中， ，，则， 在中，， ， 在中，， ∴米/秒， ∴米/秒， 则， 所以该汽车超速了． 【分析】作， ，则矩形，根据坡比求出，再设，，可得，然后根据求出，接下来根据勾股定理得，即可得出米/秒，最后比较可得答案． 【详解】略 27．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 【答案】 【分析】过点C作于点F，延长交于点G，解直角三角形求解即可； 【详解】解：过点C作于点F，延长交于点G， 因为，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 根据题意，得，，, 因为坡角为， 所以， ， ， 所以， 因为同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米， 所以物高与影长成正比， 所以， 所以， 解得 所以． 28．综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)；不可行 (2) 方案二可行．理由如下： 如答图，过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P． ∴四边形和四边形是矩形． ∴，，，． 设，则． ∵轮椅通行坡道的坡度为， ∴． 由题知， ∴， ∴． ∴，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴方案二可行． 【分析】（1）过点作于点，求出，继而求出，即可解答； （2）过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P，推导出，，，，设，则，得到，继而求出，，由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：，不可行，理由如下： 过点作于点，如图， ，， 轮椅通行坡道的坡度为， ， ， ， 该方案不可行； （2）略 ◆题型8 直角三角形应用之生活实际问题 29．【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6） 图③是某小组的设计示意图，其中，，米． 【问题解决】 (1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． (2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）因为，已知长度和的值，所以过B作的垂线，利用直角三角形三角函数关系和勾股定理求出的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知长度为矩形另一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积； （2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B点且落在O点，据此建立几何关系，过B作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角，利用直角三角形三角函数求出B点到地面的高度，再求出A点的最大高度； 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴在中，， ∴， ∴， ∴所需挡雨板的面积为（平方米）． （2）连接， 若， ∵与平行， 则在中，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴点A离地面距离不能超过米． 30．威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)求空调安装的最低高度．（结果精确到） (2)为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)该安装方式在小丽房间内不能实现，理由如下： 当机身完全嵌入墙面时，空调顶部 E 与墙顶齐平，此时空调底部 F 到地面的最大高度为：， 如图：当空调安装在此位置恰好符合要求， 由题意可得：，， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该安装方式在小丽房间内不能实现． 【分析】（1）如图：连接，过点F作于点O，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可，即点G与点A重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解； （2）先求出空调底部 F 到地面的最大高度为，如图：当空调安装在此位置恰好符合要求，然后结合已知条件求得的长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接，过点F作于点O，则四边形是矩形， ∴，， ∴ 由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可， ∴当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘A处时，空调安装的高度最低，此时， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：空调安装的最低高度约为． （2）解：略． 31．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，． 测量数据 ，，． ，，． ，． (1)第______小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)三 (2) 【分析】（1）根据已知数据判断即可； （2）对于一：先解，设，则，再解即可；选择二：：延长交于点，先解，求出，再即可． 【详解】（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息； （2）解：选择一： ∵，， ∴在中， 设，则， ∴， 在中， ∴ ∴ 解得 ∴ 答：银杏树的高度为； 选择二：延长交于点， ∵，， ∴ ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：银杏树的高度为． 32．脱贫攻坚工作让人民过上了幸福的生活．图1是政府给贫困户新建的房屋，图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约 【分析】（1）利用已知条件在中解直角三角形即可解答； （2）如图：过点E作于点H．设，则．分别在、中解直角三角形可得、，进而得到，最后根据线段的和差即可解答； 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，，解得：． ∴屋顶到横梁的距离为． （2）解：如图：过点E作于点H．由题意得，． ` 设，则． 在中，，解得：． 在中，，解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ∴， ∴， ∴． ∴房屋的高约． ◆题型9 直角三角形应用之其他问题 33．如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 34．小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 35．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 36．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）根据正弦的定义计算，得到答案； （2）设，根据正弦的定义用表示出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：，， ∴，， 在中，，， ，， ， ， ； （2）∵鱼竿始终与地面平行，保持支架与地面的夹角不变 ， 设， 在中，，， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，舍去， ， 答：支架的长度约为． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 2．（2025·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．（2026·山东德州·二模）为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 【答案】A 【分析】延长交于点H则，已知斜坡的坡度为则求出即可得出再用勾股定理即可即可求出；求可设长为米再通过三角函数列式计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则； 设长为米， 由斜坡的坡度为可得， ，得， （米）， （米）， 在中， ， 即， ， 则（米）， 在直角中， （米）． 4．（2026·辽宁鞍山·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，垂直于台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，．则的长度为（结果保留整数）（参考数据：，，）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，解直角三角形求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴是直角三角形； 又三点共线， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴． 5．（2025九年级下·山东日照·竞赛）如图，斜坡长米，其坡度，，斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在斜坡的中点测得广告顶部点的仰角为，他沿坡面走到坡脚上，然后向大楼方向继续沿直线行走米来到处，在处测得广告底部点的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，则广告的高度是（   ）（精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由坡度和勾股定理求出斜坡的垂直、水平高度，再作辅助线构造矩形，利用中点性质得到观测点的水平、垂直距离，最后通过两个仰角的正切值分别求出广告顶部和底部距地面的高度，作差得到广告高度． 【详解】解：长米，坡度， ， 设，， ，解得， 米，米， 米，米， （米）， 如图，过点作，交于点，交于点， ， 四边形为矩形， 米，， 为中点，， ∴， ∴， 米，米， （米）， ，，， ，解得米， （米）， ，，， ，解得米， （米）． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【答案】 【分析】延长交于F，得到平行四边形，得到，，，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·北京·开学考试）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】 【分析】如图，延长与底面交于点，过点作于点，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时， 则，此时，，，当时，则，，即可求解． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时， 则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了约． 9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为__________．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（含三角函数的运用），解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将起重臂长度、张角等已知条件转化为直角三角形的斜边和锐角，利用正弦函数求出直角边长度，进而计算最高点距离地面的高度。 过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】过点作，垂足为， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为， 故答案为：． 10．（2025·内蒙古巴彦淖尔·三模）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为____千米 ． 【答案】240 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 根据题意可得，得到，过点C作于H点，利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， 则， ∴， 过点C作于H点， ∴， 则在直角三角形中，千米． 故答案为：240． 11．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 12．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 14．（2026·海南省直辖县级单位·二模）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米； （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 15．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 题型1 网格中解直角三角形 题型2 坐标系中解直角三角形 题型3 四边形中解直角三角形 题型4 函数中解直角三角形 题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 题型6 直角三角形应用之方位角问题 题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型8 直角三角形应用之生活实际问题 题型9 直角三角形应用之其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的应用 ◆题型1 网格中解直角三角形 1．如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使． (3)在图③中的边上确定一点F，连接，使． 4．如图，在的正方形网格中，，，，，均为小正方形的顶点，为线段与网格线的交点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图中将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在上找一点使得； (2)在图中画出点绕着点顺时针旋转后的点；并在上画点，使． ◆题型2 坐标系中解直角三角形 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点在边上，且，交于点，将绕点顺时针旋转得到，当点落在线段上时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点 在 轴的正半轴上，且，则点的坐标为________． ◆题型3 四边形中解直角三角形 9．如图，在菱形中，是上一点，将沿翻折至处，延长交于．若四边形是平行四边形，则___________． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，则_______． 11．如图，在中，对角线与交于点O，把点D沿过点O的直线翻折至点B，折痕与边、分别相交于点E、F，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若点E是的中点，，，求菱形的面积． 12． 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． ◆题型4 函数中解直角三角形 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以1单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在，，上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒）．当，中的一点到达点时，两点同时停止运动． (1)求所在直线的函数表达式； (2)在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的实数t的值． 14．如图，已知中，，．点是边上一动点，点在边上，且为定角．设，，若关于的函数图象如图所示，则的值是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点C坐标为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标； (3)直线在点右侧部分上有一点，过点作直线轴交于点，连接，是否存在点使得与相似，若存在请求出M点坐标，若不存在请说明理由． 16．如图，在四边形纸片中，，，，，． (1)求的长； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． ◆题型5 直角三角形应用之仰俯角问题 17．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 18．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 19．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 20．数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） ◆题型6 直角三角形应用之方位角问题 21．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 22．小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 23．如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B，在A的北偏东方向24海里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是中点．（参考数据：，，） (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行．此时在点D处的一艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处．已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里） 24．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） ◆题型7 直角三角形应用之坡度坡比问题 25．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 26．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 27．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 28．综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． ◆题型8 直角三角形应用之生活实际问题 29．【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6） 图③是某小组的设计示意图，其中，，米． 【问题解决】 (1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． (2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？ 30．威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)求空调安装的最低高度．（结果精确到） (2)为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 31．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，． 测量数据 ，，． ，，． ，． (1)第______小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 32．脱贫攻坚工作让人民过上了幸福的生活．图1是政府给贫困户新建的房屋，图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． ◆题型9 直角三角形应用之其他问题 33．如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 34．小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 35．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 36．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·浙江温州·三模）如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·二模）为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 4．（2026·辽宁鞍山·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，垂直于台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，．则的长度为（结果保留整数）（参考数据：，，）（  ） A． B． C． D． 5．（2025九年级下·山东日照·竞赛）如图，斜坡长米，其坡度，，斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在斜坡的中点测得广告顶部点的仰角为，他沿坡面走到坡脚上，然后向大楼方向继续沿直线行走米来到处，在处测得广告底部点的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，则广告的高度是（   ）（精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 8．（25-26九年级下·北京·开学考试）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 9．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为__________．（参考数据：，，，） 10．（2025·内蒙古巴彦淖尔·三模）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为____千米 ． 11．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 12．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 14．（2026·海南省直辖县级单位·二模）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 15．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $