第一章 问题解决活动：利用三角函数测高（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 练习围绕三角函数测高，分层设计从概念理解到综合应用，通过真实情境问题培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解层|坡度坡比、仰角俯角定义|选择题辨析概念本质，如坡度与坡角正切值关系| |应用层|实际测量问题|结合建筑、自然场景，如河堤坡比、热气球测高| |综合创新层|方案设计与综合应用|含开放探究题，如制定测量麦积山高度方案，融合推理与运算能力|

问题解决活动：利用三角函数测高 题型一 坡度坡比概念理解 1．（12-13九年级上·河北·期末）下面关于“坡度”的说法正确的是（   ） A．坡度是坡角的正弦值 B．坡度是坡角的余弦值 C．坡度是坡角的正切值 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了坡度，根据坡度概念即可求解，解题的关键是正确理解坡度是指坡面的垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正切值． 【详解】解：坡度是指坡面的垂直高度与水平宽度的比值，是坡角的正切值， 故选：． 2．（24-25八年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故选A 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． 利用正弦函数进行求解即可． 【详解】解：根据正弦函数得，升高的高度为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了坡度，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比，根据迎水坡的坡比是，得到：，再根据堤高米，求出的长． 【详解】解：迎水坡的坡比， ， 堤高米， （米）． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坡度，正切的应用，掌握该知识点是解题的关键． 根据斜坡的坡度是，斜坡的坡角，得到，即可解答． 【详解】解：∵斜坡的坡度是，斜坡的坡角， ∴， ∴． 故选D． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 7．（24-25九年级上·四川巴中·期中）某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（   ） A．40米 B．米 C．20米 D．10米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．依据题意画出示意图，由题意得坡比为，即，，，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依据题意画出示意图： 由题意得坡比为，即，，， 设，则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 即该水坝的高度为10米， 故选：D． 8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 9．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键． 根据三角函数定义进行解答即可． 【详解】解：∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了， ∴该同学在竖直方向上下降的高度为． 故选：A． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度求出的长，再通过勾股定理即可求解，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． 【详解】解：∵斜坡的坡度为， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场的一自动扶梯AB的示意图如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．扶梯AB的坡角是 B．扶梯AB的坡度是 C．扶梯AB的坡比是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解题的关键是理解坡度坡角的定义. 根据相关知识进行逐项判断即可. 【详解】解：A、扶梯的坡角是28°，正确，本选项不符合题意； B、扶梯的坡度是，正确，本选项不符合题意； C、扶梯的坡比是，正确，本选项不符合题意； D、，错误，本选项符合题意. 故选： D． 题型二 仰角俯角概念理解 1．（2025·吉林长春·三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的概念进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 4．（2021·黑龙江绥化·模拟预测）王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为，又知水平距离，楼高，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 过点作于点E，利用矩形的判定和性质，正切函数的应用，特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：过点作于点E， 则四边形是矩形，， 则，， 由， 得， 由， 故， 故选：A． 5．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点作，垂足为，根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长． 【详解】解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵， ， 在中，（m）， 在 中，（m）， ∴（m）， 故选：D． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；利用三角函数把和用含的代数式表示出来，再根据求出结果即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为米，则铁塔的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 过点作于，则可由仰角的正切值求得，再加上的长即为的长． 【详解】解：如图，过点作于， 可知，， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 题型一 坡度坡比应用问题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 3．（2024·湖南娄底·模拟预测）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 4．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 【答案】浮漂与河堤下端之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质；掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交延长线于点，过点作于点，，利用三角函数的概念求出、、，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，， 则， ∵的坡比为， ∴， 设，， 在中，由勾股定理知，． 解得：（负值舍去）， ∴（米），（米）， 由题意得：米，，， ∴（米），（米）， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴（米）， 即浮漂与河堤下端之间的距离约为米． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，延长交于点，在中，设，则，则，求出，设，则， 进而求解． 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 6．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作交于点F，根据坡度角和勾股定理求出、，根据，设，则，再根据列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作交于点F， ∵坡度，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，，即， 解得， ∴，， ∵，，， 设，则， ∴，，，，， ∵， ∴，即， 解得， ， 答：山高的值为． 7．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为，它的坡角为．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡，求的度数和的长． 【答案】， 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点． 由题意得是等腰直角三角形，先求出的长度，再由的坡比为，即可求解的度数和的长． 【详解】解：在中，的坡比为， ， ， ． 由题意得，， 是等腰直角三角形，即． 又， 由勾股定理得，， 即，解得（负值舍去）． 设，则， ， ，解得， ． 8．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 题型二 仰角俯角应用问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 【答案】综合楼的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，然后求出的长，在和中，利用正切的定义求出的长，即可求出的高解答即可． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点, 由题意得：，,米， 米， (米), 在中，， (米), ∵点是的中点， 米， 在中， ， (米), (米), ∴综合楼的高度约为米． 3．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 【答案】建筑物间的距离为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由已知，得，，米，，于点，然后通过（米），（米），最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由已知，得，，米，，于点， ∴，， 在中，，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物间的距离为米． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某翼装飞行员从离水平地面高米的处出发，沿着俯角为度的方向直线滑行米到达点，然后打开降落伞以度的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离． 【答案】运动员飞行的水平距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，如图，过点作，作，垂足分别为，，得出四边形是矩形，则，进而解，，分别求得，根据，即可求解． 【详解】如图，过点作，作，垂足分别为，， 由已知可得，， ， 四边形是矩形， ． 在中，，． ， ， ， ． 在中，， 米． 运动员飞行的水平距离约为米． 5．（2019·河南信阳·模拟预测）小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】热气球离地面的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题． 作交的延长线于点，设，表示出和，根据正切的概念求出的值即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示， 由题意，可知，， 设， 在中， ， ， 在中， ，，， ， 解得． 答：热气球离地面的高度约为． 6．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 7．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)40米 (2)269米 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 8．（13-14九年级上·河北·期末）如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 【答案】两建筑物之间的距离长为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键，过点作于点，设=，则，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论， 【详解】解：如图，过点作于点，设米， ， ， 在中， ， ，即， 解得， 答：两建筑物间的距离为． 9．（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等角对等边，三角形外角的性质，设直线与直线交于G，根据矩形的性质与判定定理可得的长，再证明得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与直线交于G， 由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：该建筑物的高为． 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 【答案】长约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：米，，，从而可得米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，则题目可解． 【详解】解：由题意得： 米，，， 米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 米， 小明的有效测温区间的长约为米． 题型三 制定方案问题 1．（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 【答案】(1) (2)多次测量角度求其平均值 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）设，则，根据题意得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据平均值的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点M． 由题意可知，四边形，均为矩形． 设，则． 在中，， ∴，即 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 答：商字的高度约为m； （2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一） 2．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长，交于点，由四边形和四边形是矩形可得米，米，设米，分别解和可得米，米，进而由米得到，解方程求出的值即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，则， 由题意可知，四边形和四边形均为矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 3．（2025·云南·模拟预测）阅读下列材料，回答问题． 【实践任务】利用浮球测量一个玻璃栈道的高 【实地考察】玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 【可用工具】如图2，一把皮尺（测量长度小于）一台测角仪一架无人机． 【工具说明】皮尺能直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪能测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 【实践过程】 测量过程：如图4，任选栈道上一点M，桥边（与桥高度相同）释放无人机，竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题可得： 四边形为① ，② ． (1)补全小明求解过程中所缺的内容． (2)小明求得用到的几何知识是 ． (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数不超过4次，才能得满分，否则多测量一次扣一分，封顶扣四分）． 【答案】(1)①矩形 ②vt (2)矩形的对边相等 (3)a 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． （1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可； （2）根据矩形的性质解答即可； （3）根据正切锐角的三角函数值的定义来解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 四边形为矩形， ． 故答案为：矩形，； （2）解：由（1）可知小明根据矩形的对边相等来设计方案； 故答案为：矩形的对边相等； （3）解：在的一侧取一点，用测角仪测量，再取一点，测量的长，以及，如图：     ， ，， ，， 又， ∴， ∴。 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度． 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即大树的高度为． 5．（25-26九年级上·山东·阶段练习）某校数学小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学小组求出海岱楼钟书阁的高度．(结果保留整数，参考，，．) 测量对象 海岱楼钟书阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内） 1.先将无人机从地面的点C出垂直上升至点P，此时测得海岱楼钟书阁的顶端A的俯角为 2.再将无人机从点P处向右延水平方向飞行至点D，然后沿垂直方向上升至点Q，此时测得海岱楼钟书阁的顶端A的俯角 测量示意图 【答案】67 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，在中，，在中，，通过，列出方程，解方程求得，最后通过求得的值． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，设， ， 由题意得：，， 在中，， 由题意得：，， 在中，， 由题意得：， ， ， 解得：， ， 由题意得：， ， 海岱楼钟书阁的高度约为． 题型一 解直角三角形综合应用问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 问题解决活动：利用三角函数测高 题型一 坡度坡比概念理解 1．（12-13九年级上·河北·期末）下面关于“坡度”的说法正确的是（   ） A．坡度是坡角的正弦值 B．坡度是坡角的余弦值 C．坡度是坡角的正切值 D．以上说法都不正确 2．（24-25八年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（   ）米． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25九年级上·四川巴中·期中）某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（   ） A．40米 B．米 C．20米 D．10米 8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场的一自动扶梯AB的示意图如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．扶梯AB的坡角是 B．扶梯AB的坡度是 C．扶梯AB的坡比是 D． 题型二 仰角俯角概念理解 1．（2025·吉林长春·三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·黑龙江绥化·模拟预测）王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为，又知水平距离，楼高，则树高为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为米，则铁塔的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 题型一 坡度坡比应用问题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 3．（2024·湖南娄底·模拟预测）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 4．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 6．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 7．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为，它的坡角为．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡，求的度数和的长． 8．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 题型二 仰角俯角应用问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 3．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某翼装飞行员从离水平地面高米的处出发，沿着俯角为度的方向直线滑行米到达点，然后打开降落伞以度的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离． 5．（2019·河南信阳·模拟预测）小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 6．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 7．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 8．（13-14九年级上·河北·期末）如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 9．（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 题型三 制定方案问题 1．（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 2．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 3．（2025·云南·模拟预测）阅读下列材料，回答问题． 【实践任务】利用浮球测量一个玻璃栈道的高 【实地考察】玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 【可用工具】如图2，一把皮尺（测量长度小于）一台测角仪一架无人机． 【工具说明】皮尺能直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪能测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 【实践过程】 测量过程：如图4，任选栈道上一点M，桥边（与桥高度相同）释放无人机，竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题可得： 四边形为① ，② ． (1)补全小明求解过程中所缺的内容． (2)小明求得用到的几何知识是 ． (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数不超过4次，才能得满分，否则多测量一次扣一分，封顶扣四分）． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 5．（25-26九年级上·山东·阶段练习）某校数学小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学小组求出海岱楼钟书阁的高度．(结果保留整数，参考，，．) 测量对象 海岱楼钟书阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内） 1.先将无人机从地面的点C出垂直上升至点P，此时测得海岱楼钟书阁的顶端A的俯角为 2.再将无人机从点P处向右延水平方向飞行至点D，然后沿垂直方向上升至点Q，此时测得海岱楼钟书阁的顶端A的俯角 测量示意图 题型一 解直角三角形综合应用问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $