专题02 相似三角形的实际应用12大题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 以12类实际应用场景为载体，构建“模型归类-方法提炼-跨学科融合”的专项训练体系，突出相似三角形判定与性质的实际迁移应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高频应用（建筑/影长/生活实际）|3题型10+例题|构造“A型”“X型”相似，利用平行投影、光的反射原理建立比例关系|从相似三角形性质出发，通过实际场景抽象数学模型，形成“性质应用-模型构建-问题解决”逻辑链|

专题02相似三角形的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 题型一、建筑高度问题（高频） 题型二、影长问题（高频） 题型三、河宽问题 题型四、树高问题 题型五、杠杆问题 题型六、实验问题 题型七、古代问题 题型八、裁剪问题 题型九、生活实际问题（高频） 题型十、三角形的内接矩形问题（高频） 题型十一、相似三角形中的最值问题 题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 ◆题型一、建筑高度问题 1．综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量 过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的李彤的影长为2.4米，同时测得旗杆的影长为22.5米. 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部.小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为1.5米，王慧到镜子的距离为2.1米，旗杆到镜子的距离为21米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为1.55米，他与旗杆之间的距离为40.35米. 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案A测得旗杆的高度为____________米； (2)请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2) 补全测量示意图如下所示，过点C作， 旗杆的高度为15米 (3)还需要测出线段（或线段）的长度 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例， ∴， ∴，即， 解得：． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米． （2）， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米． ∴旗杆的高度为15米． （3）解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 2．某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 【答案】任务1：；任务2：祁阳文昌塔的高度为36米 【分析】本题考查相似三角形实际应用，相似三角形的性质和判定； （1）由题意得，进而得到，即可求出； （2）设祁阳文昌塔的高度米，由题意易证明，，得到，，得到，，利用建立方程求解即可. 【详解】解：任务1 ∵观测者在点处刚好能看到树的顶部， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴. 任务2 设祁阳文昌塔的高度米， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵ 又∵米 ∴米 ∴米 ∴，解得：. 故祁阳文昌塔的高度为36米. 3．根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．    问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．    任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．    【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． ◆题型二、影长问题 4．为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 图中线段为所求． (2) (3)①或；②是， 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用． （1）连接并延长交与点N即可． （2）先得出，，由相似三角形的性质得出，，分别求出和，最后根据代入计算即可． （3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，即可由全等三角形的性质得出． ②方法一：根据，直接计算即可． 方法二：证明，，由相似三角形的性质得出，，进而可得出，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当米时， ∵， ∴，， ，， 即，， 解得：，， ∴． （3）解：①根据题意画出图形： 设， 由（2）可知，， ，， 即，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：或， ②方法一：同①可求得， ∵， ∴， ， ， ， ． 方法二： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ， ∴． 5．如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 【答案】(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 6．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． 【答案】尺 【分析】本题主要考查平行投影以及相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．由，得到，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意可得，， ， 故第二时刻标杆的影长为尺． ◆题型三、河宽问题 7．某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】河宽的长是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是米． 8．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1) 证明： ，， ． (2)河宽为60米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 9．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30米 (3) 解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）略 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． ◆题型四、树高问题 10．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 11．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】5.4米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作水平线交于点，交于点，如图， 则米， 米， 米， 所以米， 再证明，根据相似三角形的性质得到，则可求出的长，然后计算得到的长． 【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图， 则米， 米，米， ∴(米)， ∵， ， ∴， ，即 ， 解得(米) ∴(米)。 答：这棵树的高度(的长)为米． 12．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【答案】(1) (2)乙树的高度为米 (3)丙树的高度为米 【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； 本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键． 【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得， ， 解得：， ∴甲树的高度为米， 故答案为米； （2）解：如图，设为乙树的高度， ∵米，米， ∴米 ， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴乙树的高度为米． （3）解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ∴， ∵ ∴， 解得 ∴丙树的高度为（米）． ◆题型五、杠杆问题 13．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压______．    【答案】 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 14．如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明，从而得到，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，段长为2.5， ∴， ∴． 故答案为：5． 15．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【答案】(1)4米 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． （1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过A点作于F， 米，米，米， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为4米； （2）解：过点G作于点F，过点A作于点H，则，如图所示： 米，， 米， （米）， （米）， ，， ， ， ， 解得（米）， ∴此时点G到水平底板的距离为米． ◆题型六、实验问题 16．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 17．综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【答案】（1）①设，，，， ∵，， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 即规律1得证． ②连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，即规律2得证． （2）或 （3）或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，得到，证明，得到，即可推导解题即可； ②连接，即可得到四边形为平行四边形，证明，即可得到结论； （2）根据题意可证，，根据对应边成比例解答即可； （3）分为或两种情况，根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）解：设物体的长为a，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，即蜡烛和透镜的距离为或． （3）解：或或． ①当时， ∵， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴，即 ∴，（舍去） ∴． ②当时 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即 ∴，， ∴或， 综上所述，u的值为或或． 18．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先由题意可证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）先证明，根据，得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ． ， ， 即． 同理可得， ， ， ， ． ， ， 像的长度为； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ． ， ， ， ， ． 设， ， ，解得， ， 凸透镜焦距的长约为． ◆题型七、古代问题 19．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）证得，代入计算求解即可； （2）证得，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∴， 即， 解得． （2）解：如下图所示， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 20．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是：如图，一座正方形城池，在各边的中点开门．A为北门的中点，出北门往正北方向走30步（“步”为古代的长度单位），有一棵树木（点B）．C为西门的中点，出西门往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题． 【答案】正方形城池的边长为300步 【分析】根据题意可得∠BAE=∠ECD=90°，BA//EC，则可证明△BAE∽△ECD，   得到AE∶CD=BA∶EC，设正方形城池的边长为x步，则，解方程即可． 【详解】解：由题意知：∠BAE=∠ECD=90°， ∴BA//EC, ∴∠B=∠DEC， ∴△BAE∽△ECD，    ∴AE∶CD=BA∶EC， 设正方形城池的边长为x步，则 ， 解得，x1=300，x2=-300（舍去）， 所以正方形城池的边长为300步， 答：正方形城池的边长为300步． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 【答案】． 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． ◆题型八、裁剪问题 22．有一块直角三角形木板如图所示，两直角边长为：    ．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁剪才能使正方形的面积最大？ 【答案】当正方形的边分别在上，点E在上时，正方形的边长为，此时正方形面积最大，最大为. 【分析】先设计方案，有两种方案.方案一，如图①，设正方形边长为x，根据列比例式求出x，即可求出.方案二，如图②，做于H交于M.由，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式求出x，即可求出.两种方案做比较即可找到是正方形面积最大的方案. 【详解】方案一： 如图①，正方形的边分别在上，点E在上.设正方形的边长为x, ∵∠EFB＝∠C＝90，∠B＝∠B， 则 此时. 方案二： 如图②，正方形的边在上，D点、G点分别在边和边上. 作，交于M点， 设的边长为x， ∵Rt中， . 又 得 此时 ∴方案一面积最大，最大为. 【点睛】本题是一个通过设计方案求最大值问题，主要考查了相似三角形的判定和性质.解题的关键是要能正确设计出两种方案，并分别计算出两种方案正方形的边长. 23．一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2 【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC⊥BD， ∴小风筝的面积S＝AC•BD＝×12×14＝84（cm）2； （2）∵小风筝与大风筝形状完全相同， ∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′， ∴△ABCD∽△A′B′C′D′， ∵它们的对应边之比为1：3， ∴A′C′＝3AC＝42cm， 同理B′D′＝3BD＝36cm， ∴至少需用42+36＝78cm的材料； （3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm）2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 24． 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：略； 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． ◆题型九、生活实际问题 25．随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度，窗高，并测得．请根据以上测量数据，求环保宣传牌的高度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据题意，得，设，证明，列式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ，即， 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：的高度是． 26．数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，组织了一次特别的实践活动——测量校园旗杆的高度．实践过程如下表： 主题 测量旗杆的高度 测量方案及示意图 步骤1：把一根长米的标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米． 根据上表的信息，求旗杆的高度．（结果保留整数）． 【答案】旗杆的高度约为9米 【分析】本题考查相似三角形的应用，结合题意和示意图分析出比例线段是解题关键． 根据示意图可得，，，利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得， ∴，解得， ∴旗杆的高度约为9米． 27．项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 【答案】围墙的高为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键． 证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴围墙的高为米． ◆题型十、三角形的内接矩形问题 28．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中位线的性质得到，再证明，可得三角形，利用面积之差，即可解答； （2）设，同（1）中原理表示出，再列方程，即可求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 29．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 【答案】(1)正方形零件的边长为； (2)矩形的周长为． 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，则，利用矩形的性质可得得，即，可求得，最后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为； （2）解：∵， ∴设，则， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ∴，解得：， ∴，则， ∴矩形的周长是． 30．如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．    (1)求证：； (2)当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵ ，， ∴， ∵矩形和矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴ (2)①； ②存在，最小值是 【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可； （2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：    此时，， ①∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 即， ∴； ②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，    由旋转可得：， ∴， ∴， ∴, 过P作于S，则 ，， ∴，则 ， ∴， ∴， ∵，即， 当C、P、K、L四点共线时，的长最小， 由题意，，， ，， 过点L作垂直的延长线于点Q， ， ∴，， 则， 在中，根据勾股定理得， ∴的最小值为. 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键. ◆题型十一、相似三角形中的最值问题 31．皮埃尔·德·费马是世纪法国著名的数学家，年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图，为内一点，连接，是否存在一点，使最小，最小值为多少？ 对于三个内角均小于的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路： 如图，将绕点顺时针旋转得，则，连接，易证是等边三角形，则，因此，如图，当共线时，最小，即最小． (1)当最小时，___________，若，则的最小值为___________； (2)如图，是锐角内部一点，是线段上一动点，连接，若，求的最小值； (3)如图，是等边内部一点，连接，若等边边长为，直接写出的最小值，并在备用图中作出点的位置（简要说明作法）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用是等边三角形，当共线时，即可求解；过点作交的延长线于，利用勾股定理求解； （2）将绕点顺时针旋转得，则，，连接，过点作于，当共线，且时，求解的值即可； （3）将绕点顺时针旋转，并使，连接，过点作于，当四点共线时，求解即可． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得，则，连接， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴； 过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即的最小值为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得，则，，连接， ∴是顶角为的等腰三角形，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 如图，当共线，且时，最小，即最小． ∵，， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：将绕点顺时针旋转得到，并使，连接， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当四点共线时，最小，最小值为； 在下方作，过点作于，连接，过点作于，在的上方作交于点，点即为所求． 32．某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．    (1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值 (2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值． 【答案】(1)，最小值为 (2)，最小值为 【分析】对于（1），作点A关于直线的对称点，可知，要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即，再根据勾股定理求出答案； 对于（2），作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接，再根据勾股定理，求出，可得，然后确定点的位置，再延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，可得的最小值，最后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）如图所示，作点A关于直线的对称点， ∴． 要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即．    过点E作，交于点F， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 所以的最小值为． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得． 当时，的最小值为． （2）如图所示．作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接， 根据勾股定理，得． ∴四边形是平行四边形， ∴． 要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知点E，，F三点共线时，最小，即． 延长交的延长线于点G． 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得． 当时，的最小值为．    【点睛】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，两点之间线段最短等，勾股定理求线段长的常用方法． 33．问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． ◆题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 34．【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）将，代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，同（2）证明，，得到，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）； 故答案为：； （2） 略 （3）解：如图，过点A作于点H，    ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图） 问题．试在图的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由． 类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面将一个体积为的图形分成体积为V1 、的两个图形，且，则称直线为该图形的黄金分割面． 问题：如图，长方体中，是线段上的黄金分割点，证明经过点且平行于平面的截面是长方体的黄金分割面． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线． （2）根据AT：AB=TB：AT，进而推出S矩形QRST=S矩形BCGF因为AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST从而不难求得截面QRST是长方体的黄金分割面． 【详解】解：如图，先在梯形的中位线上找一个黄金分割点，过点作一条直线交于点，交于，则就是梯形的黄金分割线． ∵， ∴， ∵，，（是梯形的高）， ∴， ∵直线是过的任意一条与，都相交的直线， ∴符合题意的黄金分割线有无穷多条． ∵， ∴， ∵， 即截面将体积为的长方体，分成左右两块体积分别是，， ∴， ∴截面是长方体的黄金分割面． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与黄金分割，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定与黄金分割的知识点. 36．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 【答案】(1) 如图1所示，、即为所求（画出1个即可）， (2) ①；对角线是四边形的“亲子线”，理由如下： ，对角线平分， ， ， 又， ， ， 对角线是四边形的“亲子线”， 故答案为：135； ② (3)或/或 【分析】本题是新定义题型，考查了几何图形的旋转变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想，同时具备一定的画图能力是解题的关键． （1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【详解】（1）由题意得：、、，， 四边形是以为“亲子线”的四边形， ①当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即； ②当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即， 故如图所示，点、即为所求（画出1个即可）； （2）①略 ②， ， ， ， ； （3），由（2）可知为等腰直角三角形，， ， ，， ，且， ，， 第一种情况，如图所示，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即， ； 第二种情况，如图所示，设交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，即， ； 故答案为：或． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②，得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 如图，过作交于，交于E，分别求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出，然后可得的长． 【详解】解：如图，过作交于，交于E， 根据题意可知， ，， ， ， ， ，即， ∴， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设矩形零件的宽为，则长为，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【详解】解：设矩形零件的宽为，则长为， 四边形为矩形， ， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴ 解得：， ，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为(　　) A．24m B．22m C．20m D．18m 【答案】A 【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可． 【详解】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G． 由题意得：． ∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）． ∴GF=BD=CD=6m． 又∵． ∴AG=1.6×6=9.6（m）． ∴AB=14.4+9.6=24（m）． 答：铁塔的高度为24m． 故选A． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度______米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，延长交于H，根据矩形的性质得到米，米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 即旗杆的高度米． 故答案为：12． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______m．    【答案】7.5 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：7.5 9．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． （1）与是否似？______（填“是”或“否”）； （2）旗杆高度为______． 【答案】 是 8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. （1）根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证； （2）根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：（1）如图所示，作，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， 故答案为：是； （2）， . ，，， . . 故答案为：8. 10．（25-26九年级上·河北邢台·期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上，每本书的厚度为，高度为，书架宽为．      （1）________ （2）________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用；先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ∴ ， 解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：，． 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 12．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 13．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 14．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． （1）过点A作于D，交于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，设第1排的隔板长为，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点A作于D，交于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （2）解：①如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， 设第1排的隔板长为， 由阅读理解的结论可得： 解得：； ∴， ∴； ②当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相似三角形的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 题型一、建筑高度问题（高频） 题型二、影长问题（高频） 题型三、河宽问题 题型四、树高问题 题型五、杠杆问题 题型六、实验问题 题型七、古代问题 题型八、裁剪问题 题型九、生活实际问题（高频） 题型十、三角形的内接矩形问题（高频） 题型十一、相似三角形中的最值问题 题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 ◆题型一、建筑高度问题 1．综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量 过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的李彤的影长为2.4米，同时测得旗杆的影长为22.5米. 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部.小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为1.5米，王慧到镜子的距离为2.1米，旗杆到镜子的距离为21米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为1.55米，他与旗杆之间的距离为40.35米. 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案A测得旗杆的高度为____________米； (2)请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 2．某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 3．根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．    问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．    任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．    ◆题型二、影长问题 4．为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） (1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； (2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； (3)若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 5．如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 6．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． ◆题型三、河宽问题 7．某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 8．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 9．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． ◆题型四、树高问题 10．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 11．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 12．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． ◆题型五、杠杆问题 13．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压______．    14．如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为___________． 15．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ ◆题型六、实验问题 16．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 17．综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 18．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． ◆题型七、古代问题 19．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 20．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是：如图，一座正方形城池，在各边的中点开门．A为北门的中点，出北门往正北方向走30步（“步”为古代的长度单位），有一棵树木（点B）．C为西门的中点，出西门往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题． 21．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． ◆题型八、裁剪问题 22．有一块直角三角形木板如图所示，两直角边长为：    ．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁剪才能使正方形的面积最大？ 23．一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 24． 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． ◆题型九、生活实际问题 25．随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度，窗高，并测得．请根据以上测量数据，求环保宣传牌的高度． 26．数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，组织了一次特别的实践活动——测量校园旗杆的高度．实践过程如下表： 主题 测量旗杆的高度 测量方案及示意图 步骤1：把一根长米的标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米． 根据上表的信息，求旗杆的高度．（结果保留整数）． 27．项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． ◆题型十、三角形的内接矩形问题 28．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 29．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 30．如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．    (1)求证：； (2)当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． ◆题型十一、相似三角形中的最值问题 31．皮埃尔·德·费马是世纪法国著名的数学家，年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图，为内一点，连接，是否存在一点，使最小，最小值为多少？ 对于三个内角均小于的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路： 如图，将绕点顺时针旋转得，则，连接，易证是等边三角形，则，因此，如图，当共线时，最小，即最小． (1)当最小时，___________，若，则的最小值为___________； (2)如图，是锐角内部一点，是线段上一动点，连接，若，求的最小值； (3)如图，是等边内部一点，连接，若等边边长为，直接写出的最小值，并在备用图中作出点的位置（简要说明作法）． 32．某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．    (1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值 (2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值． 33．问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） ◆题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 34．【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 35．如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图） 问题．试在图的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由． 类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面将一个体积为的图形分成体积为V1 、的两个图形，且，则称直线为该图形的黄金分割面． 问题：如图，长方体中，是线段上的黄金分割点，证明经过点且平行于平面的截面是长方体的黄金分割面． 36．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∴， ∴，即， 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为　　 A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为(　　) A．24m B．22m C．20m D．18m 6．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度______米． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______m．    9．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． （1）与是否似？______（填“是”或“否”）； （2）旗杆高度为______． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上，每本书的厚度为，高度为，书架宽为．      （1）________ （2）________ 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 12．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 13．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 14．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $