3.2.1配方法第1课时 教学设计 2026-2027学年湘教版数学 九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，核心知识点为掌握形如x²=p和(x+n)²=p的方程解法。通过复习平方根概念，以“方程x²=25怎么解”设问，搭建平方根知识到降次求解的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于突出“降次”“整体思想”，如例2解方程(x-3)²=16时将(x-3)看作整体开方，强化推理意识与运算能力。课堂练习设计阶梯式例题和对比纠错，如辨析漏写负根的错误，培养规范解题习惯。资料结构清晰，步骤模板化，助力教师高效教学，帮助学生夯实配方法基础。

3.2.1配方法第1课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 三 课题 3.2.1配方法第1课时 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于数与代数领域方程与不等式板块,要求学生理解平方根的意义,掌握形如、的一元二次方程的解法；经历“降次”转化的思维过程,体会化归与转化思想；能正确、规范地求解方程并检验根的合理性；发展运算能力、推理意识与数学表达能力,为后续完整配方法、公式法的学习做好铺垫,建立解一元二次方程的基本思路。 教材分析 本节是一元二次方程解法的起始课时,属于配方法的第一阶段,核心是学习直接开平方法。教材从入手,利用平方根意义实现降次,再逐步拓展到的形式,层层递进。内容突出“降次”这一核心思想,把一元二次方程转化为一元一次方程求解,既是对平方根知识的应用,也是完整配方法的前提与基础。教材设计由简到难、由特殊到一般,强调算理理解与步骤规范,为后续配方、公式推导、因式分解法奠定思维基础。 学情分析 九年级学生已掌握平方根概念、一元一次方程解法及一元二次方程定义,具备基本运算能力。但对“降次”思想缺乏认识,容易漏写负根；对整体代换理解不深；移项、系数化为1时易出现符号与计算错误。学生习惯于机械计算,对“先看成整体再开方”的思路需要强化训练,适合阶梯式例题、对比纠错、步骤模板化的教学方式。 教学目标 1.理解直接开平方法的算理,掌握、两类方程的解法,能正确求出方程的根。 2.体会“降次”“化归”的数学思想,理解将一元二次方程转化为一元一次方程的本质。 3.规范书写解题步骤,养成检验、不漏根、不写错符号的良好运算习惯。 4.能解决简单的古代数学、面积等实际问题,提升方程应用意识。 教学重点 1.直接开平方法解形如和的方程。 2.理解开平方后必须写出正负两个根,不丢解。 教学难点 整体思想的运用：把看成一个整体开方,以及对条件的理解。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 复习回顾 1.若,则叫做的什么？ 2.平方根有几个？它们的关系是什么？ 探究问题 方程怎么解？你能利用平方根知识求出吗？ 答案 1.平方根。 2.正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0。 3.移项得,开方得,即。 回顾平方根的意义与性质,为直接开平方法做好知识铺垫。 回忆并表述平方根概念,完成基础回顾。 以旧引新,搭建平方根到方程解法的转化桥梁。 讲授新课 探究活动一:一元二次方程的解 思考：将本章3.1节“思考”栏目列出的方程整理得,如何求解此方程呢？ 解:移项,得. 这表明是的平方根,根据平方根的意义,得或, 即. 归纳：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.和就是方程的根. 把一元二次方程的所有根都求出来,叫作解一元二次方程. 解一元二次方程,实质上是求用哪个数代入,能够使得方程左边的值与右边的值相等. 方法总结: 1.求解依据：平方根的意义,即若,则。 2.核心思想：降次,将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 3.关键结论：使方程左右两边相等的未知数的值,就是一元二次方程的根。 引导利用平方根意义解方程,归纳方程的解与根的概念。 尝试解方程,理解方程的解（根）的含义。 从具体方程入手,建立“降次”求解的初步认知。 探究活动二:用直接开平方法解一元二次方程 例1：解方程：. 解原方程经过移项,左右两边同除以,得 . 根据平方根的意义,得 或, 因此,原方程的根为 . 说一说：如何解方程? 根据平方根的意义得或, 即或.解得. 例2：解方程：. 解：根据平方根的意义,得或, 即. 注意：通过“降次”,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 做一做： 解方程：. 解：把方程写成, 根据平方根的意义,得或, 即, 因此,原方程的根为,. 总结归纳: 1.适用类型：形如或 的方程。 2.解题步骤：移项→系数化为 1→直接开平方→解一元一次方程。 3.易错提醒：开方必须写±,右边常数时方程无实数根。 4.整体思想：把含未知数的式子看作一个整体再开方。 示范移项、系数化为1、整体开方的规范步骤,强调“±”不遗漏。 模仿步骤解方程,掌握整体代换与开方操作。 规范解题流程,突破“整体开方”与“不漏负根”的难点。 课堂练习 课堂练习 1.下列是方程的解的是(　　) A.x=-1　　　　B.x=1 C.x=-2　　　　D.x=2 2.若a是的一个根,则的值是(　　) A.2020　　　　B.2021　　　　 C.2022　　　　D.2023 3.若一元二次方程的一个根与一次项系数的和为1,则　　　　. 4.(1)完成下列表格: -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)观察表格,直接写出方程和的根. 5.老师出示问题:“解方程”,四位同学给出了以下答案:小琪:;子航:;一帆:;萱萱:.其中答案正确的是(　　) A.小琪　　　　B.子航　　　　 C.一帆　　　　D.萱萱 6.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程为,则另一个一元一次方程为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 7.若关于的方程有两个实数根,则的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 8.解下列方程: (1);　　　　(2); (3). 9.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程的根,则此三角形的周长为(　　) A.17　　　　B.11　　　　 C.15　　　　D.11或15 10.已知为方程的根,那么的值为(　　) A.-2022　　　　B.0　　　　 C.2022　　　　D.4044 11.若关于x的一元二次方程有一个根为,则一元二次方程必有一根为　　　　. 1.A　 A.当x=-1时,左边=3-1-2=0=右边,∴x=-1是原方程的解;B.当x=1时,左边=3+1-2=2≠右边, ∴x=1不是原方程的解;C.当x=-2时,左边=3×4-2-2=8≠右边,∴x=-2不是原方程的解;D.当x=2时,左边=3×4+2-2=12≠右边,∴x=2不是原方程的解.故选A. 2.D　 ∵a是x2-3x-2022=0的一个根,∴a2-3a-2022=0, ∴a2-3a=2022,∴a2-3a+1=2022+1=2023.故选D. 3.-2 解析　根据一元二次方程的定义,得a=2,∴方程的一般形式为x2-x+b=0,即一次项系数为-1.又∵方程的一个根与一次项系数的和为1,∴方程的一个根为1-(-1)=2.把x=2代入方程,得4=2-b,解得b=-2. 4.解析　(1)完成表格如下: x -3 -2 -1 0 1 2 3 x2-2x 15 8 3 0 -1 0 3 (2)方程x2-2x=0的两根为x1=0,x2=2. 方程x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3. 5.D　 原方程可化为x2=16,根据平方根的意义,得x=±4.因此原方程的根为x1=4,x2=-4,故选D. 6.D　 方程两边直接开平方,得x+6=3或x+6=-3.故选D. 7.B　 ∵(x+5)2≥0,∴m-1≥0,解得m≥1.故选B. 8.解析　(1)原方程可化为x2=4. 根据平方根的意义,得x=2或x=-2. 因此,原方程的根为x1=2,x2=-2. (2)原方程可化为(y-5)2=36. 根据平方根的意义,得y-5=6或y-5=-6. 因此,原方程的根为y1=11,y2=-1. (3)原方程可化为=. 根据平方根的意义,得1x=或1x=. 因此,原方程的根为x1=-2,x2=12. 9.C　 解方程(x-3)2=4,得x1=5,x2=1.当x=5时,三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;当x=1时,6-4=2>1,不能构成三角形,则此三角形的周长是15.故选C. 10.B　 ∵m为方程x2+3x-2022=0的根,∴m2+3m-2022=0, ∴m2+3m=2022, ∴原式=m3+3m2-m2-3m-2022m+2022 =m(m2+3m)-(m2+3m)-2022m+2022 =2022m-2022-2022m+2022 =0.故选B. 11.x=2022 解:对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+2=0,设t=x-1,所以at2+bt+2=0,因为关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一个根为x=2021,所以at2+bt+2=0有一个根为t=2021,则x-1=2021,解得x=2022,所以一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2必有一根为x=2022. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.一元二次方程的解（根）：能使方程左右两边相等的未知数的值。 2.直接开平方法：利用平方根意义,把二次方程降次为一次方程求解。 3.两种标准形式： · · 4.核心思想：降次思想、整体思想、转化思想。 5.注意事项： · 开平方要写正负根,不可漏解； · 右边为负数时,方程无实数根。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 3.2.1 配方法（第 1 课时）—— 直接开平方法 1. 依据：平方根的意义 2. 类型： · · 3. 步骤：移项→化 1→开方→求解 4. 关键：开方必写±,无解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 作业设计 基础达标: 1.一元二次方程的解为( ) A. B. C. D. 2.若代数式的值为,则x的值一定为( ) A.3B.±3C.-3D.± 3.一元二次方程的解是____. 4.若关于x的一元二次方程有一个根为0,求m的值. 5.关于x的方程有解的条件是( ) A.m为任意实数,b>0 B.m为任意实数,b≥0 C.m>0,b>0 D.m<0,b>0 6.如果一个一元二次方程的根是,那么这个方程是( ) A. B. C. D. 能力提升: 7.方程的根是____. 8.解方程：. 9.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容. 解方程： 解：,　① ,　② .　③ 上述过程中有没有错误？若有,错在步骤________(填序号) 原因是______________________. 请写出正确的解答过程. 10.若方程的两根分别为a,b,且,则下列结论中正确的是( ) A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a-5是19的算术平方根 D.b＋5是19的平方根 11.若与互为倒数,则实数为( ) A.x=± B.x=±1 C.± D.± 12.规定运算：对于函数(n为正整数),规定.例如：对于函数,有.已知函数,满足的的值为( ) A. B. C. D. 拓展迁移: 13.若一元二次方程的两个根是与,则____. 14.若关于x的一元二次方的一个根为1,则方程的解为____. 15.解方程： (1). (2). 16.已知方程的一个根是3,求m的值及方程的另一个根. 1.B; 2.B; 3., 4.解:将代入方程,得,解得. , , 综上所述：m=2. 5.B; 6.C; 7.x1=1,x2=-3; 8.解:∵6(x-1)2-54=0, ∴6(x-1)2=54, ∴(x-1)2=9, 得x-1=3或x-1=-3, 解得x1=4,x2=-2. 9.解:有,错在步骤②,原因是正数的平方根有两个,它们互为相反数. 答案：②　正数的平方根有两个,它们互为相反数 正确的解答过程为(x-1)2=4, x-1=±2, x1=3,x2=-1. 10.C; 11.C; 12.C; 13.49; 14.x1=0,x2=2; 15.解:(1)由原方程,得x2=,则x=±. 所以x1=,x2=-. (2)移项,得12(3-2x)2=3, 即(3-2x)2=. ∵3-2x是的平方根, ∴3-2x=±. 即3-2x=,3-2x=-, ∴x1=,x2=. 16.解:∵方程x2＋(m-1)x＋m-10=0的一个根是3, ∴9＋3(m-1)＋m-10=0, 即4m-4=0,解得m=1, 可得方程x2-9=0, 解得x=±3, 所以方程的另一个根为-3. 教学反思 本节课以平方根旧知引入,聚焦直接开平方法,突出“降次”核心思想,步骤清晰、训练扎实,紧扣2022新课标强化运算素养。教学中重视整体代换、不漏根、规范书写等关键点,通过例题变式及时纠错。但部分学生仍存在开方漏负号、整体代换不熟练、移项符号错误、不会检验等问题,对p<0时方程无解理解不够。后续应加强对比训练,强化步骤模板,增加易错点当堂过关练习,夯实基础,为完整配方法做好准备。 学科网（北京）股份有限公司 $