第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 第二章等式与不等式单元复习提升卷，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查一元二次方程、不等式解法及实际应用，培养数学推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|一元二次方程根的判别、不等式性质、基本不等式|单选基础如第1题根的情况，多选综合辨析如第11题条件最值| |填空题|3题/15分|充分必要条件、实际问题不等式组|第13题以洪灾捐款为情境，体现数学建模| |解答题|5题/77分|函数与不等式、集合与命题、实际应用最值|第18题物流费用结合函数与不等式求最值，第19题定义集合长度创新考查解集|

第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C C C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．必要不充分 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或． （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为． 16．【解析】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 17．【解析】（1）解，得或，则集合， 题意得，是的解， 即，解得或， 当时，，即，，满足题意， 当时，，即，，满足题意， 故或. （2）若集合中有2个元素，则二次函数有2个解， 即，解得， 由韦达定理得， 则. （3）若，则集合是集合的子集， 由（1）知集合， ①当集合，此时无解， 有，解得； ②当集合，则有，解得， 且，解得，此时的取值冲突，故舍； ③当集合，则有，解得或， 且，解得，故此时； ④当集合，则有，解得， 此时的取值冲突，故舍； 综上，的取值范围是 18．【解析】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 19．【解析】（1）由，得， 因为，所以，即， 则不等式解集的长度为4． （2）集合P的长度， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （3）由，得， 由题知关于x的方程的两根为和，则，， 则， 由，得，即， 因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 所以不等式Ω解集的长度l的取值范围为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．若成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5．已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 7．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 10．设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则“”是“”的______条件. 13．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 14．已知正实数满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 16．（15分） 已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 17．（15分） 设集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用表示） (3)若，求实数的取值范围． 18．（17分） 现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 19．（17分） 定义集合，，，的长度均为，其中． (1)求不等式解集的长度； (2)求集合的长度的最小值； (3)若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根 2．若成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为成立， 所以，等价于， 解得， 所以实数的取值范围是． 3．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，而，则. 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 5．已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 6．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 7．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 8．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【解析】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，，则，A正确； B选项，，故，B正确； C选项，不妨设，则，C错误； D选项，， 因为，所以，故， 所以，D正确. 故选：ABD 10．设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11．已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，利用"1的代换"可得： ， 等号成立条件： ，即 ，代入 得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将 代入得： ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：， 因此原式化简为： 令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则“”是“”的______条件. 【答案】 必要不充分 【解析】首先求解不等式： 将不等式变形为，解得或； 充分性判断：若成立，的取值可能为，无法推出，因此充分性不成立； 必要性判断：若成立，对不等式两边同时平方可得，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 13．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【解析】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 14．已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【解析】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【解析】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或． （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为． 16．（15分） 已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 【解析】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 17．（15分） 设集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用表示） (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）解，得或，则集合， 题意得，是的解， 即，解得或， 当时，，即，，满足题意， 当时，，即，，满足题意， 故或. （2）若集合中有2个元素，则二次函数有2个解， 即，解得， 由韦达定理得， 则. （3）若，则集合是集合的子集， 由（1）知集合， ①当集合，此时无解， 有，解得； ②当集合，则有，解得， 且，解得，此时的取值冲突，故舍； ③当集合，则有，解得或， 且，解得，故此时； ④当集合，则有，解得， 此时的取值冲突，故舍； 综上，的取值范围是 18．（17分） 现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【解析】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 19．（17分） 定义集合，，，的长度均为，其中． (1)求不等式解集的长度； (2)求集合的长度的最小值； (3)若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 【解析】（1）由，得， 因为，所以，即， 则不等式解集的长度为4． （2）集合P的长度， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （3）由，得， 由题知关于x的方程的两根为和，则，， 则， 由，得，即， 因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 所以不等式Ω解集的长度l的取值范围为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $