第二章 等式与不等式（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第二章“等式与不等式”基础通关单元卷，涵盖不等式性质、解法、充分必要条件等核心知识点，适配单元复习，注重基础巩固与数学思维培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|基本不等式求最值、充分必要条件判断|结合多地区检测题，基础与能力题梯度分布| |多选题|3|不等式性质、命题真假判断|考查逻辑推理，体现数学思维严谨性| |填空题|3|不等式恒成立、解集、韦达定理|聚焦运算能力，强化基础应用| |解答题|5|取值范围、命题真假、一元二次方程根问题|综合考查数学语言表达与问题解决，贴近真题趋势|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B C A C B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 CD AB ABD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1），， ， ；（7分） （2）， ．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）若是真命题，则 ，得，（4分） 故实数的取值范围为.（7分） （2）若是假命题，则 ， 是真命题，（10分） 由 解得，即实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） （1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得，（3分） ∴的取值范围为；（7分） （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，（10分）∴方程为，∴．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立.（2分） 当时，，则，解集不是实数集，故排除.（4分） 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即：（6分） ，，即，（8分） 解得，综合，可得，即.（9分） （2）， 不等式两边同时除以，，.（11分） 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为；（13分） 当时，即，此时解集为；（15分） 当时，即，此时解集为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由得到， 由得到或，（2分） 当时，得到恒成立，所以满足题意，（4分） 当时，得到，解得，不合题意，（6分） 当时，由题有，解得或，（8分） 综上，实数的取值范围为或；（9分） （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或，（12分） 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，（15分） 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（21-22高二下·江西鹰潭·期末）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·河南·期末）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 11．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 13．（25-26高一上·上海·阶段检测）不等式的解为________ 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知方程的两个根为，，则________ 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．（第03讲全称量词命题与存在量词命题（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 17．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 18．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 19．（25-26高二下·上海·期末）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 2．（21-22高二下·江西鹰潭·期末）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由得，则，所以集合， 集合， 显然是的子集，所以A是B必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，由补集和交集的定义求. 【详解】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若且，则，故必要性成立； 若，则满足，但不满足，故充分性不成立． 因此“”是“且”的必要不充分条件． 5．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 6．（25-26高一下·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证： 方法一：十字相乘法因式分解 二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分 满足一次项系数要求：， 故因式分解结果为： 方法二：对选项逐个展开验证即可. 7．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 8．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、多选题 9．（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10．（25-26高二下·河南·期末）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 11．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 【答案】ABD 【分析】结合充分必要条件判定、不等式性质、基本不等式求最值、特称命题的否定四个知识点，逐一分析选项即可得出结论. 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】由绝对值的几何意义知，当且仅当时等号成立， 对于任意的实数，不等式恒成立， 所以，即的取值范围为. 13．（25-26高一上·上海·阶段检测）不等式的解为________ 【答案】 【详解】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【详解】由题设，则. 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 16．（第03讲全称量词命题与存在量词命题（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 17．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得， ∴的取值范围为； （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，∴方程为，∴． 18．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 19．（25-26高二下·上海·期末）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（21-22高二下·江西鹰潭·期末）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·河南·期末）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 11．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 13．（25-26高一上·上海·阶段检测）不等式的解为________ 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知方程的两个根为，，则________ 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．（第03讲全称量词命题与存在量词命题（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 17．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 18．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 19．（25-26高二下·上海·期末）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $