第二章 等式与不等式复习讲义（高效培优讲义）（13大题型）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，分层呈现等式与不等式性质、一元二次不等式、均值不等式等7个核心知识点，用对比表格明晰二次函数、方程与不等式的关系，构建系统知识脉络并突出含参不等式解法等难点。 讲义亮点在于13类题型的典例与变式设计，如“作差法比较大小”“基本不等式‘1’的妙用”，引导学生通过推理分析培养数学思维，结合“一正二定三相等”等方法指导强化模型意识。基础题与综合题兼顾，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第二章 等式与不等式复习讲义 教学目标 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解基本不等式 教学重难点 1. 重点 （1）两个实数大小关系的基本事实的理解和运用 （2）掌握不等式性质及其应用 （3）一元二次不等式解法 （4）基本不等式 2. 难点 （1）从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用 （2）一元二次不等式含参数解法 （3）基本不等式的灵活应用 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： ，这一关系式也被称为韦达定理. 知识点02 不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 知识点03 绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作 ②绝对值不等式几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当时，关于的不等式的解为或，因此解集为 ②关于的不等式的解为，因此解集为. 知识点04 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点06 分式不等式 1、定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 知识点07 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 题型01一元二次根与系数的关系的应用 【典例1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【解析】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 【变式1-1】（2026·高二·河北张家口·阶段检测）设，，为方程的两个解，则的最小值为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【解析】由，为方程的两个解，所以， 故， 当且仅当时等号取得到， 故最小值为32， 故选：D 【变式1-2】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 所以，即， 因为，， 所以和是方程的两个根， 所以，即， 故选：B 【变式1-3】（2026·高一·重庆·开学考试）设是方程的两根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程的判别式为， 所以， 因此， 故选：C. 题型02 作差法比较大小 【典例2】（2026·高一·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【解析】，故 【变式2-1】（2026·高一·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 【变式2-2】已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 【变式2-3】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 题型03 根据不等式求取值范围 【典例3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 【变式3-1】（2026·高一·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，解得. ，，相加得. 【变式3-2】（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为则， 又，两式相加得， 所以. 故选：D 【变式3-3】（2026·高一·陕西·阶段检测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，解得. 因为，，所以， 即的取值集合为． 故选：D 题型04一元二次不等式（不含参） 【典例4】（2026·高一·河南周口·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】，解得或， 所以不等式的解集为或 【变式4-1】不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】将原不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 【变式4-2】（2026·高一·陕西·阶段检测）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为甲写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以. 因为乙写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以，即. 所以原不等式为，解得. 故选：D. 【变式4-3】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解析】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 题型05 一元二次不等式（含参） 【典例5】若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 【变式5-1】（多选题）(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】ABD 【解析】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 【变式5-2】（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 【变式5-3】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 题型06 分式不等式 【典例6】不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 【变式6-1】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】与同解，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高一·海南三亚·阶段检测）不等式的解集为______. 【答案】 【解析】移项并通分得： ， 因此，等价于， 解得：. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·高一·湖北黄冈·期中）不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】令，则原不等式： 展开得： 化简得：， 即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负， 即可得或， 解得或； 故，代回： ，，整理得. 故答案为： 题型07 含有一个绝对值的不等式 【典例7】（2026·高一·江苏泰州·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】因为，所以或， 即或，所以或， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 【变式7-1】（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解集为________ 【答案】 【解析】令，解得， 则当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得. 故不等式的解集为. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高一·江西吉安·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】作出函数和的图象如图所示， 依题意应有，即得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 【变式7-3】（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 【答案】 【解析】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 题型08 含有两个绝对值的不等式 【典例8】（2026·高一·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 【变式8-1】（2026·高一·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由，分三类讨论： （1）当时，，所以；不符合题意； （2）当时，，所以，符合题意； （3）当时，，所以，不符合题意； 综上可知，当等号成立时的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】不等式化为：或或， 解得或或， 因此，所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式8-3】（2026·高一·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】， 当时，，解得，故； 当时，，不成立； 当时，，解得，故； 综上所述：， ，则或， 由题意可得：，解得，即. 故答案为：. 题型09 基本不等式中“1”的妙用 【典例9】（2026·高二·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 【变式9-1】（2026·高二·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式9-2】已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 【变式9-3】（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 题型10 基本不等式（凑配法） 【典例10】（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式10-1】（2026·高二·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 【变式10-2】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【解析】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【变式10-3】（2026·高一·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为： 题型11 基本不等式（换元法） 【典例11】（2026·高二·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【解析】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 【变式11-1】（2026·高二·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【答案】 【解析】由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为 【变式11-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【变式11-3】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 题型12 基本不等式（消元法） 【典例12】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式12-1】设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 【变式12-2】（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式12-3】（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 题型13 基本不等式（商式） 【典例13】（2026·高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【变式13-1】（2026·高三·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【解析】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式13-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设为正实数，若则的最大值是__________. 【答案】 【解析】由，则，当且仅当，即取等号， 同时，故，则且， ， 当且仅当，即，则或时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 【变式13-3】（2026·高三·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 1．（2026·高一·四川自贡·开学考试）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以不等式的解集为. 2．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．（2026·高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】的解为或5， 故不等式的解集为或 4．（2026·高一·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 5．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式，得，即命题. 因为能推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件. 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 7．（2026·高一·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【解析】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 8．（2026·高一·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 9．（多选题）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 【答案】BD 【解析】对于A，因为，即，所以. 如，，，，此时不成立. 综上，A错误. 对于B，若，同号，则，，所以， 当且仅当即时等号成立，B正确. 对于C，如，，，，此时不成立，C错误. 对于D，若，，则，当且仅当时等号成立. 而，所以等号取不到，所以若，，且，则，D正确. 10．（多选题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【答案】ACD 【解析】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 11．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 12．（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）不等式组解集为______ ． 【答案】 【解析】解不等式：得：， 解不等式：得：， 所以不等式组的解集为． 13．（2026·高一·四川遂宁·开学考试）关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 整理得，即， 所以， 所以不等式的解集为. 14．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）的最小值为_____________． 【答案】 【解析】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 15．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）（1）已知集合，．求，； （2）已知，，求与的范围． 【解析】（1）由集合，，所以或， 则得，； （2）根据题意，，， 所以，，可得， 因，，可得． 16．（2026·高一·吉林长春·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以或， 又因为， 所以或. （2）化简得，. 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以或，可解得或， 所以实数a的取值范围是. 17．（2026·高一·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 1．（2026·高一·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 2．（2026·高一·浙江台州·期末）关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】充分性：若，抛物线与开口方向相反， 所以关于的一元二次不等式与的解集为； 必要性：当两个不等式的解集相同时，系数不一定成比例， 例如：不等式解集为，不等式解集也为，但对应系数不成比例. 综上所述，“”是“”的既不充分又不必要条件. 3．（2026·高二·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5．（2026·高一·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 6．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知, 是的必要不充分条件， 7．（2026·高三·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 8．（2026·高一·山东德州·期末）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，， 中，， 即，整理为， ， 当且仅当，时等号成立， 所以面积的最大值为. 9．（多选题）（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 【答案】BCD 【解析】选项A中有理数包括正数，负数和0，而集合中不包含负数，故A错. 选项B中素数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的自然数，2是素数且2是偶数，所以所有的素数不都是奇数是真命题，故B对. 选项C中即得，所以，故C对. 选项D中，所以，所以，又因为，所以，故D对. 10．（多选题）（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【解析】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·湖南·期中）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】因为，所以，故. 当时，，， 所以，，， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，A正确，B错误. 当时，，， 所以，，， 解得（舍去）或， 所以的最大值为，D正确，C错误. 12．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【解析】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 13．（2026·高二·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【解析】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 14．（2026·高二·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【解析】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 15．（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【解析】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 16．（2026·高一·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【解析】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 17．（2026·高一·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【解析】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式复习讲义 教学目标 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解基本不等式 教学重难点 1. 重点 （1）两个实数大小关系的基本事实的理解和运用 （2）掌握不等式性质及其应用 （3）一元二次不等式解法 （4）基本不等式 2. 难点 （1）从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用 （2）一元二次不等式含参数解法 （3）基本不等式的灵活应用 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： ，这一关系式也被称为韦达定理. 知识点02 不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 知识点03 绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作 ②绝对值不等式几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当时，关于的不等式的解为或，因此解集为 ②关于的不等式的解为，因此解集为. 知识点04 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点06 分式不等式 1、定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 知识点07 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 题型01一元二次根与系数的关系的应用 【典例1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【变式1-1】（2026·高二·河北张家口·阶段检测）设，，为方程的两个解，则的最小值为（    ） A． B． C．16 D．32 【变式1-2】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·重庆·开学考试）设是方程的两根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 题型02 作差法比较大小 【典例2】（2026·高一·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【变式2-1】（2026·高一·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 题型03 根据不等式求取值范围 【典例3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·浙江台州·阶段检测）已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·陕西·阶段检测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型04一元二次不等式（不含参） 【典例4】（2026·高一·河南周口·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-1】不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【变式4-2】（2026·高一·陕西·阶段检测）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 题型05 一元二次不等式（含参） 【典例5】若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选题）(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【变式5-2】（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 题型06 分式不等式 【典例6】不等式的解集是________． 【变式6-1】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为___________． 【变式6-2】（2026·高一·海南三亚·阶段检测）不等式的解集为______. 【变式6-3】（2026·高一·湖北黄冈·期中）不等式的解集为__________. 题型07 含有一个绝对值的不等式 【典例7】（2026·高一·江苏泰州·期中）不等式的解集为_____. 【变式7-1】（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解集为________ 【变式7-2】（2026·高一·江西吉安·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式7-3】（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 题型08 含有两个绝对值的不等式 【典例8】（2026·高一·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【变式8-1】（2026·高一·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【变式8-2】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为______． 【变式8-3】（2026·高一·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 题型09 基本不等式中“1”的妙用 【典例9】（2026·高二·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【变式9-1】（2026·高二·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【变式9-2】已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【变式9-3】（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 题型10 基本不等式（凑配法） 【典例10】（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【变式10-1】（2026·高二·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【变式10-2】若，则函数的最小值为_____. 【变式10-3】（2026·高一·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 题型11 基本不等式（换元法） 【典例11】（2026·高二·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【变式11-1】（2026·高二·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【变式11-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【变式11-3】已知实数，满足，则的最大值为_____. 题型12 基本不等式（消元法） 【典例12】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【变式12-1】设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【变式12-2】（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【变式12-3】（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 题型13 基本不等式（商式） 【典例13】（2026·高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【变式13-1】（2026·高三·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【变式13-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设为正实数，若则的最大值是__________. 【变式13-3】（2026·高三·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 1．（2026·高一·四川自贡·开学考试）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·高一·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 7．（2026·高一·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 8．（2026·高一·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 10．（多选题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 11．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）不等式组解集为______ ． 13．（2026·高一·四川遂宁·开学考试）关于的不等式的解集为__________． 14．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）的最小值为_____________． 15．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）（1）已知集合，．求，； （2）已知，，求与的范围． 16．（2026·高一·吉林长春·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 17．（2026·高一·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 1．（2026·高一·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江台州·期末）关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026·高二·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·高一·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·高一·山东德州·期末）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为（      ）． A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 10．（多选题）（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 11．（多选题）（2026·高一·湖南·期中）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 12．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 13．（2026·高二·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 14．（2026·高二·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 15．（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 16．（2026·高一·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 17．（2026·高一·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $