第三章 再练一课(范围：§3.1)-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

再练一课(范围：§3.1) 1．以下四个图形中，可以作为函数y＝f(x)的图像的是(　　) 答案　D 解析　根据函数的定义知，对于定义域内的任一变量，都有唯一的函数值和其对应，显然选项A，B，C中均有一个变量对应多个值，即错误，故选D. 2．设函数f(x)＝则f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　由题意得f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0－20＝－1. 3．函数y＝的定义域为(　　) A．(－2，－1)∪(1,2) B．(－，－1)∪(1，) C. D．[－，－1)∪(1，] 答案　C 解析　要使得函数有意义，则1－2x2≥0， 解得x∈. 4．已知f ＝，则f(x)的解析式为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　令t＝，得x＝， ∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝. 5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 答案　D 解析　由f(x)为奇函数可知， ＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. ∴当x>0时，f(x)<0＝f(1)； 当x<0时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数． ∴0<x<1，或－1<x<0. 6．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________. 答案　2x－ 解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b， 依题设，得3ax＋3a＋3b＝6x＋4， ∴∴ 则f(x)＝2x－. 7．已知f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________. 答案　－ 解析　当x≤0时，由x2＋4＝10，得 x＝－，或x＝(舍去)， 当x>0时，由－3x＝10，得x＝－(舍去)．故x＝－. 8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________． 答案　－3或 解析　由题意知，f(x)的对称轴为直线x＝－1. 当a>0时，f(x)的最大值为f(2)＝4，解得a＝； 当a<0时，f(x)的最大值为f(－1)＝4，解得a＝－3. 综上，a＝或a＝－3. 9．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式． 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3， ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴解得∴f(x)＝x2－x＋3. 10．已知函数f(x)是定义在R上的增函数． (1)若a∈R，试比较f(a2)与f(a－1)的大小，并说明理由； (2)若对任意的x∈R，不等式f(ax2)<f(ax＋1)恒成立．求实数a的取值范围． 解　(1)因为a2－(a－1)＝2＋>0， 所以a2>a－1，又因为f(x)是定义在R上的增函数，所以f(a2)>f(a－1)． (2)f(ax2)<f(ax＋1)⇒ax2<ax＋1⇒ax2－ax－1<0恒成立， 所以当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意， 当a≠0时，⇒－4<a<0， 综上，实数a的取值范围为(－4,0]． 11．(多选)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且仅有一个实数根 B．f(x)的定义域为{x|x≠1} C．f(x)在(1，＋∞)上单调递增 D．f(x)的图像关于点(1,2)对称 答案　ABD 解析　函数f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，所以B选项正确． f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均单调递减，所以C选项错误． 令f(x)＝＝0，解得x＝－，所以f(x)有且仅有一个实数根，A选项正确． 设点(x，y)是函数f(x)图像上的任意一点，则y＝，且(x，y)关于(1,2)的对称点为(2－x, 4－y)， 而f(2－x)＝＝＝， 且4－y＝4－＝－＝， 所以点(2－x,4－y)在函数f(x)的图像上，所以D选项正确． 12．(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是(　　) A．f(3)>f(－4) B．若f(m－1)<f(2)，则m∈(－∞，3) C．若>0，则x∈(－1,0)∪(1，＋∞) D．∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M 答案　C