专题2.2.4 均值不等式及其应用（高效培优讲义）（9大题型）高一数学人教B版必修第一册

专题2.2.4 均值不等式及其应用 教学目标 1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一． 2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题． 3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值． 教学重难点 1.重点 （1）均值不等式定理的证明和应用． （2）会用均值不等式解决简单的最大（小）问题． 2.难点 注意运用定理求最大（小）值的条件 知识点01 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 利用均值不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型01对均值不等式的理解 【典例1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【变式1-1】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【变式1-2】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【变式1-3】（2026·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 题型02 由均值不等式比较大小 【典例2】若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·浙江·期中）设,且,则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 题型03 由均值不等式证明不等关系 【典例3】已知，证明：. 【变式3-1】已知.求证：. 【变式3-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【变式3-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 题型04 利用均值不等式求积的最大值 【典例4】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-3】（2026·高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 题型05 利用均值不等式求和的最小值 【典例5】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-3】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 题型06 利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例6】（2026·高一·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【变式6-1】（2026·高一·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【变式6-2】若，则函数的最小值为_____. 【变式6-3】（2026·高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 题型07 利用均值不等式求条件等式求最值 【典例7】（2026·高二·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【变式7-1】（2026·高二·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【变式7-2】已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【变式7-3】（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 题型08 均值不等式中的恒成立问题 【典例8】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【变式8-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【变式8-2】（2026·高一·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【变式8-3】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 题型09 均值不等式的应用 【典例9】某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【变式9-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【变式9-2】（2026·高一·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【变式9-3】（2026·高一·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 1．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 6．（2026·高一·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 7．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 9．（多选题）（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知正数，满足，则的最小值是______. 12．（2026·高一·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 13．（2026·高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 14．，求证：.（已知） 15．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 16．（2026·高一·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 3．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 7．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 8．（2026·高二·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 9．（多选题）（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 10．（多选题）（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·广西玉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 12．（2026·高一·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 13．（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 14．（2026·高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 15．已知实数满足，求的最大值． 16．（2026·高一·陕西·开学考试）已知正数，满足，求的最大值． 17．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.4 均值不等式及其应用 教学目标 1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一． 2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题． 3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值． 教学重难点 1.重点 （1）均值不等式定理的证明和应用． （2）会用均值不等式解决简单的最大（小）问题． 2.难点 注意运用定理求最大（小）值的条件 知识点01 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 知识点02 利用均值不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 题型01对均值不等式的理解 【典例1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 【变式1-1】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 【变式1-2】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解析】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 【变式1-3】（2026·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 题型02 由均值不等式比较大小 【典例2】若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 【变式2-1】（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B 【变式2-2】（2026·高二·浙江·期中）设,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：若则;若则,故A错误； 对于B：若则,故B错误； 对于C：,当且仅当时，即时，等号成立. 又.又,故C正确； 对于D：若，则即,与题设矛盾，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【解析】， 又，． ，， 且，， 又，所以， 最大． 故选：B 题型03 由均值不等式证明不等关系 【典例3】已知，证明：. 【解析】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 【变式3-1】已知.求证：. 【解析】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 【变式3-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【解析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】 （1）， 所以 （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【变式3-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 题型04 利用均值不等式求积的最大值 【典例4】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 【变式4-1】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【变式4-2】（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 【变式4-3】（2026·高三·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【解析】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 题型05 利用均值不等式求和的最小值 【典例5】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 【变式5-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 【变式5-2】（2026·高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 【变式5-3】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 题型06 利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例6】（2026·高一·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 【变式6-1】（2026·高一·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【解析】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 【变式6-2】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【解析】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【变式6-3】（2026·高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 【答案】3 【解析】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 题型07 利用均值不等式求条件等式求最值 【典例7】（2026·高二·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 【变式7-1】（2026·高二·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 【变式7-2】已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 【变式7-3】（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 题型08 均值不等式中的恒成立问题 【典例8】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 【变式8-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 【变式8-2】（2026·高一·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 【变式8-3】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【解析】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 题型09 均值不等式的应用 【典例9】某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 【变式9-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 【变式9-2】（2026·高一·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【解析】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 【变式9-3】（2026·高一·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 1．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 2．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【解析】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 4．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 5．（2026·高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【解析】，当且仅当，即时取等. 6．（2026·高一·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【解析】根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 7．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 8．（多选题）（2026·高一·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】BC 【解析】对A，当时，，故A错误； 对B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C，当时，，当且仅当时取“”.故C正确； 对D，当时，.故D错误. 9．（多选题）（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 10．（多选题）（2026·高一·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 11．已知正数，满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】由题意知，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值是. 12．（2026·高一·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 13．（2026·高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14．，求证：.（已知） 【解析】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 15．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 16．（2026·高一·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【解析】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件， 选项C、D，是既不充分也不必要条件. 2．（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 3．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 4．（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 5．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【解析】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 7．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【解析】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 8．（2026·高二·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 9．（多选题）（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 【答案】BD 【解析】对于A，由，，则， 则，即， 则，故A错误； 对于B，由， 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 根据基本不等式，和，有， 所以，当且仅当即时取等号， 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确. 选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误. 选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·广西玉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得， 当时等号成立，故D正确. 12．（2026·高一·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 13．（2026·高一·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．（2026·高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【解析】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 15．已知实数满足，求的最大值． 【解析】由，利用的代换可得： ， 当且仅当，即时，取到最大值． 16．（2026·高一·陕西·开学考试）已知正数，满足，求的最大值． 【解析】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式：， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 17．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，且， 所以， ； （2），，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 18．（2026·高一·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【解析】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $