专题2.2.3 一元二次不等式的解法（高效培优讲义）（6大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式的解法核心知识点，先明确概念及一般形式，通过因式分解、配方法转化为同解不等式，结合二次函数图像与一元二次方程根的关系确定解集，进而延伸到分式不等式的移项化零与等价转化，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于分层设计知识点与题型，从不含参到含参不等式，从代数解法到函数方程关系应用，再到实际问题，通过即学即练和变式训练，培养学生数学运算和逻辑推理素养。课中助力教师系统教学，课后多样化练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题2.2.3 一元二次不等式的解法 教学目标 1、使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式; 2、使学生会运用转化的方法解简单分式不等式; 3、向学生渗透化归和转化的数学思想方法; 4、培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养. 教学重难点 1、重点 熟练求解一元二次不等式. 2、难点 正确求解特殊的一元二次不等式. 知识点01一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 知识点03 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【即学即练】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点04分式不等式 1、定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 题型01一元二次不等式（不含参）的解 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 题型02 一元二次不等式（含参）的解 【典例2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【变式2-1】解关于x的不等式. 【变式2-2】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【变式2-3】解关于的不等式：． 题型03 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【典例3】关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【变式3-2】（2026·高二·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（2026·高二·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型04 分式不等式的解法 【典例4】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）不等式的解集为__________． 【变式4-1】不等式的解集是________． 【变式4-2】（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解为________ 【变式4-3】（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 题型05 一元二次方程的实根分布问题 【典例5】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【变式5-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【变式5-2】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【变式5-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 题型06 一元二次不等式的实际问题 【典例6】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【变式6-1】某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【变式6-2】某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 【变式6-3】（2026·高一·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 1．（2026·高一·云南保山·开学考试）若成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·高三·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 9．（多选题）（2026·高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是______. 12．（2026·高二·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 13．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 14．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 15．（2026·高一·山西朔州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（2026·高一·云南玉溪·期末）已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 1．（2026·高二·江西九江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 5．（2026·高二·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·四川遂宁·开学考试）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 10．（多选题）（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 11．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 12．（2026·高三·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 13．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 14．若关于的不等式的非空解集为，则________． 15．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 16．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 18．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.3 一元二次不等式的解法 教学目标 1、使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式; 2、使学生会运用转化的方法解简单分式不等式; 3、向学生渗透化归和转化的数学思想方法; 4、培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养. 教学重难点 1、重点 熟练求解一元二次不等式. 2、难点 正确求解特殊的一元二次不等式. 知识点01一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解得，即集合， 所以. 知识点02 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 知识点03 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【即学即练】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 知识点04分式不等式 1、定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 即，即， 即，且， 解得. 题型01一元二次不等式（不含参）的解 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】，， 即不等式的解集为. 【变式1-1】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 不等式的解集为. 【变式1-2】不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴原不等式的解集为. 【变式1-3】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 题型02 一元二次不等式（含参）的解 【典例2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【解析】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 【变式2-1】解关于x的不等式. 【解析】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式2-2】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式2-3】解关于的不等式：． 【解析】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 题型03 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【典例3】关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 【变式3-1】（2026·高一·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【解析】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 【变式3-2】（2026·高二·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 【变式3-3】（2026·高二·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 题型04 分式不等式的解法 【典例4】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】由不等式移项得，，化简得， 要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集， 解得，因此该不等式的解集为. 【变式4-1】不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 【变式4-2】（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解为________ 【答案】 【解析】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 【变式4-3】（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【解析】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 题型05 一元二次方程的实根分布问题 【典例5】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 【变式5-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 【变式5-2】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 【变式5-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 题型06 一元二次不等式的实际问题 【典例6】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【解析】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【变式6-1】某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【解析】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 【变式6-2】某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 【解析】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元， 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元． 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是． 【变式6-3】（2026·高一·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【解析】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 1．（2026·高一·云南保山·开学考试）若成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为成立， 所以，等价于， 解得， 所以实数的取值范围是． 2．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为； 且； 因为，故． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】原不等式变形为， 同解变形为，解得，又因为， 所以原不等式的解集为． 4．（2026·高三·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 5．（2026·高一·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 且，即，即， 不等式两边同时乘以，得， 解得，故解集为. 7．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 8．（多选题）（2026·高一·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【解析】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 9．（多选题）（2026·高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 10．（多选题）（2026·高二·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 11．（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是______. 【答案】（或） 【解析】即， 得或，所以原不等式的解集为，（或）. 12．（2026·高二·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 13．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【解析】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 14．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【解析】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或． （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为． 15．（2026·高一·山西朔州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以 （2）（2）易求， 因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 所以，且， 解得， 故的取值范围为． 16．（2026·高一·云南玉溪·期末）已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 【解析】（1）不等式的解集， 和3是方程的两根， 解得. （2）等价于，即， 即，等价于， 则该不等式解集为. 1．（2026·高二·江西九江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为 2．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 3．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 4．（2026·高二·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，由不等式的解集可得, 令，得，得或， 由不等式的解集可得、是方程的解， 所以，所以. 5．（2026·高二·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，令，则， 解得，即，所以． 6．（2026·高二·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 7．（2026·高一·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 8．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 9．（多选题）（2026·高一·四川遂宁·开学考试）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【解析】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 10．（多选题）（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【答案】ABD 【解析】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 12．（2026·高三·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 13．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 【答案】 【解析】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 14．若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【解析】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 15．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）即为，故或， 故不等式的解集为. （2）即为，故或， 所以或， 故不等式的解集为. （3）即为， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，不等式的解集为： 时解集为；时解集为； 时解集为； 16．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】即对任意实数恒成立. 当，得，当时不成立； 当，则二次函数图象恒在轴下方， 得. 综上可得：. 17．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【解析】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 18．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【解析】（1）当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $