专题2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（高效培优讲义）（5大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系核心知识点，衔接初中解法，深化配方法理解，通过判别式讨论实根个数，引入换元法转化高次方程，构建从基础解法到思想方法再到应用的学习支架，包含知识点讲解、即学即练及题型分类训练。 该资料以分类讨论思想深化判别式应用，借助换元法培养化繁为简的数学思维，结合实际问题提升数学抽象与运算素养。题型设计有层次，典例与变式结合，课中助力教师系统授课，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教学目标 1、学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解； 2、通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想； 3、引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法； 4、结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数学抽象、数学运算的学科素养、 教学重难点 1、重点 配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别。 2、难点 对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化。 知识点01一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式 (1)当时，方程的解为， (2)当时，方程的解为； (3)当时，方程的解集为、 【即学即练】关于x的方程的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： ，这一关系式也被称为韦达定理、 【即学即练】已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 题型01 一元二次方程的解 【典例1】（2026·高一·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【变式1-1】（2026·高一·河南平顶山·开学考试）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）如果方程的解为，则实数的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 题型02 一元二次方程的根的个数 【典例2】（2026·高三·江苏南通·开学考试）关于x的方程（）的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与a的取值有关 【变式2-1】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【变式2-3】（2026·高一·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（   ） ①若，则方程必有实数根； ②若，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 题型03 利用根与系数的关系计算 【典例3】（2026·高一·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【变式3-1】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【变式3-3】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 题型04 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 【典例4】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【变式4-2】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【变式4-3】（2026·高一·北京·期中）已知，是方程的两实根，且，则实数______. 题型05 实根分布问题 【典例5】关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 【变式5-1】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【变式5-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【变式5-3】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求的值； (2)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. (3)若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·上海·期中）命题“”是命题“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 2．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 3．（2026·高一·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 4．（2026·高一·山东德州·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 5．已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 6．（2026·高一·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 7．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·海南儋州·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．若图象的对称轴为直线，则 C．若，则 D．若，则的最小值为 10．（多选题）（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A． B． C．方程有两个相等的实数根 D．方程的两根是， 11．（多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 12．（2026·高一·上海·阶段检测）已知方程的两个根为，，则________ 13．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）若方程的解集为，则________． 14．（2026·高二·辽宁沈阳·期末）已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 16．若关于的方程没有实数根，试说明关于的方程一定有实数根． 17．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 18．（2026·高一·上海·阶段检测）已知关于的方程有两个实数根，集合. (1)若，求实数； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 2．（2026·高二·浙江宁波·期中）已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 3．（2026·高一·山东青岛·期中）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 4．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·高一·江西九江·阶段检测）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（2026·高一·上海·阶段检测）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 7．（2026·高一·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 8．（2026·高二·浙江台州·期末）数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（多选题）（2026·高一·河北衡水·开学考试）若集合，则实数a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－3 11．（多选题）（2026·高一·重庆璧山·阶段检测）已知，是关于x的方程的两个实根，则（    ） A．或 B． C． D． 12．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·高一·上海·开学考试）1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 14．（2026·河北秦皇岛·二模）已知实数满足，当取得最大值时，________. 15．对任意实数，，给定，则的最小值为________. 16．关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 17．（2026·高一·上海·阶段检测）法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 18．已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 19．（2026·高一·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 20．（2026·高一·北京·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教学目标 1、学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解； 2、通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想； 3、引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法； 4、结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数学抽象、数学运算的学科素养、 教学重难点 1、重点 配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别。 2、难点 对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化。 知识点01一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式 (1)当时，方程的解为， (2)当时，方程的解为； (3)当时，方程的解集为、 【即学即练】关于x的方程的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，原方程的解集为，A对； 对于B，把代人方程，可得，， 当时，原方程的解集为， 当时，原方程的解集为，B错； 对于C，把代人方程，可得或，当时, 原方程的解集为，C对； 对于D，当时，原方程的解集为空集，D对. 故选：B 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： ，这一关系式也被称为韦达定理、 【即学即练】已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【解析】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 题型01 一元二次方程的解 【典例1】（2026·高一·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【解析】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 【变式1-1】（2026·高一·河南平顶山·开学考试）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根 【变式1-2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）如果方程的解为，则实数的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，方程的解为， 故， 解得. 故选：A 【变式1-3】（2026·高一·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】由题意：；. 所以. 故选：D 题型02 一元二次方程的根的个数 【典例2】（2026·高三·江苏南通·开学考试）关于x的方程（）的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与a的取值有关 【答案】B 【解析】令 ，原方程转化为 ，分两种情况讨论： 当 时：，方程变为， 若 ，解得唯一非负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 当 时：，方程变为，即， 若 ，解得唯一负解 ，对应原方程解 ； 若 ，此情况无实根； 综上：无论 取正还是负，方程都仅有1个实数解. 【变式2-1】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 【变式2-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由是方程的两个实数根，得，， 所以. 故选：A 【变式2-3】（2026·高一·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（   ） ①若，则方程必有实数根； ②若，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解析】对①：由， 所以，当且仅当时取等号.所以①正确； 对②：因为， 所以当时，方程有两个相等的实根，故②错误； 对③：因为是方程的一个根，所以，所以或，所以未必成立，故③错误； 对④：因为是一元二次方程的根，所以. 所以.故④正确. 故选：C 题型03 利用根与系数的关系计算 【典例3】（2026·高一·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【答案】B 【解析】由题意可知，可得， 由韦达定理可得，因为，则， 原方程为，所以，， 故， 故选：B. 【变式3-1】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得， 所以， 所以， 解得或， 又，所以． 故选：A 【变式3-2】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【解析】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 【变式3-3】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解析】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 题型04 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 【典例4】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，且，解得 由韦达定理，则， 因为，所以，，， 故选：D. 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【解析】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 【变式4-2】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 【变式4-3】（2026·高一·北京·期中）已知，是方程的两实根，且，则实数______. 【答案】 【解析】因为，是方程的两实根，且， 显然，则，解得或， 又，所以，即，解得. 故答案为： 题型05 实根分布问题 【典例5】关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】4 【解析】关于的一元二次方程有实数根， 则满足，且，解得，且， 所以实数的最大整数值是4． 【变式5-1】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【解析】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式5-3】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求的值； (2)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. (3)若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，解得， 由韦达定理可得， 则，且， 解得或， 经检验，符合题意， 所以或； （2）因为是两个不相等的正数， 所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为或； （3）因为有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大， 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围. 1．（2026·高一·上海·期中）命题“”是命题“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【解析】方程，因式分解得，解得或， 充分性：或，不能唯一推出，故“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则或满足，故“”是“”的必要条件， 综上，命题“”是命题“”的必要非充分条件． 故选：B． 2．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 【答案】B 【解析】因为方程的两个实根为， 则，， 所以， 整理得到，解得或， 又由，得到，所以， 故选：B. 3．（2026·高一·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】已知一元二次方程的两个根分别为，由根与系数的关系，可得， 故选：B. 4．（2026·高一·山东德州·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【解析】对于一元二次方程，根据韦达定理，方程两根，满足，，又， 所以． 故选：D． 5．已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【解析】【方法一】由题意知二次函数的零点为和3， 所以， 所以． 【方法二】由题意得方程的两根为和3，由根与系数的关系可得 解得所以． 故选：A 6．（2026·高一·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 7．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于①，方程的判别式， 由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为， 两根之积为，①对； 对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错； 对于③，方程的判别式为， 这方程的两根之和为，两根之积为，③对； 对于④，方程的判别式为， 这个方程的两根之和为，两根之积为，④错. 故选：B. 8．（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高一·海南儋州·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．若图象的对称轴为直线，则 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】由可知，，函数图象开口向上，所以A正确； 当函数图象的对称轴为直线，可得，解得，所以B正确； 由可得， 当时，，即，所以恒成立，所以C正确； 当时，，则，因为， 所以当时，，且没有最小值，所以D错误； 故选：ABC. 10．（多选题）（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A． B． C．方程有两个相等的实数根 D．方程的两根是， 【答案】CD 【解析】由图可得，解得，即； 对A：由，则，故A错误； 对B：，故B错误； 对C： ， 则方程有两个相等的实数根，故C正确； 对D：， 解得，，故D正确. 故选：CD. 11．（多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【解析】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 12．（2026·高一·上海·阶段检测）已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【解析】由题设，则. 13．（2026·高二·辽宁抚顺·期末）若方程的解集为，则________． 【答案】 【解析】可化为， 因为方程的解集为，所以方程的两根为，2， 由，解得，检验符合． 14．（2026·高二·辽宁沈阳·期末）已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 【答案】 3 【解析】由题设，根据韦达定理得， 所以. 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得， ∴的取值范围为； （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，∴方程为，∴． 16．若关于的方程没有实数根，试说明关于的方程一定有实数根． 【解析】∵方程没有实数根， ∴此方程的判别式， 解得． 而方程的根的判别式， ，，． ，即， ∴方程有两个不相等的实数根，即一定有实数根． 17．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【解析】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 18．（2026·高一·上海·阶段检测）已知关于的方程有两个实数根，集合. (1)若，求实数； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）方程有两个实数根， 故，解得， 由韦达定理得， 由于，故， 故， 所以，解得，满足要求； （2），故， ，， 若，则，解得； 若，当，解得， 此时； 当时，， 要想满足，则， 即是的两个根，但，不合要求，舍去； 综上，，即实数的取值范围是. 1．（2026·高一·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【解析】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 2．（2026·高二·浙江宁波·期中）已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】由于是一元二次方程的两个正根，则： ，解得①. 充分性验证：若“且”，则由不等式的性质可得： ，所以充分性成立. 必要性验证：举反例，取，此时且， 满足“且”，但，不满足“且”，所以必要性不成立. 因此，“且”是“且”的充分不必要条件. 3．（2026·高一·山东青岛·期中）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解析】因为，所以函数的对称轴不可能为轴，所以函数的图像不可能是图1和图2， 由图3和图4可知函数必过原点，所以，解得， 当时，，图像开口向上，另一个零点为，图4符合， 当时，，图像开口向下，另一个零点为，图3，4均不符合. 综上所述，符合题意的的值为1. 故选：A 4．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】方程，即，设方程的两根分别为， 由韦达定理可得，， 即点在第三象限. 故选：C 5．（2026·高一·江西九江·阶段检测）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】由题设，可得， 结合已知有，且，， ， 当时，取得最大值10. 故选：C 6．（2026·高一·上海·阶段检测）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【解析】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 7．（2026·高一·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【解析】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 8．（2026·高二·浙江台州·期末）数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得 ， 所以，即， 由题中所给方法知，，， 故选：D 9．关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错； 对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，. 充分性：由可得，所以及, 方程 有一正根和一负根，（2）对； 对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错. 故选：B 10．（多选题）（2026·高一·河北衡水·开学考试）若集合，则实数a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－3 【答案】ACD 【解析】当时，方程，即为，此时方程无解，所以； 当时，方程即为二次方程， 若，则方程无实根， 所以，解得; 综上，. 11．（多选题）（2026·高一·重庆璧山·阶段检测）已知，是关于x的方程的两个实根，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由已知得，，解得或，A正确； 由韦达定理可得，，则 ∵ ∴，B正确； 当时，，此时无意义； 当时， 当k=0时，，C错误； 当时，，此时无意义； 当时，，D正确. 故选：ABD. 12．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 13．（2026·高一·上海·开学考试）1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【解析】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 14．（2026·河北秦皇岛·二模）已知实数满足，当取得最大值时，________. 【答案】 【解析】已知， 将原方程整理为关于的一元二次方程：， 因为是实数，所以该方程的判别式， 即， 解得，所以的最大值为， 将代入原方程可得， 解得. 15．对任意实数，，给定，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】 . 且当，即时，. 的最小值为1. 16．关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】5 【解析】关于的方程有实数根， 当时，方程有实数根， 当时，需满足，解得，且， 综上，，则实数的最大整数值是5． 17．（2026·高一·上海·阶段检测）法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 【解析】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 18．已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 【解析】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ， 解得：， ； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 19．（2026·高一·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【解析】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 20．（2026·高一·北京·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）不存在，理由如下： 因为是一元二次方程的两个实数根， 所以，解得：， 由韦达定理得：， 又， 则， 即，解得：， 因为，所以不存在实数，使成立. （2）的值为或或，理由如下： 由 ， 由于的值为整数即：的值为整数， 所以只能取， 又，所以当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 综上所述：若的值为整数，则的值为或或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $