2.2.4 第二课时 均值不等式的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦均值不等式的应用这一核心知识点，从养殖场围鸡舍的实际问题切入，系统梳理和定积最大、积定和最小的基本原理，强调“一正二定三相等”条件，通过基础最值、条件最值、实际应用题等题型构建从理解到应用的学习支架。 资料以问题驱动设计，通过矩形花坛扩建、货物购买运费存储等实例，培养数学建模和数学运算核心素养。题型分类明确，总结拆并配等通性通法，助力逻辑推理能力提升。课中辅助教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第二课时　均值不等式的应用 课标要求 1.熟练掌握利用均值不等式求最值问题（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用均值不等式求解实际应用问题（数学建模、数学运算）. 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍. 【问题】　怎样设计才能使鸡舍面积最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 　　提醒：在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 1.设实数x满足x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为（　　） A.3　 B.4 C.5　 D.6 解析：A　∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立.故选A. 2.已知实数x，y满足x2＋y2＝2，那么xy的最大值为（　　 ） A.　 B. C.1　 D.2 解析：C　由x2＋y2＝2≥2xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时等号成立.故选C. 3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为　　，此时x＝　　. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值. 题型一｜利用均值不等式求最值 【例1】　（链接教科书第78页例4）（1）若x＞0，则12x＋的最小值为　4　； 解析：因为x＞0，所以12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立. 所以12x＋的最小值为4. （2）已知x＞2，则x＋的最小值为　6　； 解析：因为x＞2，所以x－2＞0， 所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. 所以x＋的最小值为6. （3）若0＜x＜，则x（1－2x）的最大值是　　. 解析：因为0＜x＜，所以1－2x＞0， 所以x（1－2x）＝×2x×（1－2x）≤＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时等号成立， 所以x（1－2x）的最大值为. 通性通法 　　利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【跟踪训练】 1.若x＞0，则下列说法正确的是（　　） A.＋的最小值为2 B.x＋的最小值为1 C.＋的最小值为2 D.x＋的最小值为2 解析：A　对于A、C，因为x＞0，则＞0，由均值不等式可得＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立，即＋的最小值为2，A对，C错；对于B、D，因为x＞0，则x＋1＞1，由均值不等式可得x＋＝（x＋1）＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0或－2时，等号成立，但x＞0，故等号不成立，所以x＋＞1，即x＋没有最小值，B、D错误.故选A. 2.已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为　4　，此时x＝　2　. 解析：因为0＜x＜4，则4－x＞0，于是得x（4－x）≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取“＝”，所以x（4－x）的最大值为4. 题型二｜利用均值不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 解：（1）∵x＞0，y＞0，∴2x＋y≥2， ∴1≥2，即xy≤， 当且仅当2x＝y＝，即x＝，y＝时，xy取得最大值. （2）＋＝（＋）（2x＋y）＝11＋＋≥11＋2＝11＋6， 当且仅当＝时，＋取得最小值11＋6. 通性通法 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【跟踪训练】 1.已知正数a，b满足＋＝1，则a＋b的最小值为（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 解析：B　由题意，a＋b＝（a＋b＋1）－1＝（a＋b＋1）（＋）－1＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即a＝2，b＝1时取等号.故选B. 2.若正实数a，b满足＋＝9，则a＋2b的最小值为　1　. 解析：因为正实数a，b满足＋＝9，所以a＋2b＝（a＋2b）（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立. 题型三｜利用均值不等式解应用题 【例3】　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米. （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围？ 解：设DN＝x（x＞0），BM＝y（y＞0），则由△NDC与△NAM相似得＝，整理得y＝， 矩形AMPN的面积S＝AN·AM＝（x＋2）（3＋），即S＝3x＋＋12， 当S＞32时，得3x＋＋12＞32，整理得（3x－2）·（x－6）＞0， 解得x＞6或x＜，又x＞0， 所以DN的长的范围为（0，）∪（6，＋∞）. （2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. 解：x＞0时，3x＋≥2＝12， 当且仅当3x＝，即x＝2时等号成立，所以S≥12＋12＝24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米. 通性通法 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【跟踪训练】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（　　） A.20　 B.30 C.40　 D.50 解析：B　由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和y＝×6＋4x＝4≥4×2＝240，当且仅当＝x即x＝30时取等号，∴要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是30.故选B. 　　 二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立. 证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立. 三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 证明：设d为正数，由二元均值不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？ 提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值. 【迁移应用】 　已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9. 证明：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0， ∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 1.设x＞0，则3－3x－的最大值是（　　 ） A.3　 B.3－2 C.－1　 D.3－2 解析：D　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D. 2.已知a＞0，b＞0，若a＋b＝ab－8，则ab的最小值为（　　） A.20　 B.16 C.8　 D.4 解析：B　因为a＞0，b＞0，则a＋b＝ab－8≥2，解得≥4或≤－2（舍去），可得ab≥16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，所以ab的最小值为16.故选B. 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（　　） A.6.5 m　 B.6.8 m C.7 m　 D.7.2 m 解析：C　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m）.又要求够用且浪费最少，故选C. 4.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　 ） A.＋有最小值4　 B.有最小值 C.＋有最大值　 D.a2＋b2有最小值 解析：ACD　A：由题设，＋＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确； B：由a，b＞0，则a＋b＝1≥2，即≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故的最大值为，错误； C：由a，b＞0，则a＋b＝1≥，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确； D：a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确.故选A、C、D. 5.已知正数a，b满足a＋b＝6，ab＝9k. （1）求k的最大值； （2）求＋的最小值. 解：（1）由a＋b＝6≥2， 得ab≤9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立， 则9k≤9，得k≤1，即k的最大值为1. （2）由a＋b＝6，得（a＋b）＝1， 得＋＝（＋）（a＋b）＝（＋＋5）≥（2＋5）＝， 当且仅当＝， 即a＝2，b＝4时，等号成立. 故＋的最小值为. 1.已知x＞7，则x＋的最小值为（　　） A.7　 B.9 C.11　 D.10 解析：B　因为x＞7，所以x＋＝x－7＋＋7≥2＋7＝9.当且仅当x＝8时等号成立，所以x＋的最小值为9.故选B. 2.设m，n∈（0，＋∞），且＋＝1，则m＋2n的最小值为（　　） A.4　 B.5 C.4　 D.3＋2 解析：D　因为m，n∈（0，＋∞），且＋＝1，所以m＋2n＝（m＋2n）（＋）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝1＋，m＝1＋时取等号.故选D. 3.已知x＞0，则2－3x－的最大值是（　　） A.2＋4　 B.2－2 C.2－4　 D.2－6 解析：C　因为x＞0，所以3x＋≥2＝4，则2－3x－≤2－4，当且仅当3x＝，即x＝时取得等号.故选C. 4.若关于x的不等式－x2＋ax－2≤0在区间[－3，－1]上恒成立，则实数a的取值范围为（　　 ） A.[－2，＋∞）　 B.（－∞，－2] C.　 D.（－∞，－3] 解析：A　由题设，ax≤x2＋2，又x∈[－3，－1]，则a≥x＋恒成立，由x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－∈[－3，－1]时等号成立，∴a≥－2.故选A. 5.〔多选〕下列求最值的运算中，运算方法错误的有（　　） A.当x＜0时，x＋＝－［（－x）＋］≤－2，当且仅当x＝时取等，解得x＝－1或1，又由x＜0，所以x＝－1，故x＜0时，x＋的最大值是－2 B.当x＞1时，x＋≥2，当且仅当x＝时取等，解得x＝－1或2，又由x＞1，所以x＝2，故x＞1时，x＋的最小值为4 C.由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，当且仅当x2＋4＝时取等，故x2＋的最小值是2 D.当x，y＞0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，∴≤，又＋≥2＝≥4，当且仅当x＝4y，x＝y时取等，故当x，y＞0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4 解析：BCD　对于A，满足均值不等式的应用条件，正确；对于B，不满足均值不等式的应用条件中的定值，错误，正确的运算方法为当x＞1时，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝时取等，解得x＝1＋或x＝1－，又x＞1，所以x＝1＋，故当x＞1时，x＋的最小值为2＋1；对于C，不满足均值不等式的应用条件中的取等，错误；对于D，选项中运用两次均值不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误，正确的运算方法为当x，y＞0，且x＋4y＝2时，＋＝（＋）·（x＋4y）＝（1＋＋＋4）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，即＋的最小值为.故选B、C、D. 6.已知正实数x，y满足（x＋1）（y＋2）＝16，则x＋y的最小值为　5　. 解析：由（x＋1）（y＋2）＝16≤，则（x＋y＋3）2≥64，又x，y＞0， ∴x＋y＋3≥8，即x＋y≥5，当且仅当x＝3，y＝2时等号成立. ∴x＋y的最小值为5. 7.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度c（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为c＝，则经过　2 　 h后池水中该药品的浓度达到最大. 解析：c＝＝. 因为t＞0，所以t＋≥2＝4（当且仅当t＝，即t＝2时等号成立）. 所以c＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，c取得最大值. 8.若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是　[－2，8]　 . 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x＝8时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. 9.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，∴2x＋5y≥2， ∴2≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. （2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2）， 当且仅当x＝y时，等号成立. ∴＋的最小值为（7＋2）. 10.如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出的一种几何平面图.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b，斜边为c（a，b，c均为正数），则（a＋b）2＝4ab＋（a－b）2，（a＋b）2＝2c2－（b－a）2.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8 cm的软钢丝作为a＋b的长度（制作其他边长的软钢丝足够用），他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（　　） A.24 cm2　 B.30 cm2 C.32 cm2　 D.36 cm2 解析：C　由题可知，a＋b＝8，a＞0，b＞0，则a＋b≥2，即8≥2，所以ab≤16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，又“赵爽弦图”的面积为c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝64－2ab≥64－2×16＝32，所以当a＝b＝4时，“赵爽弦图”的最小面积为32 cm2.故选C. 11.若实数a，b满足a2＋b2＋ab＝4，则a＋b的最大值是（　　 ） A.12　 B. C.8　 D. 解析：B　a2＋b2＋ab＝4⇒（a＋b）2＝ab＋4，而ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”， 于是得（a＋b）2≤＋4，即（a＋b）2≤4，解得－≤a＋b≤， 当且仅当a＝b＝时，（a＋b）max＝， 所以a＋b的最大值是.故选B. 12.校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为1 600 m2的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右边沿保留3 m宽的通道，如图.设矩形空地长为x m，三块种植植物的矩形区域（如图中阴影部分所示）的总面积为S（单位：m2）. （1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值，及此时x的值. 解：（1）由题知空地宽为，则S＝（x－8）·（－2）＝－2x＋1 616－（8＜x＜800）. （2）因为8＜x＜800，所以－2x－≤－320， 当且仅当x＝80时等号成立，所以S≤－320＋1 616＝1 296， 所以S的最大值为1 296 m2，此时x为80 m. 13.定义min{p，q，r}表示p，q，r中的最小值.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＝－1，则（　　） A.min{a，b，c}的最大值是－1 B.min{a，b，c}的最大值是－ C.min{a，b，c}的最小值是－1 D.min{a，b，c}的最小值是－ 解析：B　因为abc＝－1，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3，又a＋b＋c＝0，所以在a，b，c中，1个为负数，2个为正数，不妨设c＜0，则min{a，b，c}＝c.因为2≤a＋b＝－c，所以ab≤，当且仅当a＝b时等号成立.因为c＜0，所以≤－1，则c≤－，故min{a，b，c}的最大值是－，无最小值.故选B. 14.对于均值不等式，即当a＞0，b＞0时有≥（当且仅当a＝b时不等式取“＝”），我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：n个正数x1，x2，x3，…，xn的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，当且仅当x1，x2，x3，…，xn这些数全部相等时，等号成立. （1）请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y＝x＋（x＞0）的最小值； （2）写出n＝3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折叠做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 解：（1）由题意得≥， 所以当x＞0时，y＝x＋＝x＋x＋≥3（）＝3， 当且仅当x＝时，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x＋（x＞0）的最小值为3. （2）由题意可知，当n＝3时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为≥，其中x1＞0，x2＞0，x3＞0， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 证明： ＋＋－3x1x2x3 ＝－3x2－3x1＋－3x1x2x3 ＝（x1＋x2＋x3）[－（x1＋x2）x3＋]－3x1x2（x1＋x2＋x3）　 ＝（x1＋x2＋x3）（＋＋－x1x2－x2x3－x1x3） ＝（x1＋x2＋x3）[＋＋]≥0， 所以＋＋≥3x1x2x3，当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 根据题意，可设x1＞0，x2＞0，x3＞0， 用，，替换x1，x2，x3可得x1＋x2＋x3≥3， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 所以＋＋≥3， 所以≤＝＝， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. （3）设小正方形的边长为x，则盒子的高h＝x，底边边长为6－2x， 可得盒子的容积为V＝x（6－2x）2，其中0＜x＜3， 则V＝x（6－2x）2＝·4x·（6－2x）2≤·（）3＝16， 当且仅当4x＝6－2x时，即x＝1时，等号成立， 所以切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大，最大容积为16. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $