专题07 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式的应用七类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以四大不等式（基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式）为核心，构建“判定-求最值”双主线方法体系，通过题型模版实现解题能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法|两条底线原则（判定不等式、研究最值）|以不等式性质为基础，构建“概念-判定-应用”逻辑链| |题型归纳|7类（每类1典例+3变式）|特征识别（如权方和分子幂次比分母多1）、构造变形（配凑和定/积定）|从单一不等式应用到多不等式综合，从基础形式到变式拓展| |压轴挑战|14题|多不等式交叉应用、复杂条件转化|提升运算能力与推理意识，强化模型观念|

专题07 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式的应用七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式链判定不等式 题型二、利用基本不等式链求最值 题型三、普通型糖水不等式的应用 题型四、利用柯西不等式判定不等式 题型五、利用柯西不等式求最值 题型六、利用权方和不等式求最值 题型七、权方和不等式的变形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 拓展不等式问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用基本不等式链判定不等式、利用基本不等式链求最值、普通型糖水不等式的应用、利用柯西不等式判定不等式、利用柯西不等式求最值、利用权方和不等式求最值、权方和不等式的变形七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是判定不等式；二是研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式链判定不等式 典例1 （多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：基本不等式链 ,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)． 2.方法：熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否． 变式1-1（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 变式1-2（多选）对于，，下列不等式中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式1-3已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 类型二、利用基本不等式链求最值 典例2 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则（  ） A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 题型模版 1.特征：对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化研究最值. 2.方法：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值． 注意：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解 变式2-1已知正数满足，则的最大值为（  ） A.1 B. C. D.3 变式2-2（多选）已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 变式2-3设,则的最大值为 ． 题型三、普通型糖水不等式的应用 典例3（多选）已知，，为实数，则（  ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 题型模版 1.特征：普通型糖水不等式描述了一个真分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一个正数后，分数值会增大（即“加糖变甜”）。 糖水不等式：若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜；倒数形式:设 , 则有: 。 2.方法：（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势。 变式3-1（多选）已知，则下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 变式3-2（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 变式3-3（多选）已知，则（  ） A． B． C． D． 题型四、利用柯西不等式判定不等式 典例4 已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 题型模版 1.特征：①二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 ②二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 ③柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 2.方法：观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 变式4-1（多选）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4-2已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 变式4-3已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 题型五、利用柯西不等式求最值 典例5 设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 题型模版 1.特征：二维形式的柯西不等式的变式 ； 柯西不等式扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了 2.方法：1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 变式5-1柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式5-2（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式5-3已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 题型六、利用权方和不等式求最值 典例6 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（  ） A．16 B．25 C．36 D．49 题型模版 1.特征：①权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。 ②权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 2.方法：该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。 变式6-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（  ） A．16 B．25 C．36 D．49 变式6-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（  ） A．1 B． C． D．25 变式6-3求的最大值为______________ 题型七、权方和不等式的变形 典例7 已知正数，，满足，则的最小值为______________ 题型模版 1.特征：若，则，当且仅当时，等号成立. 对权方和不等式变形，易得在时， 就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 2：若，则，当时，等号成立. 3：若，则，当时，等号成立 2.方法：很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形；权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件。 变式7-1已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 变式7-3已知正数，，满足，则的最小值为______________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是（  ） A. B.＋ C. D. 2．已知正实数满足，则的最小值是（ ） A．27 B．18 C．9 D．3 3．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 4．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．前三个答案都不对 5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 6．函数 的最大值是（　　） A． B． C．3 D．5 7．（多选）已知正数m，n满足＋＝，则（  ） A.mn B.m2＋n2≥2 C.m＋n D.∃m，n∈(0，＋∞)，mn 8．（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 9．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 10．设，则的最小值为_____． 11．已知正数，，满足，则的最小值为 12．设，且，则的最大值为_____． 13．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 14．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式的应用七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式链判定不等式 题型二、利用基本不等式链求最值 题型三、普通型糖水不等式的应用 题型四、利用柯西不等式判定不等式 题型五、利用柯西不等式求最值 题型六、利用权方和不等式求最值 题型七、权方和不等式的变形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 拓展不等式问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用基本不等式链判定不等式、利用基本不等式链求最值、普通型糖水不等式的应用、利用柯西不等式判定不等式、利用柯西不等式求最值、利用权方和不等式求最值、权方和不等式的变形七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是判定不等式；二是研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式链判定不等式 典例1 （多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式链得， 所以 ，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 题型模版 1.特征：基本不等式链 ,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)． 2.方法：熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否． 变式1-1（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 变式1-2（多选）对于，，下列不等式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：由不等式链得， 所以,当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 变式1-3已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，最小值为； (3)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； （3）先通过换元令，然后将不等式左边各部分利用基本不等式可变形为，相加即可完成证明，注意等号不可取. 【解析】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 类型二、利用基本不等式链求最值 典例2 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则（  ） A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 【答案】ACD 【解析】对于A，由均值不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由＝＝，得＋，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ＝，得a2＋b2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 题型模版 1.特征：对于任意的，都有, 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化研究最值. 2.方法：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值． 注意：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解 变式2-1已知正数满足，则的最大值为（  ） A.1 B. C. D.3 【答案】B 【解析】由基本不等式链得，所以， 故选：B 变式2-2（多选）已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 变式2-3设,则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故答案为： 题型三、普通型糖水不等式的应用 典例3（多选）已知，，为实数，则（  ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【解析】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确 题型模版 1.特征：普通型糖水不等式描述了一个真分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一个正数后，分数值会增大（即“加糖变甜”）。 糖水不等式：若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜；倒数形式:设 , 则有: 。 2.方法：（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势。 变式3-1（多选）已知，则下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【解析】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由， 因为，可得，所以，所以，所以C正确； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 故选：ACD 变式3-2（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【解析】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 变式3-3（多选）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【解析】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由得，又，所以，故C正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 故选：ACD 题型四、利用柯西不等式判定不等式 典例4 已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解析】（1）∵，，均为正数， ∴，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立． 又∵，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理， 有，当且仅当时等号成立． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴. （2）,同理可得, ∴, 设有 则原式=     由可得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴. 题型模版 1.特征：①二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 ②二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 ③柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 2.方法：观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 变式4-1（多选）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可. 【解析】A：，故A对； B：，故B错； C：，， 而，故C对； D：由柯西不等式，，故D错. 故选：AC. 变式4-2已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)3；(2)证明见解析 【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值. (2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证. 【解析】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式， ，当且仅当时等号成立. 的最小值为3. （2），由柯西不等式， ∴ 要证 只需证 即证 由，， 令， ∴，得证. ∴，当且仅当时等号成立 变式4-3已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明： ，         当且仅当，，时，等号成立. 所以. （2）证明：由柯西不等式得： ， 当且仅当，即，，时，等号成立.     所以. 题型五、利用柯西不等式求最值 典例5 设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 【答案】(1)； (2)的最小值为 【解析】（1）因为，，所以，，即， 因为，则. （2）由（1）可知，， 由柯西不等式可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立， 因此，的最小值为. 题型模版 1.特征：二维形式的柯西不等式的变式 ； 柯西不等式扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了 2.方法：1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 变式5-1柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 变式5-2（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【解析】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 变式5-3已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 【答案】 【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 题型六、利用权方和不等式求最值 典例6 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（  ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 题型模版 1.特征：①权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。 ②权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 2.方法：该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。 变式6-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（  ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【解析】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 变式6-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（  ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【解析】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 变式6-3求的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【解析】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 题型七、权方和不等式的变形 典例7 已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为： 题型模版 1.特征：若，则，当且仅当时，等号成立. 对权方和不等式变形，易得在时， 就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 2：若，则，当时，等号成立. 3：若，则，当时，等号成立 2.方法：很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形；权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件。 变式7-1已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 变式7-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 变式7-3已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是（  ） A. B.＋ C. D. 【答案】B 【解析】因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋. 故选：B. 2．已知正实数满足，则的最小值是（ ） A．27 B．18 C．9 D．3 【答案】A 【解析】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故选：A 3．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【解析】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 4．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用权方和不等式可求最小值. 【解析】根据权方和不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 6．函数 的最大值是（　　） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用柯西不等式求解. 【解析】因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 7．（多选）已知正数m，n满足＋＝，则（  ） A.mn B.m2＋n2≥2 C.m＋n D.∃m，n∈(0，＋∞)，mn 【答案】AD 【解析】对于A，＋＝2，则mn，当且仅当m＝n＝时等号成立，故A正确；对于B，应用重要不等式得m2＋n2≥2mn(m＝n时取得等号)，由A中mn，当m＝n＝时取得等号，得m2＋n2≥2mn≥2×＝1，即m2＋n2的最小值为1，与m2＋n2≥2矛盾，故B错误；对于C，因为＋＝，则×＝×＝1，m＋n＝×(m＋n)＝×，其中＋2＝2，当且仅当m＝n＝时取得等号，则m＋n，即m＋n的最小值为，且m＋n＝＜，故C错误；对于D，mn⇔4mn⇔4mn＋，且＋＝，得mn＋≤2，而mn＋2＝2，当且仅当mn＝1时等号成立，即∃m，n∈(0，＋∞)，mn＝1，＝mn，故D正确. 故选：AD 8．（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【解析】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD 9．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【解析】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 10．设，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为 故答案为： 11．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号 故答案为： 12．设，且，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值． 【解析】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 故答案为： 13．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】(1)李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，理由见解析；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【解析】（1）李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2）（ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为 14．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1)3；(2)；(3)9. 【解析】（1）由及柯西不等式，得， 则，当且仅当，即取等号， 所以的最小值为3. （2）由及柯西不等式得， 则，即，当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，则， 所以的取值范围是. （3）由柯西不等式得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为9. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $