第三章 一元一次不等式（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册第二章特殊三角形培优冲刺单元卷，以社会热点（如睡眠时间调查）和创新情境（编程程序、糖水浓度）为载体，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式表示、数轴应用、分式方程|结合推迟到校时间等社会热点，融入跨学科编程情境| |填空题|6/18|连续整数、不等式组解集|基础巩固与能力过渡，如连续正整数和的最值问题| |解答题|9/72|作差法比较、绝对值不等式、几何动态探究、新定义运算|综合应用数学思维，如用“作差法”解决礼盒单价比较，结合翻折旋转探究三角形边角关系，体现推理能力与模型观念|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章一元一次不等式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.A 2.B 3.B 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B 9.B 10.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.号 12.9 13.m≥2 Γ3 14.x<1 a号 3 16.-20 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：n+1_-n+2=n+1-nn+2=n2+2n+1-n2-2n=1 nn+1 n(n+1 n+n n+n .n>0 ∴.n+n>0 n+1-n+2-1>0 n n+1 n2+n .n+1>n+2 4分 nn+1 (2)乙款礼盒的苹果单价更合算. 设包装盒的重量为Xkg 甲款礼盒的苹果单价：50÷5-X日，0（元于克 乙款礼盒的苹果单价：100=10-x三0元年克 50-100=5010-x-1005-x=500-50x-500+100x=50x 5-x10-x 5-x10-x 5-x10-x 5-x10-x .‘x>0,5-x>0,10-x>0 50X .5x10-x5-x1029 ->0 50、100 即：5-x10-x 答：乙款礼盒的苹果单价更合算. 8分 18.(8分) 【详解】解：(1)a>b>0, 81 a=b≠0， 81 0<a<b, 81 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：>；=；<. 2分 (2).a>b>0, .∴.a+b>0,a-b>0. 、1>0,>0,6>0 a-b a+b .11-0-b-a+b-2b=1-2b<1. a+b a-b a+b a+b a+b 5分 50 50 (3)由题意得，甲筐水果的单价为(x-一1元/千克，乙筐水果的单价x一元/千克， 作商法： 50. 50=50.X-1=X-L=x+1=1+2 (x-12x2-1(x-150(x-1x-11x-1 由x>1时，1+2 >1, -1 50.50 71 (x-1x-1 乙筐水果的单价低。 8分 19.(8分) 【详解】解：(1)X1<4X5-1, 23 3(x-1)<2(4x-5)-6 3x-3<8x-10-6 3x-8x<-10-6+3 -5x<-13 3 4分 5 (2)解不等式组 解5x-2>3(x+1)得x> 2 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 朗号x-1≤7-x得x≤4， 1 所以不等式组的解集为 xs4 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：不等式x>1的解集为x>1或x<-1, 故答案为：x>1或x<-1; 2分 (2)解：不等式x+2≤6的解集为-6≤x+2≤6， 解得-8≤x≤4： 4分 (3)解：x-2+x+3>7所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，-3的点的距离之 和大于7， 由数轴可知， -5-4-3-2-1012345 所以不等式x-2+x+3>7的解集为x<-4或x>3. 8分 21.(10分) 【详解】(1)解：设∠B=3x,∠C=5x, 在△ABC中： ,∠BAC+∠B+∠C=180°， .∠B+∠C=80°，即8x=80°， ∴.x=10°， ∴.∠B=30°，∠C=50 ,∠ADB是△ACD的外角， .∠ADB=∠C+∠CAD, ,∠ADB=90°， .∠CAD=90°-50°=40： 2分 (2)解：①由(1)可得当点M落在BC上，即AD⊥BC时，∠CAD=40°， 如图，当点M落在AB上时， 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D 则∠CAD=∠MAD= ∠BAC=50°， 2 :点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）， .∠CAD的取值范围为40°<∠CAD<50°： 4分 ②∠BAM+∠BDM=20°，证明如下： 延长AM交BC于点N, B N 由翻折可知：∠AMD=∠C=50°， ,∠AMD是△MND的外角， ∴.∠AMD=∠∧+∠BDM, ,∠∧乙是△ABN的外角， ∴.∠∧=∠BAM+∠B, .∠AMD=∠BAM+∠B+∠BDM. ∠BAM+∠BDM=∠AMD-∠B=20 6分 (3)解：，a:β=2：3，可设a=2X,B=3x, 如图1，当射线AD与射线BC交于点P时， D C 图1 :∠BPD=180°-∠BAD-∠ABP, =180°-2x°-3x°+30 =150°-5x°， 且∠BPD<120°， 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .150°-5x°<120°， .x>6, .a>12: 8分 如图2，当射线DA与射线CB交于点P时， B D 图2 ∠ABP=180°-∠ABC-∠CBC=150°-3x°， .∠BPD=∠BAD-∠ABP =2x°-150°-3x =5x°-150°， 且∠BPD<120°， .5x°-150°<120°， .x<54, .a<108, 当直线AD与直线BC平行时，则∠BAD+∠ABC=180°， .2x°+3x°+30°=180°， .x=30, .a=60, ,AD、BC所在直线相交于点P, ∴.a≠60 又，点D从B运动到点C停止， .0≤a≤100， :.12<a≤100且a≠60 10分 22.(10分) 【详解】(1)解：不等式组B对于不等式组A绝对包含，理由： 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解不等式组A:乙，得-1<x<2, 其绝对距离为2-(-1)=3： .不等式组B的解集为-3<x≤3，且-3<3≤3，即3是不等式组B的解， ∴不等式组B对于不等式组A绝对包含： 3分 (2)解：不等式组C:有解， .∴.m>n,其绝对距离为m-n; 解不等式组D: x+n<8 2x+n>m m-n<x<8-n; 得 ‘'不等式组D对于不等式组C绝对包含， ∴.m-n是D的解，即心， 由不等式0海”2>0， 解得：m-n>0, .m>n, ∴.m-n>0,此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得m<8: 又.m>n,且-3≤n<-2, ∴.整数m的取值为-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7： 这些整数的和为-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25： 7分 (3)解：解不等式组E:乙，得-5<x<2m+3, ,不等式组E有解。 ∴.2m+3>-5,解得m>-4, 其绝对距离为(2m+3)-（-5)=2m+8: 解不等式组F:d,m-2<×3m+20 2 .不等式组F有解， .m-2<3m+20 2 解得m>-24,该条件在m>-4时自动满足： .不等式组F对于不等式组E绝对包含， ∴.2m+8是F的解，即心，解得-10<m<4, 结合m>-4,.∴.m的取值范围为-4<m<4 10分 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)解：：(3x-5)⑧(4+x)=(3x-5)+2(4+x), .3x-5≥4+x, 解得×22 故答案为：x之2 4分 (2)解：当3x+7≥-4x,即x≥-1时，(3x+7)+2(-4x)>1, 解得-5x56,即x号 故-1≤x号 当3x+7<-4x,即x<-1时，(3x+7)-2(-4x)>1, 解得11x>-6,x>-6 1无解： 综上，-1sx<6 答：x的取值范围是-1≤x< 5 10分 24.(10分) 【详解】解：任务1：①由题意得，加入m克水，则糖水为m+a克， b 糖水的浓度为 m+a ,糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， bsb 2分 m+aa ②由题意得，加入n克糖，则糖为b+n,糖水为a+n克， ∴.糖水的浓度变为 b+n a+n ,糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， .btnsb atn a 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：① b bsb. ②b+n,b+nb 4分 a+m’a+ma a+n’a+nal 任务2：证明：：b+n_b_ab+n-ba+n=ab+am-ab-bn_na-b, a+n a aa+n aa+n aa+n ,a>b>0,n>0,则a-b>0,a+n>0, na-b>0即b+n-b>0 aa+n a+n a .btnb 6分 atn a 任务3：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为b+b,克，糖水为a,+a,克， 浓度可以表示为b+b2: a1+a2 b1=b2=k' a az ∴b1=ka1,b2=ka2: :.b+b2_ka:+ka2=k a1+a2a1+a2 故答案为：b+b2,ka1+ka2, 8分 a1+a2Q1+a2 任务4：证明：由现象1得：。0<a<,2a①， a+b+c b+c a+b+c b<b<2b②， a+b+c a+c a+b+c c<c<2c③， a+b+c a+b a+b+c 则①+②+③得9+h+c<a+b+c<2a+2b+2c a+b+c b+c a+c a+b a+b+c 4e+ae+62 即1<，a+b+ 10分 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山西运城·期末）2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）已知，两个实数在数轴上的对应点如图所示，则以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）关于的一元一次不等式组，恰有个整数解，则的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（25-26八年级下·江西吉安·期中）布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且，均为正整数，则有且仅有3个取值； ④若，，，为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）三个连续正整数的和小于12，在所有满足条件的正整数组中，和最大的一组的和是__________． 13．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 14．若关于x的不等式的解集是x，则关于x的不等式的解集是___________． 15．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 16．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 18．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）用“”“”或“”填空： 若，则 若，则 若，则 ． （2）比较大小：与，其中． （3）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重，其中，售完后，两筐水果都卖了元，则哪筐水果的单价低 19．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组 20．（8分）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 21．（10分）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 23．（10分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 24．（10分）（25-26八年级上·江西南昌·期末）请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式________． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________，（用含有，，，的式子表示） 又，所以，， 则________，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“________”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若，则） 任务3：直接写出现象2中“________”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若，，是三边的长，则． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章 一元一次不等式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山西运城·期末）2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意明确不等关系，睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D两组，要求该部分学生占总人数的比例超过，根据占比关系列不等式整理即可得到结果． 【详解】解：睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D组，人数和为，总人数为，要求占比超过， 列不等式得， 是总人数，， ． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）已知，两个实数在数轴上的对应点如图所示，则以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴，得到，即可判断A正确，推导出，，得到，即可判断B错误，继而推导出，，即可判断C正确，D正确，即可解答． 【详解】解：由数轴，得 ，故A正确，不符合题意； ∴，， ∴，故B错误，符合题意， ，即，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解第一个一元一次不等式得到x的范围，结合不等式组的已知解集，可得的解集为，逐一求解各选项的不等式，即可得到正确答案． 【详解】解：解不等式，得 ， ∵不等式组的解集为， ∴的解集为， 逐个验证选项： 选项A：，解得，不符合题意； 选项B：，解得，符合题意； 选项C：，解得，不符合题意； 选项D：，解得，不符合题意． 5．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）关于的一元一次不等式组，恰有个整数解，则的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式组有个整数解，得到的取值范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组， 由可得，解得， ∴不等式组的解集为， ∵恰有个整数解， ∴这个整数解为0，1，2， ∴，则有， ∴，可得， ∴的取值范围在数轴上表示为： 6．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据不等式组的解集确定的取值范围，再结合分式方程的解为负整数且分母不为0的条件筛选符合要求的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得； 解得， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且， 解得且， ∴，且， ∵为整数， ∴满足条件的为，和为． 7．（25-26八年级下·江西吉安·期中）布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 【答案】B 【分析】根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，即可作答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， ∴输入的x可能是8． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由最小整数解为，确定含的解集端点的取值范围． 【详解】解：解不等式，得．解不等式，得． 不等式组的最小整数解是， ，解得． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且，均为正整数，则有且仅有3个取值； ④若，，，为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），结合已知条件推导各结论，逐个判断正误即可． 【详解】解：∵，为正数，为正整数，是三边长， 满足任意两边之和大于第三边． 判断①：当时，，得． ∵三角形中，且， ∴，即． 故①正确． 判断②：当，，时， ． 根据三边关系列不等式，即 ∴， ∴， 即． 故②正确． 判断③：当，，，为正整数时， ，． 由三边关系得，即． ∵是正整数，是正整数， ∴是的正约数，可取， 对应，共个不同的，不是个． 故③错误． 判断④：当，为连续正整数， 设，，（为正整数）． 则， 由得：， 两边乘（）， 得， 解得． 由三边关系， 得， 解得． ∴可取，共个值， 即满足条件的有个． 故④正确． 综上，正确结论为①②④． 10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 【答案】 【分析】根据第一个不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入第二个不等式求解，注意系数为负时不等号方向改变． 【详解】解：解不等式，移项得， ∵不等式的解集为， ∴，且，整理得， 将代入不等式，得，移项得， ∵，两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即不等式的解集为． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）三个连续正整数的和小于12，在所有满足条件的正整数组中，和最大的一组的和是__________． 【答案】9 【分析】设出三个连续正整数的最小数，根据三个数的和小于列出一元一次不等式，求解得到未知数的取值范围，结合正整数的性质得到最大的符合条件的数组，计算得到该数组的和即可． 【详解】解：设三个连续正整数中最小的数为，则另外两个数分别为，， 根据题意列不等式得： 整理不等式得： 移项合并得： 系数化为得： 为正整数， 的最大取值为， 当时，三个连续正整数为，，，和为． 13．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出第二个不等式，再根据不等式组“同大取大”的原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 得：， 则原不等式组化为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 即的取值范围是． 14．若关于x的不等式的解集是x，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集得到的符号和与的数量关系，再判断所求不等式一次项系数的符号，最后解不等式得到解集． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴不等式，两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即的解集为． 15．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】 且 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 16．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定的取值范围．首先解不等式组，得到无解的条件是；然后解分式方程，得到，要求有负整数解且 ，从而得到的取值范围；最后结合两个条件，找出符合条件的整数并求和即可； 【详解】解：不等式组为 ， 解第一个不等式，两边乘得，即， 解第二个不等式：，即， 不等式组无解，需满足，解得； 分式方程为，分母，即， 整理得，则，， ∵分式方程有负整数解， ∴，即且为8的负因数， 则可以取， 又∵，排除， 结合不等式组无解条件，排除， 则符合条件的整数为和， ； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)见后 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： 4分 （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 8分 18．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）用“”“”或“”填空： 若，则 若，则 若，则 ． （2）比较大小：与，其中． （3）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重，其中，售完后，两筐水果都卖了元，则哪筐水果的单价低 【答案】（1）；；；（2）；（3）乙筐水果的单价低 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能理解． （1）依据题意，根据不等式的性质进行变形可以得解； （2）依据题意，通过作商法进行比较大小，进而得解； （3）依据题意，首先求出两个筐水果的单价，然后两式作商再进行判断可以得解． 【详解】解：（1）， ； ， ； ， ． 故答案为：；；． 2分 （2）， ，． ，，． ． ． 5分 （3）由题意得，甲筐水果的单价为元千克，乙筐水果的单价元千克， 作商法：， 由时，， ． 乙筐水果的单价低． 8分 19．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法是解答本题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， 4分 （2）解不等式组 解 得 ， 解 得 ， 所以不等式组的解集为 ． 8分 20．（8分）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； 2分 （2）解：不等式的解集为， 解得； 4分 （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 8分 21．（10分）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①； ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； (3)且 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用． （1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：设， 在中： ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； 2分 （2）解：①由（1）可得当点落在上，即时，， 如图，当点M落在上时， 则， ∵点在的内部（不包含的边）， ∴的取值范围为； 4分 ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴ 6分 （3）解：∵，可设， 如图1，当射线与射线交于点P时， ∵， ， 且， ∴， ∴， ∴； 8分 如图2，当射线与射线交于点P时， ， ∵ ， 且， ∴， ∴， ∴， 当直线与直线平行时，则， ∴， ∴， ∴， ∵所在直线相交于点P， ∴， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴， ∴且． 10分 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)解：不等式组对于不等式组绝对包含，理由： 解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：不等式组对于不等式组绝对包含，理由： 解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； 3分 （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； 7分 （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合，的取值范围为. 10分 23．（10分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； 4分 （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 10分 24．（10分）（25-26八年级上·江西南昌·期末）请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式________． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________，（用含有，，，的式子表示） 又，所以，， 则________，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“________”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若，则） 任务3：直接写出现象2中“________”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若，，是三边的长，则． 【答案】任务1：① ，；② ，； 任务2： 见后 任务3：，； 任务4： 证明：由现象1得：， ， ， 则得， 即． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． 任务1：根据题意写出新的分式和不等式即可； 任务2：利用作差法即可证明； 任务3：根据题意写出新的分式即可； 任务4：综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明． 【详解】解：任务1：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． 2分 ②由题意得，加入克糖，则糖为，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． 4分 任务2：证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． 6分 任务3：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； ∵， ∴，， ∴． 故答案为：，． 8分 任务4：证明：由现象1得：， ， ， 则得， 即． 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章 一元一次不等式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山西运城·期末）2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）已知，两个实数在数轴上的对应点如图所示，则以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）关于的一元一次不等式组，恰有个整数解，则的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（25-26八年级下·江西吉安·期中）布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且，均为正整数，则有且仅有3个取值； ④若，，，为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）三个连续正整数的和小于12，在所有满足条件的正整数组中，和最大的一组的和是__________． 13．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 14．若关于x的不等式的解集是x，则关于x的不等式的解集是___________． 15．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 16．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 18．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）用“”“”或“”填空： 若，则 若，则 若，则 ． （2）比较大小：与，其中． （3）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重，其中，售完后，两筐水果都卖了元，则哪筐水果的单价低 19．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组 20．（8分）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 21．（10分）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 23．（10分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 24．（10分）（25-26八年级上·江西南昌·期末）请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式________． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________，（用含有，，，的式子表示） 又，所以，， 则________，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“________”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若，则） 任务3：直接写出现象2中“________”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若，，是三边的长，则． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $