26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过前置补偿复习顶点式相关知识，引导学生利用配方法将一般式转化为顶点式，构建从已知顶点式到未知一般式的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 注重自主探究与小组合作结合，通过配方推导、例题自学等环节培养学生运算能力和推理意识，分层作业设计满足不同学习需求，习题结合课本改编注重应用，助力学生掌握性质并发展模型观念，提升综合解题能力。

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 通过配方法探究，会把一般形式二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 化成顶点式 y=a (xh)²+k，发展代数运算、推理能力；理解一般式与顶点式之间的转化关系，体会转化思想。 2. 掌握抛物线 y=ax²+bx+c 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，会用公式或者配方法确定抛物线要素，发展几何直观。 3. 能综合运用性质解决简单问题，会选择合适方法分析二次函数，积累数学活动经验，发展模型观念。 学习重点：配方法化一般式为顶点式；掌握 y=ax²+bx+c 图象性质。 学习难点：二次项系数不为 1 时的配方运算；理解顶点坐标公式的来源；综合运用性质解题。 【前置补偿】 1. 抛物线顶点式 y=a (xh)²+k (a≠0)，对称轴： ，顶点坐标： 。 2. a>0，开口向____，当 x= ，y 有最____值为 ； a<0，开口向____，当 x= ，y 有最____值为 。 3. 抛物线平移规律：左加右减________，上加下减________。 4. 思考：我们已经研究顶点式，那么一般形式 y=ax²+bx+c (a≠0)，怎样转化成顶点式？ 【学生自学】 阅读课本42-44页有关内容：利用配方法，把 y=ax²+bx+c 转化为已经熟悉的顶点式 y=a (xh)²+k。 探究一：配方转化 问题：怎样把 y=x²6x+21 化成 y=a (xh)²+k 的形式？ y=x²-6x+21 =(x²-6x)+21 =(x²-6x+9)-9+21 得到 y=________________。 思考：该抛物线可以看作由 y=x² 向____平移____个单位，再向____平移____个单位得到。 探究二：推导一般二次函数的顶点式 对 y=ax²+bx+c (a≠0) 进行配方 y=ax²+bx+c =a (x²+x)+c =a[x²+x+（)² -（)²]+c =a(x+)²+____ 由此得到：抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 的对称轴直线：x= ； 顶点坐标：( , _____)。 【小组互查质疑】 小组交流配方步骤，注意二次项系数不为 1 的时候，只能在括号内部配方，括号外要补偿常数。 本组易错点记录： 知识点归纳【课本归纳整理】 对于抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 1. 开口方向： a>0，开口向____，顶点是抛物线的最____点； a<0，开口向____，顶点是抛物线的最____点。 2. 对称轴：直线____________；顶点坐标：________________。 3. 最值：a>0，当x=____时，y 最小 = ；a<0，当 x=____时，y最大= 。 4. 增减性： a>0：当 x< - )，y 随 x 增大而________；当 x> - ，y 随 x 增大而________。 a<0：当 x< - ，y 随 x 增大而________；当 x> - ，y 随 x 增大而________。 思考：我们有两种途径得到对称轴、顶点坐标，分别是： ①________________；②________________。 【课本例题自学】 例 1通过配方，写出抛物线 y= - x²6x+21 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解： y=x²-6x+21 =(x²-)+21 =[(x²-12x+ )-__]+21 =______________________ ∴开口方向： ；对称轴： ；顶点坐标：________。 例 2画出二次函数 y=x²6x+21 的图象。 步骤： (1) 确定抛物线开口方向、对称轴、顶点； （例1 已经确定） (2) 列表：在对称轴两侧选取若干 x 值，计算对应的 y； (3) 描点：根据上表对应的点的坐标，在坐标系中描出相应各点； (4) 连线：用平滑曲线顺次连接各点。 思考：画二次函数图象，优先确定哪一个关键点？ 例 3求抛物线 y=-2x²8x7 的对称轴、顶点坐标。 方法一：配方法； 方法二：直接套用顶点坐标公式。 任选一种方法书写解题过程： 【自学小测】 1. 填空：抛物线 y=x²2x，对称轴________，顶点坐标________。 2. 抛物线 y=1.5x²+3x1.5，开口方向____；当 x=____时，函数取得最____值。 【合作学习，课堂研讨】 1. 配方的时候，当二次项系数 a≠1，第一步要做什么？为什么不能直接在原式上加、减一次项系数一半的平方？ 2. 配方法和顶点坐标公式法各有什么优缺点？ 3. a、b、c 中，哪些量会直接影响对称轴的位置？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 当 a≠1 配方，先提取括号内二次项系数，只对括号内进行配方，括号外面记得补偿，极易符号、计算出错。 2. 对称轴公式 x= - ，负号不能丢。 3. 顶点纵坐标 ，分子是 4ac-b²，不是 b²-4ac。 4. 画图：先找顶点，在对称轴左右对称取点，平滑曲线连线。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 探究路径：顶点式 y=a (xh)²+k 经过配方推导得到一般式 y=ax²+bx+c；体现转化、由特殊到一般思想。 2. y=ax²+bx+c (a≠0)：对称轴 x= - ，顶点 (- ，)。 3. 获取顶点、对称轴两种方法：①配方法化为顶点式；②直接套用公式。 4. a 决定开口；a、b 共同决定对称轴位置；c 是抛物线与 y 轴交点纵坐标。 【课内自测】【课本习题改编】 1. 将 y=x²4x+3 化成顶点式，写出开口方向、对称轴、顶点坐标。 2. 抛物线 y=-3x²+6x2，当 x=____，函数取得最____值 =________。 3. 对于抛物线 y=2x²+4x1，当 x 取何值时，y 随 x 增大而增大？ 【分层作业】 分层说明：A 组基础过关必做；B 组能力提升选做；C 组拓广探索培优；取材课本习题，难度逐级上升。 A 组【基础过关・必做】 1. 通过配方把 y=x²8x+5 化为 y=a (xh)²+k 形式，写出对称轴与顶点坐标。 2. 抛物线 y=-x²+2x，开口方向________；对称轴________；顶点坐标________。 B 组【能力提升・选做】 1. 用配方法把 y=2x²+4x5 化成顶点式，说出最值。 2. 已知抛物线 y=2x²+bx+3 的对称轴是直线 x=-1，求 b 的值。 C 组【拓广探索・培优】 1. 已知抛物线 y=x²(m1) x+2m1。 (1) 当 m=1 时，求抛物线的顶点坐标； (2) 求证：无论 m 取何值，抛物线一定经过一个定点，求出这个定点的坐标。 2. 当2≤x≤2 时，求二次函数 y=x²2x3 的最大值和最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质导学案【解析版】 【学习目标】 1. 通过配方法探究，会把一般形式二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 化成顶点式 y=a (xh)²+k，发展代数运算、推理能力；理解一般式与顶点式之间的转化关系，体会转化思想。 2. 掌握抛物线 y=ax²+bx+c 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，会用公式或者配方法确定抛物线要素，发展几何直观。 3. 能综合运用性质解决简单问题，会选择合适方法分析二次函数，积累数学活动经验，发展模型观念。 学习重点：配方法化一般式为顶点式；掌握 y=ax²+bx+c 图象性质。 学习难点：二次项系数不为 1 时的配方运算；理解顶点坐标公式的来源；综合运用性质解题。 【前置补偿】 1. 抛物线顶点式 y=a (xh)²+k (a≠0)，对称轴：直线 x=h，顶点坐标：(h,k)。 2. a>0，开口向上，当 x=h，y 有最小值为 k； a<0，开口向下，当 x=h，y 有最大值为 k。 3. 抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项。 4. 思考：我们已经研究顶点式，那么一般形式 y=ax²+bx+c (a≠0)，怎样转化成顶点式？ 答：利用配方法，提取二次项系数，括号内配完全平方，整理得到顶点式。 【学生自学 课本递进探究活动】 阅读课本，课本探究思路：利用配方法，把 y=ax²+bx+c 转化为已经熟悉的顶点式 y=a (xh)²+k。 探究一：配方转化（课本探究） 问题：怎样把 y=x²6x+21 化成 y=a (xh)²+k 的形式？ y=x²-6x+21 =(x²-6x+9)-9+21 =(x-3)²+12 得到 y=(x-3)²+12。 思考：该抛物线可以看作由 y=x² 向右平移 3 个单位，再向上平移 12 个单位得到。 探究二：推导一般二次函数的顶点式（课本推导） 对 y=ax²+bx+c (a≠0) 进行配方 y=ax²+bx+c =a (x²+b/a x)+c =a [x²+b/a x+(b/2a)²-(b/2a)²]+c =a (x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a) 由此得到： 抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 的对称轴直线：x=-b/(2a)； 顶点坐标：(-b/(2a) , (4ac-b²)/(4a))。 【小组互查质疑】 小组交流配方步骤，注意二次项系数不为 1 的时候，只能在括号内部配方，括号外要补偿常数。 本组易错点记录： 参考提示：提取 a 之后忘记给括号外补偿；符号出错；顶点纵坐标混淆 b²-4ac 与 4ac-b²。 知识点归纳【课本归纳整理】 对于抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0) 1. 开口方向： a>0，开口向上，顶点是抛物线的最低点； a<0，开口向下，顶点是抛物线的最高点。 2. 对称轴：直线 x=-b/(2a)；顶点坐标：(-b/(2a)，(4ac-b²)/(4a))。 3. 最值： a>0，当 x=-b/(2a) 时，y 最小 =(4ac-b²)/(4a)； a<0，当 x=-b/(2a) 时，y 最大 =(4ac-b²)/(4a)。 4. 增减性： a>0：当 x<-b/(2a)，y 随 x 增大而减小；当 x>-b/(2a)，y 随 x 增大而增大。 a<0：当 x<-b/(2a)，y 随 x 增大而增大；当 x>-b/(2a)，y 随 x 增大而减小。 思考：我们有两种途径得到对称轴、顶点坐标，分别是： ①配方法化成顶点式；②直接套用顶点坐标公式。 【课本例题自学】 例 1通过配方，写出抛物线 y=1/2x²6x+21 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解： y=1/2x²-6x+21 =1/2 (x²-12x)+21 =1/2 [(x²-12x+36)-36]+21 =1/2 (x-6)²+3 ∴开口方向：向上；对称轴：直线 x=6；顶点坐标：(6，3)。 例 2画出二次函数 y=1/2x²6x+21 的图象。 步骤： (1) 确定抛物线开口方向、对称轴、顶点； (2) 列表：在对称轴两侧选取若干 x 值，计算对应的 y； (3) 描点：空白坐标系描点（不给图象，学生自己画）； (4) 连线：用平滑曲线顺次连接各点。 思考：画二次函数图象，优先确定哪一个关键点？ 答：优先确定顶点，再在对称轴左右对称取点。 例 3求抛物线 y=-2x²8x7 的对称轴、顶点坐标。 解（配方法）： y=-2x²-8x-7 =-2 (x²+4x)-7 =-2 [(x²+4x+4)-4]-7 =-2 (x+2)²+1 对称轴：直线 x=-2；顶点坐标 (-2，1)。 【自学小测】 1. 填空：抛物线 y=x²2x，对称轴直线 x=1，顶点坐标 (1,-1)。 2. 抛物线 y=1.5x²+3x1.5，开口方向向上；当 x=-1 时，函数取得最小值。 【合作学习，课堂研讨】 1. 配方的时候，当二次项系数 a≠1，第一步要做什么？为什么不能直接在原式上加、减一次项系数一半的平方？ 答：第一步提取二次项系数到括号外面；如果直接加减，会改变原式的值，必须在括号内完成配方，括号外做补偿。 2. 配方法和顶点坐标公式法各有什么优缺点？ 答：配方法可以直接得到顶点式，方便观察平移；公式法计算快，但纯代数计算，看不出图象平移来源。 3. a、b、c 中，哪些量会直接影响对称轴的位置？ 答：a、b 共同决定对称轴 x=-b/(2a)；c 只决定与 y 轴交点，不影响对称轴。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 当 a≠1 配方，先提取括号内二次项系数，只对括号内进行配方，括号外面记得补偿，极易符号、计算出错。 2. 对称轴公式 x=-b/(2a)，负号不能丢。 3. 顶点纵坐标 (4ac-b²)/(4a)，分子是 4ac-b²，不是 b²-4ac。 4. 画图：先找顶点，在对称轴左右对称取点，平滑曲线连线。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 探究路径：顶点式 y=a (xh)²+k 经过配方推导得到一般式 y=ax²+bx+c；体现转化、由特殊到一般思想。 2. y=ax²+bx+c (a≠0)：对称轴 x=-b/(2a)，顶点 (-b/(2a)，(4ac-b²)/(4a))。 3. 获取顶点、对称轴两种方法：①配方法化为顶点式；②直接套用公式。 4. a 决定开口；a、b 共同决定对称轴位置；c 是抛物线与 y 轴交点纵坐标。 【课内自测】 1. 将 y=x²4x+3 化成顶点式，写出开口方向、对称轴、顶点坐标。 解：y=(x2)²1；开口向上；对称轴直线 x=2；顶点 (2,-1)。 2. 抛物线 y=-3x²+6x2，当 x=1，函数取得最大值 = 1。 3. 对于抛物线 y=2x²+4x1，当 x 取何值时，y 随 x 增大而增大？ 解：对称轴 x=-1，a=2>0；∴当 x>-1 时，y 随 x 增大而增大。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 通过配方把 y=x²8x+5 化为 y=a (xh)²+k 形式，写出对称轴与顶点坐标。 解：y=(x4)²11；对称轴直线 x=4；顶点 (4,-11)。 2. 抛物线 y=-x²+2x，开口方向向下；对称轴直线 x=1；顶点坐标 (1,1)。 B 组【能力提升・选做】 1. 用配方法把 y=2x²+4x5 化成顶点式，说出最值。 解：y=-2 (x1)²3；a<0，当 x=1，y 最大值 =-3。 2. 已知抛物线 y=2x²+bx+3 的对称轴是直线 x=-1，求 b 的值。 解：-b/(2×2)=-1，解得 b=4。 C 组【拓广探索・培优】（课本习题拓广探索第 8 题） 1. 已知抛物线 y=x²(m1) x+2m1。 (1) 当 m=1 时，求抛物线的顶点坐标； 解：m=1，y=x²+x，配方 y=(x+1/2)²-1/4，顶点 (-1/2,-1/4)。 (2) 求证：无论 m 取何值，抛物线一定经过一个定点，求出这个定点的坐标。 解：整理：y=x²+x-m (x-2)-1，令 x-2=0，x=2，代入得 y=5；定点 (2,5)。 2. 当2≤x≤2 时，求二次函数 y=x²2x3 的最大值和最小值。 解：y=(x1)²4，对称轴 x=1，a>0。 x=1 时，y 最小 =-4；x=-2 时，y 最大 = 5。 ∴最小值为 - 4，最大值为 5。 说明：纯文本格式，无特殊格式，可直接复制粘贴到 Word；原卷版全部填空下划线保留；解析版完整给出解答；整套导学案模板和前面 26.1、26.2.1、26.2.2 保持统一。 学科网（北京）股份有限公司 $