第3章圆单元巩固提升测试卷2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 圆单元巩固提升测试卷（满分100分，90分钟），含选择（10题20分）、填空（10题30分）、解答（7题50分），覆盖圆的性质、计算与应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，适配九年级圆单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|圆心角、等弧、圆周角、外接圆圆心、阴影面积|结合网格（第3题）、动态问题（第8题），考查空间观念与抽象能力| |填空题|10/30|正多边形中心角、切线性质、圆锥母线、动态几何（第20题）|联系生活（第17题圆形铁皮剪扇形），体现数学眼光观察现实世界| |解答题|7/50|外接圆作图、圆的证明、实际应用（正六边形置物架、正方形内接圆）|分层设计（如27题从证明到拓展应用），培养推理能力与创新意识|

圆单元巩固提升测试卷 (满分100分时间90分钟) 一、选择题（每题2分，共20分） 1.(25-26九年级上山东济宁·期中)下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③ 同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦.其中正确的 个数共有() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(25-26九年级下全国课后作业)如图，点A,B,C,D在⊙0上，若∠B=12°，则∠A的度数为 A.10° B.12° C.15 D.24° 3.(25-26九年级上天津蓟州阶段检测)如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心是 () y 6 3 2 Nc: 0123456x A.(0,3) B.(2,3) c.(2,2) D.(1,2) 4.(25-26九年级上甘肃张掖期末)如图，点A,B,C是⊙0上的点，且∠BAC=35°，则∠CB0= 0 A.45 B.55 C.60° D.70° 5.(2026广东佛山一模)如图，点C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，连接CD,AC,半径 OA=6cm,则阴影部分的面积为() D A.3πcm2 8 (6x+93)cm2 C.2πcm2 D.6πcm2 6.(25-26九年级上：浙江绍兴期末)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径，若 ∠ABC=65°.则∠DAC的度数为(). A.40° B.35 C.30° D.25° 7.(25-26九年级下·吉林长春)如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置P组成， 且AP=BP,将阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与P重合时，报警器会发出警报，此时阀 门至少旋转了()度. D A.30 B.45 C.60 D.90 8.(25-26九年级上山东青岛)如图，⊙0的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙0 上任意一点(P与A、B、C、D不重合)，经过P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点O是MN 的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为) A.4 B.2 c.8 9.(25-26九年级上浙江温州)如图，在菱形ABCD中，过A,B,D三点的圆O交对角线AC的延长线 于点E,若OC=CE=1,则菱形的边长为(） B E 22 B.2V5 c v5 D.6 10.(25-26九年级上河北沧州期末)如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法.甲：A、B、C、D四珠顺 次连接成为一个菱形，且AB=BD.乙：A八B八CD'四株连接成一个正方形.其中两行作物间的距 离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成 一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积.设株距都为，其它客观 因素都相同.则对于下列说法： 株距 株距 D 甲 3 ①甲的行距比乙的小，②甲的行距为乙，③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同：④甲的空隙 a2、3 地面积比乙的空隙地面积少2 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题3分，共30分） 11.(25-26八年级下·上海期末)如果一个正多边形的内角和是540°，那么它的中心角是度， 12.(25-26九年级上山东期末)如图，AB是⊙0的内接正n边形的一边，点C在⊙0上，∠ACB=15°， 则n= B 13.(2026浙江绍兴二模)如图，AB是⊙0的直径，直线CD切O0于点C,连结AC，,若∠ACD=40°， 则∠BAC的度数为 D B 14.(25-26·云南模拟预测)将一张面积为15πcm的扇形纸片卷成一个底面半径为3cm圆锥，不计接缝 处损失，该圆锥母线的长为 cm 15.(25-26九年级上江苏镇江阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，C是BA延长线上一点，点D在 上，且CD=0ECD ⊙ ，的延长线交○0于点B.若2C=280,则∠CB0 ⊙0 28,2C0度数为 B 16.(25-26九年级上·浙江杭州自主招生)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长 为半径作圆，交BC于点D,交AB于点E.连接DE,∠ABC=20°，则∠DEA的度数为 C 17.(2025黑龙江大庆)有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC,用 此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径”= B 18.(2026宁夏银川三模)如图，在∠AOB中，按下列步骤作图：①在OA边上取一点C,以C为圆 心，OC长为半径画⊙C，交0B于点D:②分别以0，D为圆心，大于2OD长为半径画弧，两弧交 于点G,连接CG交OD于点E,交OC于点F,若OC=5,OD=8,则EF的长为 G 19. (2026河南周口·一模)如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A,B,C,D四个观景 位.已知观景台边缘4B=2CD 观景位A与B之间的直线距离为8，观景位C与D之间的直线距离为5， 则这座圆形观景台的半径是 D 20.(25-26九年级上四川内江)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E为射线BA上一动点，以BE 为直径的圆与CE相交于点H,则DH长度的最小值为 E A D 01 H B C 三、解答题（共50分） 21.(6分)(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，平面直角坐标系中有一个△ABC. 6 5 3 2 C O 123456x (I)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O; (2)△ABC的外接圆的圆心坐标是 ；外接圆半径为 ； (3)该圆圆心到弦AC的距离为」 22.(6分)(25-26九年级上河北张家口·期末)如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点 A,B,连接4B,作8的垂直平分线CP交B于点D,交B于点C, ()尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心O: (2)若AB=40cm,CD=10cm,求OD的长. 23.(6分)(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ACD中，DA=DC,B是AC边上一点， 以AB为直径的圆O经过点D,F是直径AB上一点（不与点A,B重合），连接DF并延长交圆O于点 E,连接EA,EB」 0 E (1)求证：∠C=∠DEB: (a若AB=BE.∠C=30 犬<DFB 的度数. 24.(6分)(2026江西模拟预测)新素材正六边形蜂窝状置物架如图(1)是某阅览室墙上安装的正六 边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图(2)所示的图形，点A,B,C,D,E,F均为正六边形的顶 点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm. AOB 图(1) 图(2) (1)连接OF,求OF的长： (2)求该置物架所占用墙面的宽度d. 25.(8分)(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的 内切圆，切点分别是D、E、F, B D (1)连接OA、OB,则∠AOB=一 (2)若BD=6,AD=4,求⊙O的半径. (3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于一 26.(8分)(25-26九年级上·江苏扬州阶段检测)小明在完成作业“如图1，∠AOB=90°，C、D是 以点为圆心的B的三等分点，弦B分别交 OC、ODx.E、F 于点 ,求证： AE=BF=CD,的基础上， 做了如下尝试如图2“把∠A0B=90°改为∠A0B=120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图 3, ∠A0B=m°，C、D是以点为圆心的B的三等分点，弦4B分别交 AB C、ODE、F 于点 ,求证： AE=BF=CD”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程. C D D D B E B EF B 0 0 图1 图2 图3 27.(10分)(25-26九年级上江苏无锡)【给出问题】如图1，正方形 内接于O0P ABCD BC 的 中点，连接AP,DP.求证：AP=DP; 【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于OO,点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC,请探究 PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明 【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC=45°，PA=1,PD=2, 试求矩形ABCD的面积. B P 力 图1 图2 图3 答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 D B D B D D A A D 1.D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误： ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误： ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，正确： ④能够重合的弧称为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故原说法错误； ⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误. 正确的只有③，共1个. 故选：D 2.B 【详解】解：∠B和∠A是同弧所对的圆周角， .∠A=∠B=12 故选：B, 3.D 【详解】 y个 6 5 4 解： 3 0123456 设△ABC外接圆的圆心为点D, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， A(3,6)B(5,4)C(5,0) 由题可知， 则作BC的中垂线DM交BC于M, 作AB的中垂线DN交AB于N, :.DA=DB=DC, 设点D的坐标为 m,2) DC=V5-m)}+(0-2} ∴DA=V3-m}+(6-2}， V5-m2+(0-2=V3-m'+(6-2」 ∴，m=1, 则点D的坐标为 1,2) 故选：D. 4.B 【详解】解：连接OC, B ∴.∠COB=2∠BAC=70°， .OB=OC, :∠C80=∠0CB=180°-70-55 2 故选：B. 5.D 【详解】解：连接AD,OD,OC,如图， D B ,点C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点， AD-DC-BC .∠AOD=∠DOC=∠COB=60°. 0D=0C, .△COD是等边三角形， ∠0DC=60°， .∠AOD=∠ODC, .CDIAB、 S.ACD=S.OCD ∴阴影部分的面积=S扇形Doc= 60π×62 360 =6π(cm2) 6.D 【详解】解：连接CD,如图， :AD是OO的直径， .∠ACD=90°， .:∠D=∠ABC=65° .∴.∠DAC=90°-65°=25° 故选：D. 7.A 【详解】解：如图，连接OA, E D 该图形为正六边形， ∠AOB= 360° =60° 6 .OA=OB,PA=PB. ∴.OP垂直平分AB,OP平分∠AOB .∠BOP=30° ∴阀门至少旋转了30度. 8.A 【详解】解：如图，连接OQQP, :PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N, ∴四边形ONPM是矩形， 又：点Q为MN的中点， “点为OP的中点， 则00=1， 45π×1π 点Q走过的路径长=180=4： 故选：A. A D 分 9.D 【详解】解：OC=CE=1, ..OA=OE=OC+CE=1+1=2. ∴，AC=OA+OC=2+1=3 设AC与BD交于点G,连接OB, A D G 四边形 是菱形， B E ABCD CG=1 0o号 2 BG2=0B2-0G=22 15 4, BC2=BG2+CG2=15 2+2y=6 42 ..BC=6 (负值舍去)· 故选：D. 10.C 【详解】根据题意求出甲乙的行距，阴影部分的面积即可判断. 3 解：甲的株距为a,行距为2Q,乙的行距为a, .甲的行距比乙的小，故①②正确， 132 :甲阴影部分的面积2×2×20- a ( 2 4 乙的阴影部分的面积=a2-π· =a2-a 4 2、3 a ∴，甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少 2 故③错误，④正确. 故选：C. 11.72 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则a-2)x180°=540 解得n=5 360°=72° 所以正五边形的中心角是5 故答案为：72 12.12 【详解】解：，AB是⊙0的内接正n边形的一边，点C在⊙0上，∠ACB=15°， .∠AOB=2∠ACB=30°， 360=12: .I 30 故答案为：12 13.50° 【详解】解：连接CO, ,直线CD切OO于点C, .OC⊥CD. .∠DC0=90°， .∠ACD=40°， .∠BAC=90°-∠ACD=90°-40°=50° C 14.5 【详解】解：设该圆锥母线的长xcm, 则有2×2r×3×x=15r, 1 解得：x=5, .该圆锥母线的长5cm, 故答案为：5. 15.56 【详解】解：连接OD E B CD=OE,OE =OD. :.CD=OD, .∠C=28°， .∠DOC=∠C=28° ∠ED0=∠C+∠D0C=56°， OD=OE .∠E=∠ED0=56° 故答案为：56. 16.650 【详解】解：连接AD,如下图所示： D ∠BAC=90°，∠ABC=20° .∠ACB=70, AC=AD, :.∠ADC=∠ACB=70° .∠CAD=180°-∠ADC-∠ACB=40°， .∠DAE=∠BAC-∠CAD=50°， AD=AE, ∠D1=∠ADE=080-∠D4E)=65, 故答案为：65° 3 17.3 【详解】解：如图，连接AO,延长AO交⊙O于点D,连接BD、CD, B 扇形 ABC .AB=AC」 .AB=AC .∠ADC=∠ADB, :AD为⊙0直径， ∠ACD=∠ABD=90°， .∠CAD=90°-∠ADC,∠BAD=90°-∠ADB ..∠CAD=∠BAD 由题意得：∠BAC=60°，AD=4, :∠CAD=∠BAD=∠BAC=30° 六AB=4Dxcos.∠BAD=4x5=2N5 2 ÷BC=60π×2W5_2V5】 π 180 3， .2mr=BC, ..r= 23mV5 3×2元3， √5 故答案为：3· 18.2 【详解】解：由作图步骤①可知，点O、D在⊙C上， ∴.C0=CD=5」 由作图步骤②可知，CE垂直平分线段OD, CE⊥OD, ×8=4 Γ21 在R0CE中，由勾股定理得：CE=VOC-0E=VS-4=3 点F在⊙C上， ∴CF=OC=5, .EF=CF-CE=5-3=2 19. 25 【详解】解：如图，过O作OM⊥AB于点M,延长OM交⊙O于点N,连接OA,AN, BN, D C M B &4M=BM方4B=4.N=成-@，∠AN-∠M0:, 4B-2CD AN-BN-CD .AN BN =CD=5, MN-VAN-AM =15-4=3 设⊙0为r,则0M=r-3, .042=OM2+AM2, :2=0-3}+4 3 6 25 “这座圆形观景台的半径是6· 20.2 【详解】解：取BC的中点G,连接BH,HG,DG,如图所示： D A H B ,BE为直径， .∠BHE=∠BHC=90° :HG-BC-BG-CG=3 2 ·CD=AB=4 DG=CD+CG=5 .DG-HG≤DH, .DH≥5-3=2， 即：DH长度的最小值为2， 故答案为：2 21.(1) 如图，点O即为所求： 6 5 2 2 3 456x 5,2) (2)解：观察(1)中的图，得出点O的坐标为 外接圆的半径 0A=V22+42=2√5 故答案为： (5,2)25 (3)解：取AC的中点H,连接OH, .OA=OC.AH=CH, OH⊥AC, 六该圆圆心到弦4C的距离为OH=VP+3=V0 √10 故答案为： 22.(1) 解：如图，圆心O即为所求， A (2)解：连接OB,如图， E 垂直平分 .·CD AB AB=40cm :BD 20cm, .CD=10em,OC=OB, ∴.OB=OD+10. ∠ODB=90°. ..OD2+BD2=OB2 0D2+202=(0D+10)2 解得OD=15】 .OD的长为l5cm 23.(1) 证明：DA=DC, .∠DAC=∠C, 又：∠DAC=∠DEB. .∠C=∠DEB: (2)解：连接OE, D E AF=BE .OE⊥AB, ∠A0E=90°， 2<406=450 &∠ADE= .∠DAC=∠C=30°， ∴.∠DFB=∠DAC+∠ADE=30°+45°=75° 24.(1)OF=43dm (2)19dm 【详解】(I)解：如图(I),连接FD并延长交AB的延长线于点G,作ER⊥DF于点 R D AOBHG 图(1) ·∠CDE=∠DEF=(6-2x180 =120°，EF=ED. 6 ∠BEFD=∠EDF=180°，120°-30°. 2 ∠FDC=120-30°=90，DR=DE.cos30=5DE 2 FD=2x DE=2 2 :∠BCD=360°-120°-120°=120°=∠ABC, .ABII CD LG=LCDF=90°， ,∠ABC=120°， .∠CBG=60°. 过点C作CH⊥BG,垂足为H, H=BCsin60=2x3,BH=BC=1 则 2 .∠CHG=∠G=∠CDG=90° .四边形CDGH为矩形， .DG=CH=3,HG=CD=2 :0G=1+1+2=4,FG=25+5=3N5 0F=0G2+FG=4+35=④3(dm, (2)如图(2)，由题意得： M,M,M,M,M,M,M共线，连接 M6 过点e作ON L MM, ,垂足为N, MM=M2M:=M Ms,M M2 M:M=M;M=2 则 MM Ms M Ms Me.N AOB 图(2) LONM中， ∠NM.Q=180°-120°=60°，M.Q=2 在 MN=M,Qcos60°=2x1 1 设左上角正六边形中心为点O,其左上角的顶点为W,连接OW, 则∠MOm= 360° =60°，OM=OW 6 ∴△OMW是等边三角形， ∴OM=OM1=MW=2 .MM=2×2=4 .MN=3MM1+3M,M2+MsN=3×4+3×2+1=19 答：该置物架所占用墙面的宽度d为19dm」 25.(1)135° (2)2 65 【详解】(1)解：⊙O是△ABC的内切圆， ∴.OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, 在Rt△ABC中，∠C=90°， .∠CAB+∠CBA=90° ∴.∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=45° 2 .∠AOB=180°-45°=135° (2)解：设半径为r,连接OE、OF, OO是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, ·由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90°OE⊥BCOF⊥AC ∴四边形OECF是正方形，CE=CF=r, .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, :AB=AD+BD=4+6=10」 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r)2=102 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， ∴.⊙0的半径r=2. (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, AD=4,AB=10. :Aw8=5, .MD=AM-AD=5-4=1, :OD是内切圆半径，OD⊥AB, .OD=r=2, 在RtAOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD2+MD2=√22+下=√5 :RtABC的外心和内心的距离为Y 5 B 26. 尝试：证明：如图，连接AC、BD, C D E 是 的三等分点， C、DAB ∠AOB=120° :.AC=CD=DB∠AOC=∠COD=∠DOB=40° .AC=CD=BD .OA=OB ·∠0AB=∠0BA=180°-120 =30° 2 0A=0C, 六∠0AC=∠0C4=180°-40 =70° 2 .∠EAC=∠OAC-∠OAB=70°-30°=40° 在△AEC中，∠AEC=180°-∠EAC-∠OCA=180°-40°-70°=70°， ∴.∠AEC=∠OCA. .AE=AC 同理可证BF=BD, 结合AC=CD=BD .AE=BF=CD 猜想：证明：如图，连接AC、BD, E 是的三等分点， C、DAB ∠AOB=n° :AC=CD=DB,∠A0C=∠C0D=∠DOB= 3 ∴.AC=CD=BD .OA=OB 六∠0AB=∠0BA=180°-n° 2 OA=OC. 180°、n ∠01c=∠0C1=,3-90-2 2 6 ·∠EAC=∠0AC-∠0AB=90-n）_180°-n°=n° 623 在△AEC中， ∠AEC=180°-∠EAC-∠0CA=180_ 3 Γ90°- 6 =90°- 6 ∴.∠AEC=∠OCA, .AE=AC 同理可证BF=BD, 结合AC=CD=BD, .AE=BF CD 27. [给出问题]证明：：四边形ABCD是正方形， ..AB=CD .AB=CD :P是BC 的中点， :PB=PC .AP=DP :.AP=DP: PA=CP+2BP [深入思考] ,理由如下， 过点B作BO L BP交AP于点，取圆心O,连接OA,OB, ∠ABC=∠PBQ=90° :.∠ABC-∠CBQ=∠PBQ-∠CBQ ∴.∠ABQ=∠CBP ∠AOB=90°， ∠APB=45°， ∴.BP=BQPQ=√2BP 在△ABO和△CBP中， 「LBAQ=∠BCP ∠ABQ=∠CBP BO=BP ∴.△ABQ≌△CBP(AAS) ∴.AQ=CP .PA=AO+PO=CP+2BP ,即PA=CP+V2BP [拓展应用]解：以BC为边，作正方形BCFE,连接PE,PF,BF,OC,作正方形 BCFE的外接圆⊙O,则圆心O在BF上， .∠BPC=45°∠B0C=90° ∴点P在⊙0上， PA=1,PD=2, ..BE EF =BC=AD=PA+PD=3,AE=DF, ∠BEF=90°， :BF=3√2 设AE=x,则DF=x,AB=3+x, 在R6ABP中，BP=AB+AP2=(B+x}+P 在RtAPDF中，PF2=PD2+DF2=x2+22, 在RtBPF中，BF2=BP2+PF2, :(32=3+x+1+r+2 解得，3 2(负值舍去) 8=3+厅-3+3 22, B-CD=+3x337+9 矩形ABCD的面积 2 2.