第15章 轴对称图形与等腰三角形 分层训练2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 沪科版2024八年级数学上册第15章分层训练，分A（★）、B（★★）、C（★★★）三层共36题，覆盖轴对称图形、等腰三角形等全章考点，对标段考，构建“概念-推理-应用”进阶巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A（★）|单一知识点直接应用（如轴对称识别、点对称坐标）|选择填空为主，考概念辨析与简单计算，夯实基础| |B（★★）|两步推理与分类讨论（如等腰三角形内角分类、中垂线性质应用）|解答题为主，含生活情境（直饮水点选址），培养推理意识| |C（★★★）|综合模型与跨章节联动（手拉手、将军饮马、折叠）|探究题为主，结合天鹅湖等现实情境，发展模型观念与创新意识|

沪科版（2024）八年级数学上册第15章 《轴对称图形与等腰三角形》分层训练 （A基础巩固 ★ / B能力提升 ★★ / C拓展探究 ★★★，共36题，附参考答案与解析 · 对标合肥段考） 使用说明：本训练覆盖第15章“轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形、角平分线”全部考点，共36题，按难度分三层并逐题标注星级——★为直接应用教材知识的基础题；★★为需要两步推理或分类讨论的提升题；★★★为综合模型（手拉手、将军饮马、动点、折叠）与跨章节联动的拓展题。建议先独立完成A层，再按学力选做B、C层。 知识点覆盖一览 知识点 A层（★） B层（★★） C层（★★★） 轴对称图形识别与对称轴条数 1、2 — — 平面直角坐标系中的轴对称 3、4 1、12 9 轴对称性质与最短路径（将军饮马） 2 8、11 2、10 线段垂直平分线性质、判定与外心 5、6、14 2 6 等腰三角形性质（等边对等角、三线合一） 7、9 3、4、5、9 3、8 等腰三角形判定（等角对等边） 12 12 7 等边三角形与含30°直角三角形 10、11 6 1、4、7 角平分线性质、判定与内心 13、14 7、10 5、10 手拉手 / 动点 / 折叠 / 综合建模 — — 1—10 A层·基础巩固（★） 1．下列图形中，对称轴条数最多的是（＿） A．等边三角形　　B．正方形　　C．正六边形　　D．圆 2．两个图形关于直线 l 成轴对称，若其中一个图形上一条线段的长为5，则它的对应线段长为＿＿＿；对应角＿＿＿（填“相等”或“不相等”）。 3．点 M(3，−4) 关于 x 轴对称的点的坐标为＿＿＿，关于 y 轴对称的点的坐标为＿＿＿。 4．点 A(−2，5) 与点 B 关于 y 轴对称，点 B 关于 x 轴的对称点为 C，则点 C 的坐标是（＿） A．(2，5)　　B．(−2，−5)　　C．(2，−5)　　D．(−2，5) 5．直线 l 垂直平分线段 AB，点 P 在 l 上，若 PA＝7，则 PB＝＿＿＿。 6．下列说法正确的是（＿） A．到一条线段两个端点距离相等的点有且只有一个 B．垂直于一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 C．若 PA＝PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 7．等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角是＿＿＿；若它的顶角是70°，则每个底角是＿＿＿。 8．等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（＿） A．13　　B．17　　C．13或17　　D．10 9．△ABC 中 AB＝AC，AD⊥BC 于 D，若 BC＝10，∠BAC＝80°，则 BD＝＿＿＿，∠BAD＝＿＿＿。 10．等边三角形的每个内角都等于＿＿＿°，它一共有＿＿＿条对称轴。 11．Rt△ABC 中∠C＝90°，∠A＝30°，斜边 AB＝10，则 BC＝＿＿＿。 12．下列条件中，能判定△ABC 是等腰三角形的是（＿） A．∠A＝40°，∠B＝60°　　B．∠A＝50°，∠B＝80°　　C．∠A＝20°，∠B＝100°　　D．∠A＝50°，∠B＝70° 13．OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，若 PD＝3，则 PE＝＿＿＿。 14．三角形三边垂直平分线的交点到三角形＿＿＿的距离相等；三条角平分线的交点到三角形＿＿＿的距离相等。（填“三个顶点”或“三边”） B层·能力提升（★★） 1．已知点 P(2a−3，4) 与点 Q(5，b＋2) 关于 y 轴对称，则 a＝＿＿＿，b＝＿＿＿。 2．如图，△ABC 中，DE 垂直平分 AC，分别交 AC、BC 于 D、E。若 AB＝6，BC＝9，求△ABE 的周长。 3．分类讨论：（1）若等腰三角形的一个内角为80°，求其余两个内角；（2）若一个内角为100°呢？ 4．如图，△ABC 中 AB＝AC，点 D 在 BC 上，且 AD＝BD，∠CAD＝30°，求∠B 的度数。 5．如图，△ABC 中 AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。求证：DE＝DF。 6．如图，等边△ABC 的边长为8，D 是 AC 的中点，DE⊥BC 于 E。求 CE 与 BE 的长。 7．如图，△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 I，点 I 到 BC 的距离为3，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积。 8．如图，直线 l 同侧有 A、B 两点，作点 A 关于 l 的对称点 A′，A′B 交 l 于点 P。（1）说明 PA＋PB 最小的理由；（2）若量得 A′B＝10，则 PA＋PB 的最小值是多少？ 9．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°，求这个等腰三角形顶角的度数。 10．如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，且 PC＝PD。求证：OP 平分∠AOB。 11．（生活选址）如图，一条笔直的绿道 l 旁有两个凉亭 A、B，现要在绿道上设一个直饮水点 P，使 P 到 A、B 的距离相等。请用尺规作图确定 P 的位置，并说明这样的点有几个。 12．在如图所示的平面直角坐标系中，A(0，2)、B(−2，0)、C(2，0)。（1）判断△ABC 的形状并说明理由；（2）写出△ABC 关于 y 轴对称的三角形各顶点坐标；（3）△ABC 有几条对称轴？是哪条直线？ C层·拓展探究（★★★） 1．（手拉手模型）如图，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接 BD、CE。（1）求证：BD＝CE；（2）判断 BD 与 CE 的位置关系，并说明理由。 2．（最短路径·生活情境）合肥天鹅湖岸可近似看作一条直线 l，岸边同侧有两个观景台 A、B，如图。现要沿湖岸修一处亲水平台 P，使 PA＋PB 最小。（1）用作图确定 P 的位置；（2）说明 PA＋PB 最小的道理；（3）若另要求平台到 A、B 的距离相等，应在何处修建？这样的位置有几个？ 3．（分类讨论）如图，等腰△ABC 中 AB＝AC，BD 是 AC 边上的中线，BD 把△ABC 的周长分成12和15两部分。求△ABC 各边的长。 4．（等边动点·定值）如图，等边△ABC 的边长为6，点 P 从 A 出发、点 Q 从 B 出发，均以1个单位/秒的速度分别沿 AB、BC 运动，连接 AQ、CP 交于点 M。（1）求证：运动过程中始终有△ABQ≌△CAP；（2）∠AMP 的大小是否随时间改变？若不变，求其值。 5．（角平分线＋全等）如图，△ABC 中∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，点 F 在 AC 上，且 BD＝DF。（1）求证：CF＝EB；（2）探究 AB、AF、EB 之间的数量关系并证明。 6．（双中垂线综合）如图，△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E。（1）若 BC＝12，求△ADE 的周长；（2）若∠BAC＝110°，求∠DAE 的度数。 7．（旋转全等）如图，△ABC 是等边三角形，D 是三角形内一点，以 A 为旋转中心，把 AD 旋转60°得到 AP（即 AD＝AP，∠DAP＝60°），连接 BD、CP。（1）求证：△ABD≌△ACP；（2）若 BD＝5，求 CP；（3）判断△ADP 的形状。 8．（折叠＋周长）如图，Rt△ABC 中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10。沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处。求△BDE 的周长。 9．（坐标·轴对称·最短路径综合）在如图所示的平面直角坐标系中，A(1，0)、B(5，0)、C(3，4)。（1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点坐标；（2）判断△ABC 的形状并说明理由；（3）在 y 轴上找一点 P，使 PA＋PC 最小，求出点 P 的坐标。 10．（尺规作图·双判定·生活情境）某社区两条道路 OA、OB 相交于 O，道路之间有两个快递柜 C、D，如图。现要设一个便民服务点 P，使 P 到两条道路 OA、OB 的距离相等，且到两个快递柜 C、D 的距离也相等。（1）用尺规作图确定 P 的位置（保留作图痕迹）；（2）写出作图依据。 参考答案与解析 A层（★） 1．D（圆有无数条对称轴，正六边形6条，正方形4条，等边三角形3条）。 2．5；相等（轴对称的对应线段相等、对应角相等）。 3．(3，4)；(−3，−4)（关于x轴横同纵反，关于y轴纵同横反）。 4．C（B为(2，5)，再关于x轴对称得C(2，−5)）。 5．7（中垂线上的点到两端距离相等）。 6．C（A有无数个点，B还须经过中点，D是到两端点而非到线段距离相等）。 7．40°；55°（180−2×70＝40；(180−70)÷2＝55）。 8．B（3为腰时3＋3＜7不成立，只能7为腰，周长7＋7＋3＝17）。 9．5；40°（三线合一：BD＝½BC＝5，∠BAD＝½∠BAC＝40°）。 10．60；3。 11．5（30°角所对直角边等于斜边的一半，BC＝½AB＝5）。 12．B（B中∠C＝180−50−80＝50°＝∠A，等角对等边；其余均无两角相等）。 13．3（角平分线上的点到角两边距离相等）。 14．三个顶点；三边（前者为外心，后者为内心）。 B层（★★） 1．a＝−1，b＝2（关于y轴对称纵坐标相等：b＋2＝4，b＝2；横坐标互为相反数：2a−3＝−5，a＝−1）。 2．DE垂直平分AC，故EA＝EC。△ABE周长＝AB＋BE＋EA＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝6＋9＝15。 3．（1）80°为顶角时，两底角均为(180−80)÷2＝50°，即50°、50°；80°为底角时，另一底角80°、顶角20°，即80°、20°。（2）100°只能为顶角（若为底角则两底角之和已超过180°），两底角均为(180−100)÷2＝40°，即40°、40°。 4．设∠B＝∠C＝x。由AD＝BD得∠BAD＝∠B＝x，故∠BAC＝x＋30°。由内角和(x＋30)＋x＋x＝180，解得x＝50，即∠B＝50°。 5．连接AD。∵AB＝AC、D是BC中点，由三线合一AD平分∠BAC；又DE⊥AB、DF⊥AC，由角平分线性质DE＝DF。 6．D是AC中点，CD＝½AC＝4。在Rt△CDE中∠C＝60°，故∠CDE＝30°，CE＝½CD＝2；BE＝BC−CE＝8−2＝6。 7．内心I到三边距离都等于3，故S△ABC＝½×3×AB＋½×3×BC＋½×3×CA＝½×3×(AB＋BC＋CA)＝½×3×20＝30。 8．（1）由对称PA＝PA′，故PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，等号当且仅当P在线段A′B上时成立（两点之间线段最短），故A′B与l的交点使PA＋PB最小；（2）最小值＝A′B＝10。 9．设腰上的高为BD、垂足为D，则在Rt△BDC中底角∠C＝90°−35°＝55°，故顶角∠A＝180°−2×55°＝70°。 10．∵PC⊥OA、PD⊥OB，∴∠PCO＝∠PDO＝90°；在Rt△PCO与Rt△PDO中，PC＝PD，PO＝PO，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∠COP＝∠DOP，即OP平分∠AOB。 11．作线段AB的垂直平分线，它与绿道l的交点即所求点P；由中垂线性质PA＝PB。直线与一条直线一般只有一个交点，故这样的点只有1个。 12．（1）B、C关于y轴对称、A在y轴上，故AB＝AC，△ABC是等腰三角形；（2）关于y轴对称后仍为A(0，2)、B(−2，0)、C(2，0)（图形自身关于y轴对称）；（3）有1条对称轴，即y轴。 C层（★★★） 1．（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，即∠BAD＝∠CAE；又AB＝AC、AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），BD＝CE。（2）BD⊥CE：延长BD交CE于点H，由全等∠ABD＝∠ACE，结合对顶角与直角可得∠BHC＝90°，故BD⊥CE。 2．（1）作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于P，P即所求；（2）由对称PA＝PA′，PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，由两点之间线段最短知此时最小；（3）到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，该中垂线与l交于点Q，Q即所求，一般情况下只有1个。 3．设AB＝AC＝x，则AD＝DC＝½x。①若AB＋AD＝12，即x＋½x＝12，x＝8，此时BC＋DC＝15，BC＝15−4＝11，三边长为8、8、11（8＋8＞11，成立）；②若AB＋AD＝15，即1.5x＝15，x＝10，此时BC＋DC＝12，BC＝12−5＝7，三边长为10、10、7（成立）。综上，三边长为8、8、11或10、10、7。 4．（1）由题意AP＝BQ＝t，又AB＝CA，∠B＝∠CAP＝60°，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）不变，∠AMP＝60°。由全等∠BAQ＝∠ACP，故∠AMP＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°。 5．（1）AD平分∠BAC，DC⊥AC、DE⊥AB，故DC＝DE；在Rt△DCF与Rt△DEB中，DF＝DB、DC＝DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），CF＝EB。（2）AB＝AF＋2EB。在Rt△ACD与Rt△AED中，AD公共、DC＝DE，∴两三角形全等（HL），AC＝AE；于是AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋FC＋EB＝AF＋2EB。 6．（1）D在AB中垂线上故DA＝DB，E在AC中垂线上故EA＝EC；△ADE周长＝AD＋DE＋EA＝BD＋DE＋EC＝BC＝12。（2）由DA＝DB得∠DAB＝∠B，由EA＝EC得∠EAC＝∠C；∠B＋∠C＝180°−110°＝70°，故∠DAE＝∠BAC−(∠DAB＋∠EAC)＝110°−(∠B＋∠C)＝40°。 7．（1）∵∠BAC＝∠DAP＝60°，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAP−∠DAC，即∠BAD＝∠CAP；又AB＝AC、AD＝AP，∴△ABD≌△ACP（SAS）。（2）由全等CP＝BD＝5。（3）AD＝AP且∠DAP＝60°，故△ADP是等边三角形。 8．由折叠知AE＝AC＝6、CD＝DE，∴BE＝AB−AE＝10−6＝4；△BDE周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝8＋4＝12。 9．（1）A′(−1，0)、B′(−5，0)、C′(−3，4)；（2）AB中点为(3，0)，点C(3，4)在AB的垂直平分线上，故CA＝CB，△ABC为等腰三角形；（3）作A关于y轴的对称点A′(−1，0)，直线A′C的解析式为y＝x＋1，与y轴交于P(0，1)，即所求。 10．（1）作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点即P（保留作图痕迹）；（2）依据：角平分线上（或角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）保证P到OA、OB等距；线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，保证P到C、D等距，两条件同时满足的点即二者交点。 学科网（北京）股份有限公司 $