第15章 轴对称图形与等腰三角形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第15章整合拔尖 知识体系构建 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全 轴对称图形重合，那么这个图形叫作轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那 轴对称。 么称这两个图形关于这条直线（成轴）对称 轴对称 性质：如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称的性质和判定 判定：如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线 垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 性质定理，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 线段的垂直 平分线 判定定理到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 轴对称图形与等腰三角形 利用“角的平分 线十双垂直”构 造相等线段 性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线 性质定理的逆定理。角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 定理1：等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 性质 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合 (三线合一) 运用定义 判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形 等边三角形任意一边都有“三线合一”的性质 性质。等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60° 等边三角形 运用定义 判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 96 第15章轴对称图形与等腰三角形 [91高频考点突破 考点一轴对称图形 考点三角平分线的性质与判定 典例1新趋势·跨化学学科(2024·重庆A卷) 典例3如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC 下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图 的平分线AD交边BC于点D,DE⊥AB于点 形的是 E,点F在AC上，FD=DB.求证： (1)CF=EB. (2)AB=AF+2EB. A. B D. [变式]新考向·传统文化(2024·准南期末)甲 骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形 式.下列甲骨文中，不属于轴对称图形的是 D (典例3图) A B D 考点二 线段垂直平分线的性质与判定 典例2如图，△ABC的边AB,BC的垂直平分 线交于点P (1)求证：点P在边AC的垂直平分线上， [变式]如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的 (2)若∠BAC=80°，求∠BPC的度数. 平分线交于点D,过点D作DE⊥AB,DF AC,DG⊥BC,垂足分别为E,F,G. (1)求证：点D在∠ACB的平分线上 (2)若△ABC的周长和面积都为24，求DE (典例2图) 的长 [变式](2025·淮南寿县期末)如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，BC的垂直平分线交AB于点 E,垂足为D,CE平分∠ACB. (1)求∠A的度数， (2)若BE=4,求AE的长. 97 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 考点四等腰三角形的性质与判定 考点五等边三角形的性质与判定 典例4如图，BD是∠ABC的平分线，点D在 典例5如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB> 边AC上，DEBC,交AB于点E. 60°，在AC边上取点D,连接BD,使BD=BC. (1)求证：∠EBD=∠EDB 以AD为一边作等边三角形ADE,且使点E与 (2)当AB=AC时，请判断CD与DE之间的 点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC. 数量关系，并说明理由 (1)求∠BDE的度数 (2)点F在AB上，连接DF,DF=BD,请判断 △BDF是否为等边三角形，并说明理由， E B (典例4图) B (典例5图) [变式](2025·滁州凤阳期末)如图，在△ABC [变式]如图，在△ABC中，BD是高，D是AC 中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分 边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延 线BD交边AC于点D,E为BC的中点，连 长线交AB于点F,且EF⊥AB,∠E=30° 接DE (1)求证：△ABC是等边三角形 (1)求证：△BCD为等腰三角形 (2)试探究线段AD与CE的数量关系，并说明 (2)求∠EDC的度数 理由 98 第15章轴对称图形与等腰三角形 综合素能提升 1.(2025·合肥肥东期末)如图，在△ABC中， (1)如图②，△ABC是等腰三角形，△ABE, DM,EN分别垂直平分AB和AC,垂足为 △ACD是等腰直角三角形，连接DE.求证： M,N,且分别交BC于点D,E.若∠DAE= △ABC与△ADE互为“顶补三角形”， 20°，则∠BAC的度数为 (2)在(1)的条件下，BE与CD交于点F,连 A.90°B.100°C.105°D.110° 接AF并延长，交BC于点G.探究DE与 AG之间的数量关系，并证明. (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B=40°， ∠C=50°.在平面内是否存在点P,使 MC 0 D N (第1题) (第2题) △PAD与△PBC互为“顶补三角形”？若存 2.如图，A,B分别是∠NOP,∠MOP的平分 在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明 线上的点，AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点 理由. C,AD⊥MN于点D,则下列结论错误的是 A.AD+BC=AB B.∠AOB=90° C.与∠CBO互余的角有2个 D.O是CD的中点 3.在平面直角坐标系中，点A,B的坐 ③ (第5题) 标分别为（一2,4），(4,2)，P为x轴 上一动点，当PA+PB的值最小 时，点P的坐标为 4.如图，O是等边三角形ABC 内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a,以OC为一边 110 向右作等边三角形COD,连 B 接AD. (第4题) (1)当a=150°时，按角分类，△AOD的形状 是 (2)当&= 时，△AOD是等腰三 角形 5.新考法·新定义题如图①所示为共顶 点的△ABC和△AB'C.若AB= AB',AC=AC',且∠BAC+ ∠B'AC'=180°，则称△ABC与△AB'C互 为“顶补三角形”. 993.如图，在线段DE上截取DM= AD,连接AM, .AB=AC,∠BAC=30°， ∴.∠ABC=∠ACB=75°. 在△ABD和△ACD中， (AB=AC, BD=CD, AD-AD, .∴.△ABD≌△ACD. ∴.∠BAD=∠CAD=2∠BAC= 15°. DB=DC,∠DCB=30, .∠DBC=∠DCB=30. ∴.∠ABD=75°-30°=45. ∴.∠ADE=∠ABD+∠BAD=6O°. DM-AD, ∴.△ADM是等边三角形. ∴.∠ADM=∠AMD=60. ∴.∠ADB=∠AME=120°. AE=AB, ∴.∠ABD=∠E 在△ABD和△AEM中， I∠ADB=∠AME, ∠ABD=∠E, AB=AE, ,∴.△ABD≌△AEM. ∴.BD=EM. BD=CD, .'CD=ME DE=DM+ME, ∴.DE=AD+CD. A E B (第3题) 4.延长AD至点G,使GD=AD,连 接BG. AD为边BC上的中线， .BD=CD. 在△BDG和△CDA中， BD=CD, ∠BDG=∠CDA, GD-AD, .∴.△BDG≌△CDA」 .BG=CA,∠G=∠CAD. AE=EF. .∠CAD=∠AFE. 又.∠BFG=∠AFE, .∠G=∠BFG. .BG=BF. .AC=BF. 5.延长DE,AB交于点F, AB//CD. ∴.∠CDE=∠F 在△DCE和△FBE中， ∠CDE=∠F, ∠DEC=∠FEB, CE=BE, .∴.△DCE≌△FBE. ∴.DE=FE,CD=BF .∴.AF=AB+BF=AB+CD ,AE平分∠BAD,DE=FE ∴.易得AD=AF. .AD=AB+CD. 6.如图，在AC上截取AE=AB, 接DE. ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中， AB-AE, {∠BAD=∠EAD, AD-AD. ∴.△ABD≌△AED. ∴.∠B=∠AED,BD=ED. 又.∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C. :∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDC=∠C. .ED=CE. ∴.BD=CE. .∴.AB+BD=AE+CE=AC. D (第6题) 7.连接MA. MN为AB的垂直平分线， .MA=MB ∴.∠MAB=∠B=15. ∴.∠AMC=30°. ∠C=90°， .MA=2AC. .∴.MB=2AC. 8.(1)如图，连接AE. ·EF垂直平分AB, 38 ∴.AE=BE .BE=AC, .'.AE=AC. ,D是EC的中点， .AD⊥BC (2)设∠B=x. AE=BE, .∠BAE=∠B=x .∠AEC=∠B+∠BAE=2.x. .AE=AC, .∠C=∠AEC=2x. 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC= x十2x+75°=180°，解得x=35°， .∠B=35 连 B (第8题) 第15章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式]D 典例2(1)△ABC的边AB,BC 的垂直平分线交于点P, .PA=PB,PB=PC. .PA=PC. ∴.点P在边AC的垂直平分线上. (2)由(1)知PA=PB=PC. .∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC= ∠PCA. .∠PBC+∠PCB=180 ∠PBA- ∠PAB- ∠PAC ∠PCA=180°-2（∠PAB+ ∠PAC)=180°-2∠BAC=180° 160°=20 .∠BPC=180°-20°=160. [变式](1)CE平分∠ACB, ∴.∠ACE=∠ECB=30. ,ED垂直平分BC, .EC=EB. .∠ECD=∠B=30°. ∴.∠A=180°-（∠B+∠ACE+ ∠ECB)=90° (2)由(1)得，EC=EB. :BE=4, .EC=4. 由(1)知，∠A=90°，∠ACE=30°， ·AB=BC=2 典例3(1)：AD平分∠BAC, DE⊥AB,∠C=90°， .DC=DE. 在Rt△CDF和Rt△EDB中， DF=DB, DC=DE, .Rt△CDF≌Rt△EDB. .CF=EB. (2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD=AD, DC=DE, .Rt△ADC≌Rt△ADE .'.AC=AE. .'AB=AE+EB=AC+EB= AF+CF+EB=AF+2EB. [变式](I),∠BAC和∠ABC的 平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥ AC,DG⊥BC, ∴.DE=DF,DE=DG .DG=DF. ∴.点D在∠ACB的平分线上. (2)连接CD, 由(1)知，DE=DF=DG. .S△ABC=S△ADB+S△Bx+S△AC= 合AB,DE+2BC·DG+2AC· DF-DE(AB+BC+AC). ,△ABC的周长和面积都为24， ·24=2DEX24. .DE=2. 典例4(1)：BD是∠ABC的平 分线， ∴.∠CBD=∠EBD. DE//BC, ∴.∠CBD=∠EDB. ∴.∠EBD=∠EDB. (2)CD-DE. 理由：AB=AC, .∠ABC=∠C. DE//BC, ∴.∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC. ∴.∠ADE=∠AED, .AD-AE. ∴.AC-AD=AB-AE,即CD= BE. 由(1)，得∠EBD=∠EDB, .'BE=DE .CD=DE. [变式](1).∠BAC=75°， ∠ACB=35, ∴.∠ABC=180°-∠BAC ∠ACB=70° :BD平分∠ABC, ÷∠DBC=号∠AC=35S: ∴.∠DBC=∠ACB=35. .DB=DC. '.△BCD为等腰三角形 (2).·∠DBC=∠ACB=35°， .∴.∠BDC=180°-35°-35°=110° DB=DC,E为BC的中点， :∠EDC-7∠BDC=5 典例5(1)在等边三角形ADE中， ∠EAC=∠ADE=60°， ,∠EAB=2∠BAC, ∴.∠EAC=∠EAB+∠BAC= 3∠BAC. .∠BAC=20° .AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=80. BD=BC, .∠BDC=∠ACB=80. .∠BDE=180°-∠BDC ∠ADE=40°. (2)△BDF是等边三角形 理由：由(1)得，∠BDC=∠ACB= 80°， .∠CBD=180°-∠BDC ∠ACB=20° :∠ABC=80, '.∠FBD=∠ABC-∠CBD=60° DF=BD, ∴△BDF是等边三角形. [变式](1).·BD⊥AC,D是AC 边的中点， ∴.BD垂直平分AC. ∴.AB=CB :EF⊥AB, ∴.∠ABC+∠E=90°. ∠E=30, ∴.∠ABC=60° ∴.△ABC是等边三角形. (2)AD-CE. 理由：，△ABC是等边三角形， '.∠ACB=60° 39 ∠ACB=∠E+∠CDE,∠E= 30°， ∴.∠CDE=30°=∠E. ∴.CD=CE. .·D是AC边的中点， .AD=CD. ∴.AD=CE. [综合素能提升] 1.B2.C 3.(2,0)解析：如图，作点B关于 x轴的对称点B',连接AB交x轴于 点P,连接BP.∴.BP=BP. ∴.BP+AP=B'P+AP=AB,即当 A,P,B三点在同一条直线上时， AP十BP的值最小.：点B的坐标 为(4,2)，∴.点B的坐标为(4，一2) 设直线AB对应的函数表达式为y= kx+b.把A(一2,4)，B(4,一2)代 入，得 -2k+6=4解得b=2. ,k=-1, 4k+b=-2, .y=一x十2.令y=0,则x=2. ∴.点P的坐标为(2,0) y A、 B 0八 P、 B (第3题) 4.(1)直角三角形解析：△ABC 和△COD是等边三角形，.BC AC,OC=DC,∠ACB=∠OCD= ∠CDO=∠COD=60°.∴.∠ACB ∠ACO=∠OCD-∠ACO,即 ∠BCO=∠ACD..∴.△BCO≌ △ACD.∴.∠BOC=∠ADC=150. .∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°. ∠AOD=360°-110°-150°- 60°=40°，∴.△AD0是直角三角形. (2)125°或110°或140°解析：由 (1),易知∠ADO=a-60°，∠AOD= 190°-a.∴.∠DA0=50°.当 ∠ADO=∠AOD时，a-60°=190° a,解得a=125°.当∠ADO=∠DAO 时，a-60°=50°，解得a=110°.当 ∠AOD=∠DAO时，190°-a=50°， 解得a=140°.综上所述，a=125°或 110或140°. 5.(1).·△ABC是等腰三角形， △ABE,△ACD是等腰直角三角形， ..AD=AB=AC=AE,∠DAC= ∠BAE=90° .∠DAB+∠BAC+∠BAE= 180°. ∴.∠BAC+∠DAE=180°. ∴.△ABC与△ADE互为“顶补三 角形” (2)DE=2AG. 如图①，设AG与DE的交点为H, AB与CD交于点Q,AC与BE交于 点N. △ABC是等腰三角形，△ABE, △ACD是等腰直角三角形， ∴.AB=AC=AD=AE,∠ABE= ∠ACD=45°，∠DAC=∠BAE= 90°. ∴.∠DAC-∠BAC=∠BAE ∠BAC,即∠BAD=∠CAE :∠ABE=∠ACD,AB=AC, ∠BAN=∠CAQ, ∴.△ABN≌△ACQ. ∴.AN=AQ. ∴.AB-AQ=AC-AN,即BQ= CN. 又I∠ABF=∠ACF,∠BFQ= ∠CFN, ∴.△BFQ≌△CFN .BF=CF」 又AB=AC, ∴.AF所在直线是BC的垂直平分线. ∴.∠BAG=∠CAG. ∴.∠BAG+∠BAD=∠CAG+ ∠CAE,即∠DAH=∠EAH. 又AD=AE, .DH=HE,AH⊥DE. ∠DAC=90°， .∠DAH+∠CAG=90°. AG⊥BC, .∠ABG+∠BAG=90. ∴.∠ABG=∠DAH. 又：AD=BA,∠AHD ∠BGA=90°， ∴.△ADH≌△BAG. .DH=AG. ∴.DE=2AG (3)存在 如图②，延长CD,交BA的延长线于 点Q,作CD,AB的垂直平分线EP, PF,交于点P,连接CP,DP AP,BP. :EP垂直平分CD,PF垂直平 分AB, .PC=PD,PA=PB,PECD, PF⊥AB ∴.∠DPE=∠CPE,∠APF= ∠BPF. :∠ABC+∠DCB=40°+50°=90°， ∴.∠Q=90. 又PE⊥CD,PF⊥AB, .易得∠EPF=90. .'.∠APD+∠DPE+∠APF=90. :∠APD+∠BPC=∠APD+ ∠EPF+∠CPE+∠BPF= ∠APD+∠DPE+∠APF+90°， .∠APD+∠BPC=180°. 又PC=PD,PA=PB, ∴.△PAD与△PBC互为“顶补三 角形”. (① 3 ② (第5题) 期末压轴题特训 考向一一次函数的图象 和性质 1.C解析：在y=x十b中，当 >0时，y随x的增大而增大，.当 a一2>0，即a>2时，y随着x的增大 而增大故①正确.将函数y=(a一 2)x十b的图象向下平移2个单位长 度后所得直线对应的函数表达式为 y=(a-2)x十b-2(a≠2)，将该 函数的图象向下平移2个单位长度后 得到直线y=2x十1，.a-2=2,b 2=1,解得a=4,b=3.故②错误. 将(m,3+b)和(m+1,3a-7)代人 y=(a一2)x+b得， m(a-2)+b=3+b,① 由①得， (a-2)(m+1)+b=3a-7,② m=。产含由②得a=20 a-2 40 “22如a=6+4 故③错误..直线y=一2x+1关于 y轴对称的图象对应的函数表达式为 y=2x+1,∴.a-2=2,b=1..a= 4,b=1.故④正确.综上所述，正确的 结论是①④， 2.A解析：在长方形ABCD中， AB=2,AD=3,..CD=AB=2, BC=AD=3.E是BC边上靠近点 B的三等分点CE=号×3=2 ①当点P在AD上时，△APE的面 积y=2x·2=x(0≤x≤3).②当 点P在CD上时，DP=x一3，CP= CD-DP=5-x.∴.S△APE= 1 S#花ARD一S△Ap一S△cm=乞X(2十 3)×2-合×3×(x-3)-合×2× 1 3 (5-x)=5-2x+2 一5十x= 1 1 9 2t是y,式23 x5).③当点P在CE上时，CP= x-3一2=x一5，则PE=CE-CP= 7-x..S△AR= 1 ·×(7一x)× 2=-x十7..y=一x+7(5<x7). 3.(1)10 3 (2)2或-合解析：当m>0时，y 随x的增大而增大，则当x=5时，y 有最大值，∴.5m十8-2m=14,解得 m=2.当m<0时，y随x的增大而减 小，则当x=一2时，y有最大值， .-2m十8-2m=14,解得m= 号综上所述，m的值为2或是 4.(1)(-2,-1)解析：y=mx+ 2m-1=m(x+2)-1,当x=-2时， y=一1，∴.无论m取何值，该函数的 图象总经过定点（一2，一1） (2)-1<m≤2且m≠0解析：把 A(2,1)代入y=mx+2m-1,得 2m十2m-1=1,解得m=分.把 B(4,-7)代人y=m.z+2m-1,得