导数的概念及意义，导数的运算训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数概念生成与运算体系，以“概念-公式-应用”逻辑链整合知识，通过典例提炼切线问题分类解法，培养数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数概念及意义|例7-1、变式7-1|平均与瞬时变化率比较法|从平均变化率到瞬时变化率的概念抽象| |导数运算|例7-2、变式7-2、例7-3|基本公式与四则运算法则联用、复合函数求导链式法则|基本初等函数导数公式→四则运算→复合函数求导的层级推导| |切线问题应用|例7-4、变式7-4|“在点”与“过点”切线分类求解法|导数几何意义→切线方程构建→多切线问题转化|

数学基础运算3 第7练 导数的概念及意义、导数的运算 1.导数的概念 (1)一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率. (2)函数在处的导数 就是函数在处的瞬时变化率. (3)函数在点处的导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率.切线方程： (4)给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数与之对应，则称为函数的导函数. 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)导数四则运算法则 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (2)导数四则运算法则 (3)简单复合函数的导数 由与复合而成的型复合函数，求导法则： (4)曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系 ①曲线在点处的切线：为切点，切线斜率，有且仅有一条切线； ②曲线过点的切线：切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，切线可能有多条. 【例7-1】（2026·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 【变式7-1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【例7-3】(单选题)已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【例7-4】(单选题)已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-4】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【跟踪训练】 1．下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列导数运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（    ） A． B． C． D． 4．在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 6．设函数，，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 7．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 8.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n，则f'(0)= ( 　　) A.n B.n-1 C. D. 9．（多选）下列函数的导数计算正确的是（    ） A．若函数，则 B．若函数（且），则 C．若函数，则（e是自然对数的底数） D．若函数，则 10．（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11.（高二·全国·专题练习）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知函数，则的值为___________. 13．已知函数，则______． 14．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数___________． 15．求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 16.已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 17．已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学基础运算3 第7练 导数的概念及意义、导数的运算 1.导数的概念 (1)一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率. (2)函数在处的导数 就是函数在处的瞬时变化率. (3)函数在点处的导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率.切线方程： (4)给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数与之对应，则称为函数的导函数. 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)导数四则运算法则 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (2)导数四则运算法则 (3)简单复合函数的导数 由与复合而成的型复合函数，求导法则： (4)曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系 ①曲线在点处的切线：为切点，切线斜率，有且仅有一条切线； ②曲线过点的切线：切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，切线可能有多条. 【例7-1】（2026·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 【答案】 【分析】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【解析】因为， ， 且，则. 故答案为：. 【变式7-1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【解析】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A. 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将转化为后，再利用导数四则运算的运算法则进行计算. (2)将展开为多项式后，利用幂函数求导公式进行计算. 【解析】（1） ． （2） ， ． 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【答案】 【解析】解析： ． 【例7-3】(单选题)已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由求导法则计算可得答案. 【解析】求导得：， 令，得：， 解得：， 因此， 令，得：. 故选：A. 【变式7-3】（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求出常数和，再根据导数的几何意义求解即可. 【解析】由于，则， 故，故，所以， 代入，可得．又．故切线方程为，则． 【例7-4】已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，再根据切点在直线与切线上，导数的几何意义列式求解即可. 【详解】的导函数，设切点为，则，故，即，则. 易得函数为增函数，且，故. 故. 故选：A 【变式7-4】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 【跟踪训练】 单选题（1-） 1．下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故错误； 对于B，，B错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确.故选D 2．下列导数运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可． 【详解】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为. 故选：C. 3．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，求导得，则， 所以当时的瞬时速度为5 m/s.故选D 4．在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】设， 由题意得：，则， 因为曲线上一点处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，即故选B 5．下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确函数图象存在与轴平行的切线意味着函数在某点处的导数为0，然后分别对各选项中的函数求导，令导数等于0，看是否有解来判断. 【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.求导可得. 令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确. 对于D选项，求导函数得，令，即， 因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误. 故选：C. 6．设函数，，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求函数的导函数，再求，根据由条件列方程求即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以， 所以， 故选：C. 7．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A 【分析】由题得（），设切点的横坐标为，解方程即得解. 【详解】函数的定义域为， 由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）. 故选：A. 8.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n，则f'(0)= ( 　　) A.n B.n-1 C. D. 【答案】D　 【详解】f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n， 则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1， 则f'(0)=1+2+3+4+…+n=.故选D. 9．（多选）下列函数的导数计算正确的是（    ） A．若函数，则 B．若函数（且），则 C．若函数，则（e是自然对数的底数） D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解. 【详解】对于A，，所以，A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，C正确， 对于D，，D正确， 故选：BCD 10．（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 【详解】选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 11.（高二·全国·专题练习）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设两切点，由切线斜率相等和截距相等建立方程组，消去切点横坐标，将参数表示为单变量函数. 分别讨论变量取正和取负时函数的值域，对应得到参数的取值范围，再逐一判断选项. 【详解】设公共切线与曲线切于，与切于（）. 对求导得，对求导得， 则公共切线方程分别可记为，， 令切线斜率相等得；令截距相等得. 记，并将代入整理得. 当时，函数的值域为， 即所有负数都满足条件，故符合，A正确； 当时，对求导得，令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故在处取最小值，即. 因此、都满足，B、C正确； 而，不满足，D错误. 二、填空题 12．已知函数，则的值为___________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，则， 故. 13．已知函数，则______． 【答案】 【详解】， 所以，即，， 所以，， 所以. 14．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数___________． 【答案】(答案不唯一) 【详解】设，则，，或， 显然符合题意. 15．求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 16.已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 则. （2）由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. 17．已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意先判断点不是切点，再设切点为，再根据切线的斜率与函数导数的关系即可求得或，从而即可求解切线方程． 【详解】（1）由，则， 所以，解得， 所以， 函数的解析式为． （2）由， 则点不在函数上，即其不是切点， 则设切点为， 结合（1）有， 则切线的斜率为， 又切线过点， 则，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为，即， 综上所述，所求的切线的一般式方程为或． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $