第3章 第1讲 导数的概念及运算 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

1．函数y＝x－cos (2x－1)的导数为(　　)

A．y′＝1－sin (2x－1)     

B．y′＝1＋sin (2x－1)

C．y′＝1－2sin (2x－1)     

D．y′＝1＋2sin (2x－1)

解析：选D.依题意，y′＝1＋sin (2x－1)·(2x－1)′＝1＋2sin (2x－1).

2．(2026·郴州模拟)曲线y＝ln x在点(e，1)处的切线方程为(　　)

A．x－y＝0     B．x－ey＝0

C．x－y＋1－e＝0     D．ex－y＝0

解析：选B.根据题意可得y′＝，所以所求切线的斜率k＝，所以所求切线的方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.

3．如图，直线l是曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线，则f′(0)＝(　　)

A．1     B．2     

C．－2     D．0

解析：选A.由题图可知，切线过点(－2，0)，(0，2)，所以切线的斜率为＝1，

又由导数的几何意义知f′(0)＝1.

4．函数f(x)＝ln x图象上的点到直线y＝x距离的最小值为(　　)

A．     B．1     

C．     D．2

解析：

选A.设与直线y＝x 平行且与函数f(x)＝ln x图象相切的直线方程为y＝x＋m(m≠0)，

设切点坐标为P(x0，y0)，因为f′(x)＝，所以f′(x0)＝＝1，解得x0＝1，所以切点为P(1，0)，

又因为点P(1，0) 到直线y＝x 的距离为，所以函数f(x)＝ln x 图象上的点到直线y＝x 距离的最小值是.

5．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x＋1)＝2f(x)，f′(x)>0，则＝(　　)

A．16     B．24     

C．32     D．48

解析：选C.对f(x＋1)＝2f(x)两边求导，得f′(x＋1)＝2f′(x)，又f′(x)>0，故＝2，所以＝2，＝2，＝2，＝2，＝2，以上各式相乘，得＝25＝32.

6．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是(　　)

A．f(x)＝x2＋1     B．f(x)＝

C．f(x)＝e－x     D．f(x)＝cos x－1

解析：选ABD.对于A，f(x0)＝x＋1，f′(x0)＝2x0，由x＋1＝2x0，得x0＝

1，

所以f(x)＝x2＋1有1个“巧值点”，故A符合题意；

对于B，f(x0)＝，f′(x0)＝－，由＝－，得x0＝－1，所以f(x)＝有1个“巧值点”，故B符合题意；

对于C，f(x0)＝e－x0，f′(x0)＝－e－x0 ，由e－x0 ＝－e－x0 ，得e－x0 ＝0，而该方程无解，故C不符合题意；

对于D，f(x0)＝cos x0－1，f′(x0)＝－sin x0，由cos x0－1＝－sin x0得sin x0＋cos x0＝1，即sin ＝，显然方程sin ＝有无数个解，所以函数f(x)＝cos x－1有无数个“巧值点”，故D符合题意．

7．若曲线y＝上点P处的切线平行于直线x－y＋1＝0，则点P的坐标是____________．

解析：设y＝f(x)＝，x>0，P(x0，y0)，则f′(x)＝，

由题意得，f′(x0)＝＝1，即1－ln x0－x＝0，设p(x)＝1－ln x－x2，x>0，

因为函数p(x)在(0，＋∞)上单调递减，且p(1)＝0，所以x0＝1，

所以y0＝＝0，所以P(1，0).

答案：(1，0)

8．若曲线y＝(x＋a)ex存在过原点的切线，则实数a的取值范围为__________．

解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)e x0，

故切线方程为

y－(x0＋a)e x0＝(x0＋1＋a)e x0 (x－x0)，