第一章集合与常用逻辑用语单元测试B卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元测试B卷，适用于单元复习，覆盖集合运算、充要条件等核心知识，通过基础巩固、创新应用梯度设计，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交并补、充分必要条件、“影子关系”集合|新定义情境（如第5题“影子关系”）考查数学抽象| |多项选择|3/18|集合性质、差集定义、命题否定|概念辨析（如第11题差集与Venn图结合）| |填空|3/15|集合关系、命题真假判断|多结论辨析（如第14题多条件推理）| |解答题|5/77|集合综合运算、充要条件应用、“k子集”证明|分层综合（如第19题“k子集”定义探究），培养逻辑推理与创新意识|

第一章集合与常用逻辑用语单元测试B卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，又，所以. 2．已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 【答案】C 【分析】由可以得到中的元素都在集合中，从而求出实数a的值． 【详解】解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 3．设，则“，且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，且”，由不等式的性质可知“”，则充分性成立； 若“”，可能，不满足“，且”，即必要性不成立； 综上可得：“，且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．集合，，则两集合关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合表示的元素特点可得两集合的关系. 【详解】 为所有整数，为奇数     本题正确选项： 【点睛】本题考查集合之间的关系判断问题，属于基础题. 5．若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 6．已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，即可得出答案. 【详解】由题设命题为真，即在上恒成立， 所以， 则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集， 故选：A． 7．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，由的所有可能值构成的集合为，那么等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据判别式可得集合 B 至少含2个元素，结合条件可得 B 含3个元素，进而可得，即得. 【详解】由得：； 对于， ∴方程至少有两个实数根，即集合 B 至少含2个元素； ∵，, ∴集合 B 含3个元素， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，， ． 故选：D． 8．在一次竞赛中有A，B，C三道题． ①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题； ②仅解出一题的学生中，解出C题的人数占一半； ③解出A题的学生人数等于仅解出B题的学生人数； ④仅解出A，B题的人数等于仅解出B，C题的人数； ⑤仅解出A题的人数等于4； ⑥仅解出A，C题的人数是仅解出A，B题的人数的一半． 则同时解出A，B，C三题的学生人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设只解出A，B，C的人数分别为a，b，c，仅解出的人数分别为z，x，y，同时解出A，B，C三题的人数为w，则可得关于诸参数的方程组，用表示其他的量后可得其值，从而可求同时解出A，B，C三题的学生人数. 【详解】设只解出A，B，C的人数分别为a，b，c，仅解出的人数分别为z，x，y，同时解出A，B，C三题的人数为w，则 于是，且，因此同时解出A，B，C三题的学生人数为1． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 10．已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 11．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（    ） A．已知，，则 B．如果，那么 C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D．已知或，，则或 【答案】BD 【分析】根据差集定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由且，故，故A错误； 对于B：由且，则，故，故B正确； 对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分， 所以，故C错误； 对于D：或，则或，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设表示集合，表示集合，已知且，则____. 【答案】 【分析】依题意可得，解得，再代入中检验即可. 【详解】解：因为，所以， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意，所以. 故答案为： 13．已知，，，，则________ 【答案】 【分析】依题意画出韦恩图，即可得解. 【详解】解：由题意，画韦恩图可知： ． 故答案为： 14．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） ①；  ②；  ③若，，则；  ④若，且，则；  ⑤，，则； 【答案】①②③⑤ 【分析】根据集合的描述法，找到集合中元素的特征性质，逐一判断. 【详解】根据集合的特征性质对于①正确，②当中时，，所以正确，③若，，不妨设则所以正确，④若，且，则不正确，例如，则，⑤，，则；设，则,所以，依次类推，正确. 故答案为①②③⑤ 【点睛】本题主要考查了集合的描述法，元素与集合的关系，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 16．已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)｛a|a≦-2｝ 【分析】（1）由题意得关于的方程有实数根，进而求解即可； （2）先求出，，结合题设可得或}，进而根据包含关系求解即可. 【详解】（1）为真命题，为假命题， 即关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围是. （2）由（1）可知，若为真命题，则， ，或， 是的充分不必要条件，或}， ，，则实数的取值范围｛a|a≦-2｝. 17．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 19．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】(1) 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. (2) 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. (3)集合. 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合与常用逻辑用语单元测试B卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 3．设，则“，且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．集合，，则两集合关系为 A． B． C． D． 5．若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 6．已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，由的所有可能值构成的集合为，那么等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．在一次竞赛中有A，B，C三道题． ①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题； ②仅解出一题的学生中，解出C题的人数占一半； ③解出A题的学生人数等于仅解出B题的学生人数； ④仅解出A，B题的人数等于仅解出B，C题的人数； ⑤仅解出A题的人数等于4； ⑥仅解出A，C题的人数是仅解出A，B题的人数的一半． 则同时解出A，B，C三题的学生人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 10．已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 11．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（    ） A．已知，，则 B．如果，那么 C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D．已知或，，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设表示集合，表示集合，已知且，则____. 13．已知，，，，则________ 14．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） ①；  ②；  ③若，，则；  ④若，且，则；  ⑤，，则； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 16．已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 19．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $