第一章集合与常用逻辑用语单元测试(基础卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学《集合与常用逻辑用语》基础卷，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础巩固与分层设问，适配单元复习，培养数学思维与符号表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合交并补、命题否定、子集个数|基础概念辨析，如第3题考全称命题否定| |多选题|3/18|集合元素分类、空集判断|第9题分类讨论取值，体现逻辑推理| |填空题|3/15|充要条件、容斥原理|第13题结合实际情境考集合计数| |解答题|5/77|集合关系、参数范围探究|第19题多问递进，综合考查数学语言表达与问题解决能力|

《集合与常用逻辑用语》单元测试(基础卷） 高一 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 5．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 10．下列集合中是空集的为（    ） A． B． C． D． 11．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”是命题“”的____________条件． 13．学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 14．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16． （15分） 已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17． （15分） 已知全集U＝R，集合，．求： (1)； (2) (3) 18．（17分） 已知集合，，，且. (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 19．（17分） （1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《集合与常用逻辑用语》单元测试(基础卷）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B B B D ABC BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】由，得. 又， 因此. 2．A 【详解】因为集合A和B都表示奇数集，所以． 3．B 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 4．C 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 5．B 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 6．B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 7．B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 8．D 【解析】计算，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】，， 当时，，；当时，，；当时，. 即或或. 故选：D. 【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误. 9．ABC 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，故A正确； 当时，，故D错误. 10．BD 【详解】对于A：集合中含有元素0，属于非空集合，不符合要求，故A错误； 对于B：对任意实数，，因此，不存在满足的元素，该集合为空集，符合要求，故B正确； 对于C：集合中含有元素，是含1个元素的单元素集合，不是空集，不符合要求，故C错误； 对于D：对任意实数，，因此根号内的，实数范围内负数没有算术平方根， 不存在符合条件的实数，该集合为空集，符合要求，故D正确. 11．ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 12．必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 13．20 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 14． 【分析】根据必要条件的性质可得两个集合的包含关系，进而可得所求值的范围. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 15．(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 17．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）解一元一次不等式得到集合，进而根据并集的概念即可求出结果； （2）根据补集的概念即可求出结果； （3）结合交集和补集的概念即可求出结果. 【详解】（1），则， （2）或 （3），所以或 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的定义规则即可求解. 【详解】（1）已知集合，解方程，得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 所以的真子集个数为. （2）由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为. （3）由（1）可知，， 由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为. 19．（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $