第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，全面考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、充分必要条件、命题真假判断|基础层考查数学抽象与逻辑推理| |多选|3/18|不等式命题、解集分析、正实数关系|能力层强化数学思维严谨性| |填空|3/15|取值范围、最值、恒成立问题|聚焦运算能力与转化思想| |解答题|5/77|集合运算、证明、折叠问题应用|创新层体现数学建模与空间观念|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试A卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可 【详解】因为，所以， 所以由，又因为， 所以，因此选项A错误，选项B正确； 当时，显然符合， 但是，显然选项C、D都不正确， 故选：B 2．设，则“是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若，则；若，则，即“”是“”的既不充分也不必要条件、 故选：D. 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，但，故B错误； 对于C：，，，故C正确； 对于D：，，，故D错误； 故选：C. 4．已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是． A．枝玫瑰的价格高 B．枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】A 【详解】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A. 考点：不等式比较大小 5．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 6．若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件． 【详解】因为，所以 当且仅当，即时取等号， 则的最大值为1. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．25 D．6 【答案】C 【分析】由可得，则，展开利用基本不等式即可得出答案. 【详解】∵正实数，满足，∴， 则， 当且仅当即时，等号成立， ∴的最小值是25. 故选：C． 8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，，则，故A不正确； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若且，则，则，故，故C不正确； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：BD. 10．已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 11．设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】CD 【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误. 【详解】对于选项， ， 当且仅当且时，即，时取等号，则错误； 对于选项， ,当且仅当 时等号成立，则，即的最大值为2，则错误； 对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确； 对于选项， ，当且仅 当时，等号成立，则正确, 故选: . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．已知，那么的最小值为______. 【答案】4 【分析】先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，所以有成立，因此 （当且仅当时取等号），所以的最小值为4. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值问题，关键是记住用基本不等式要注意三点:一是必须是二个正数；二是要有定值；三是相等的条件. 14．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，求得b，c，再将对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立求解. 【详解】解：因为不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}， 所以，解得， 因为对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立， 所以为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立， 令， ， 所以 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， ， （2），， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是{a|-2≤a≤3.5}． 16．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】 （1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 17．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 18．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 19．如图，长方形的周长为10． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）的面积存在最大值. 【分析】（1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. 【详解】（1）当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长， 故的周长是定值，为5； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试A卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若，一定有（    ） A． B． C． D． 2．设，则“是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是． A．枝玫瑰的价格高 B．枝康乃馨的价格高 C．价格相同 D．不确定 5．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 6．若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．25 D．6 8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 10．已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 11．设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围为______ 13．已知，那么的最小值为______. 14．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 17．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 19．如图，长方形的周长为10． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $