第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦“一元二次函数、方程和不等式”，通过8道单选（40分）、3道多选（18分）、3道填空（15分）及5道解答题（77分），全面覆盖集合运算、不等式求解、均值定理应用等核心知识，适配高中数学单元复习，突出数学眼光、思维与语言的素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合交集、不等式取值范围、均值定理|结合2025北京高考真题形式，如第4题考查不等式性质| |多选|3/18|二次不等式解集、不等式性质|第10题通过解集反推参数，考查逻辑推理| |填空|3/15|比较大小、函数最值、恒成立问题|第13题车流量模型体现数学应用| |解答|5/77|二次不等式、函数性质、实际应用、证明|第18题服装厂利润问题培养数学建模，第19题证明题强化逻辑推理|

第二章　一元二次函数、方程和不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 2.已知0<x<5,-1<y<1,则x-2y的取值范围是(　　) A.2<x-2y<3 B.-2<x-2y<3 C.2<x-2y<7 D.-2<x-2y<7 3.不等式<1的解集为(　　) A.{x|-3≤x≤2} B.{x|x≤-3} C.{x|-3<x<2} D.{x|x≤-3,或x>2} 4.(2025·北京高考)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab B. C.a+b> D. 5.已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b=(　　) A.-3 B.2 C.3 D.8 6.在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品.实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在天平右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在天平右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中,小明和小芳共称得的药品(　　) A.大于20克 B.小于20克 C.大于或等于20克 D.小于或等于20克 7.若存在正实数x,y,使得等式=1和不等式x+<3m2-m都成立,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|-1<m<} B.{m|m<-1,或m>} C.{m|-<m<1} D.{m|m<-,或m>1} 8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值为(　　) A.3 B. C.4 D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知实数a,b满足a>b>0且a+b=1,则下列说法正确的是(　　) A.a< B.ab≥ C.ab>b2 D.的最小值为9 10.已知关于x的不等式ax2+2bx+c≤0的解集为{x|x≤-1,或x≥3},则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.a+b+c<0 C.c>0 D.cx2-2bx+a<0的解集为{x|-<x<1} 11.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则(　　) A.ab的最大值为 B.a+的最小值为4 C.a2+4b2的最小值为2 D.的最大值为4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设a,b为实数,比较两式的值的大小:a2+b2　　　2a-2b-2.  13.某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间的关系为y=(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度为　　　　千米/时时,车流量最大.  14.已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解:答应写出文字说明、证明:过程或演算步骤. 15.(13分)已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<1,或x>2}. (1)求b和c的值; (2)求关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集. 16.(15分)设a为实数,函数y=ax2+ax+1. (1)若方程y=0有实根,求a的取值范围; (2)若不等式y>0的解集为R,求a的取值范围. 17.(15分)已知集合A={x|x2-6x-7≤0},B={x|x2-(a+1)x+a<0}. (1)若a=4,求A∩B; (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 18.(17分)某服装厂拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x(0≤x≤10)万元满足m=3-.已知该年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数. (2)该服装厂的促销费用投入多少万元时,利润最大? 19.(17分)设a>0,b>0,c>0,ab+bc+ca=1.求证: (1); (2)a+b+c≥. 参考答案 一、单项选择题 1.C 解析:由x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,则N={x|x≤-2,或x≥3}.又M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C. 2.D 解析:因为-1<y<1,所以-2<-2y<2.又0<x<5,所以-2<x-2y<7.故选D. 3.C 解析:由<1,得<0,即(x+3)(x-2)<0,解得-3<x<2.所以不等式的解集为{x|-3<x<2}.故选C. 4.C 解析:当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误. 取a=b=,则=6,=9,所以.故B错误. 因为a>0,b>0,所以a+b≥2.故C正确. 因为a>0,b>0,所以>0,>0, 所以≥2.故D错误.故选C. 5.C 解析:x-4+=x+1+-5.因为x>-1,所以x+1>0,所以x+1+-5≥2-5=2×3-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,所以a+b=3. 6.C 解析:设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,由题意得5a=bx,ay=20b,则x=,y=,故x+y=≥2=20,当且仅当a=2b时取等号.故选C. 7.B 解析:因为x,y为正实数,=1,所以x+=(x+)()=+2≥2+2=4,当且仅当=1,即x=2,y=8时,等号成立.若存在正实数x,y,使得等式=1和不等式x+<3m2-m都成立,则3m2-m>4,解得m<-1或m>.故实数m的取值范围为{m|m<-1,或m>}.故选B. 8.C 解析:∵x+y+=5,∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=y时取等号.∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4.∴x+y的最大值为4. 二、多项选择题 9.CD 解析:因为a+b=1,所以b=1-a,又a>b>0,所以a>1-a>0,所以<a<1,故A错误.当a=,b=时,满足a>b>0且a+b=1,但ab=,故B错误.因为a>b>0,所以ab>b2,故C正确.因为a>b>0,a+b=1,所以=()(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时,等号成立,故D正确.故选CD. 10.ACD 解析:由题意知-1和3是关于x的方程ax2+2bx+c=0的两根,且a<0,所以-1+3=-,-1×3=,所以b=-a,c=-3a.因为a<0,所以b>0,c>0,a+b+c=a-a-3a=-3a>0,故A,C正确,B错误.关于x的不等式cx2-2bx+a<0可化为-3ax2+2ax+a<0,即3x2-2x-1<0,解得-<x<1.所以cx2-2bx+a<0的解集为{x|-<x<1},故D正确.故选ACD. 11.AC 解析:对于A,因为a>0,b>0,a+2b=2,所以2=a+2b≥2,即ab≤,当且仅当a=2b=1时取等号,故A正确.对于B,因为a>0,所以a+≥2=4,当且仅当a=2时取等号,此时b=0,故B错误.对于C,因为a>0,b>0,a+2b=2,所以a2+4b2≥=2,当且仅当a=2b=1时取等号,故C正确.对于D,因为a>0,b>0,a+2b=2,所以≥4,当且仅当a=2b=1时取等号,故D错误.故选AC. 三、填空题 12.≥ 解析:因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥0,当且仅当a=1,b=-1时,等号成立,所以a2+b2≥2a-2b-2. 13.40 解析:因为v>0,所以y=,当且仅当v=,即v=40时,等号成立. 14.4 解析:∵x>0,y>0,a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时取等号.由题意知a+2+1≥9,解得a≥4.故正实数a的最小值为4. 四、解答题 15.解:(1)因为关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<1,或x>2},所以1,2是关于x的方程x2+bx+c=0的两根,所以1+2=-b,1×2=c,即b=-3,c=2. (2)由(1)知关于x的不等式cx2+bx+1≤0可化为2x2-3x+1≤0,解得≤x≤1. 所以关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为{x|≤x≤1}. 16.解:(1)方程y=0有实根,即关于x的方程ax2+ax+1=0有实根. 当a=0时,方程可化为1=0,显然无根,不符合题意. 当a≠0时,Δ=a2-4a≥0,解得a<0或a≥4. 综上所述,a的取值范围为{a|a<0,或a≥4}. (2)不等式y>0的解集为R,即关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R.当a=0时,不等式可化为1>0,显然恒成立,符合题意. 当a≠0时,解得0<a<4. 综上所述,a的取值范围为{a|0≤a<4}. 17.解:(1)当a=4时,x2-(a+1)x+a<0可化为x2-5x+4<0,即(x-1)(x-4)<0,解得1<x<4, 所以B={x|1<x<4}. 由x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,解得-1≤x≤7,所以A={x|-1≤x≤7}. 所以A∩B={x|1<x<4}. (2)由已知得A={x|-1≤x≤7},B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}. 当a>1时,B={x|1<x<a},又B⊆A,所以解得1<a≤7. 当a=1时,B=⌀,满足B⊆A. 当a<1时,B={x|a<x<1}, 又B⊆A,所以解得-1≤a<1. 综上所述,实数a的取值范围为{a|-1≤a≤7}. 18.解:(1)由题意知每件产品的销售价格为2×元,则y=m·2×-(8+16m+x)=8+16m-x=8+16(3-)-x=56--x, 故y=56--x(0≤x≤10). (2)y=56--x=57-[+(x+1)]≤57-2=49, 当且仅当=x+1,即x=3时取等号. 故该服装厂2024年的促销费用投入3万元时,利润最大. 19.证明:(1)(方法一)要证,即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以. (方法二)因为a>0,b>0,c>0,所以≥2≥2≥2, 三个式子相加,得2()≥2(),即,当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)由题意及(1)可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1, 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2≥3,所以(a+b+c)2≥3,即a+b+c≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 8 学科网（北京）股份有限公司 $