第二章一元二次函数、方程和不等式单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试，通过基础判断、实际应用与综合探究题，覆盖充分条件、不等式性质、最值求解等核心知识，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|充分条件、不等式性质、取值范围|第4题购物策略情境，体现用数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|不等式真假判断、最值应用|第11题结合解集分析参数，考查逻辑推理能力| |填空|3/15|不等式解集、恒成立问题|第13题含参不等式恒成立，强化数学思维严谨性| |解答|5/77|实际优化（体育馆造价）、含参不等式、类比证明|第17题造价优化问题，培养数学语言表达与应用意识|

第2章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知x∈R，则“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则ac＞bc C．若，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b 3．已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则2a+b的取值范围是（　　） A．0＜2a+b＜2 B．4＜2a+b＜5 C．2＜2a+b＜5 D．﹣2＜2a+b＜﹣1 4．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定．假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为p1，第二天物品的价格为p2，且p1≠p2，则以下选项正确的为（　　） A．第一种方式购买物品的单价为 B．第二种方式购买物品的单价为 C．第一种方式购买物品所用单价更高 D．第二种方式购买物品所用单价更高 5．下列函数中最小值为4的是（　　） A． B．当x＞0时， C．当时， D． 6．正数x，y满足x+2y＝3xy，则2x+9y的最小值是（　　） A． B． C． D．8 7．若正数a，b满足2ab＝a+b+12，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 8．若两个正实数x，y满足x+y＝2且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．m＜﹣3或m＞1 C．﹣3＜m＜1 D．m＜﹣1或m＞3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题是真命题的有（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd 10．已知a＞0，b＞0，2a+b＝2，下列选项中正确的有（　　） A．的最小值为4 B．ab的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 11．关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥4}，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 C．的最大值为﹣4 D．关于x的不等式x2+bx+c＜0解集中仅有两个整数，则a的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．不等式的解集为 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0在实数集上恒成立，且a＜b，则T的最小值为　 　 ． 14．已知正实数a，b满足，则ab的最大值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知a，b为正实数且a+b＝1，求下列式子的最值． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 16．（本小题满分15分）设集合． （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围． 17．（本小题满分15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）． （1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2； （3）若存在使关于x的方程ax2+（1﹣a）|x|＝m有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 19．（本小题满分17分）问题：已知a、b、c均为正实数，且，求证：a+b+c≥9． 证明：a+b+c＝（a+b+c）3+2+2+2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c＝1，求的最小值； （2）已知a、b、x、y均为正实数，且，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2； （3）求的最小值，并求出使得T取得最小值时t的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知x∈R，则“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可． 【解答】解：由x2﹣1＞0可得：x＞1或x＜﹣1， 则“x2﹣1＞0”是“x＞1”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题． 2．设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则ac＞bc C．若，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b 【分析】结合不等式性质检验选项A，举出反例检验选项B，C，D即可判断． 【解答】解：由不等式的性质可知，当a＞b时，a+c＞b+c成立，A正确； 当c＝0时，B显然错误； 当a＝﹣1，b＝1时，C，D显然错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 3．已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则2a+b的取值范围是（　　） A．0＜2a+b＜2 B．4＜2a+b＜5 C．2＜2a+b＜5 D．﹣2＜2a+b＜﹣1 【分析】利用不等式的性质求解． 【解答】解：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6， 则2＜2a+b＜5． 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题． 4．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定．假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为p1，第二天物品的价格为p2，且p1≠p2，则以下选项正确的为（　　） A．第一种方式购买物品的单价为 B．第二种方式购买物品的单价为 C．第一种方式购买物品所用单价更高 D．第二种方式购买物品所用单价更高 【分析】依次求出两种方案的单价，再结合作差法，即可求解． 【解答】解：第一次方案， 设每次购买这种物品的数量均为m， 则平均价格为，故A错误； 第二次方案， 设每次购买这种物品所花的钱为n， 第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为， 则平均价格为， ，即，故C正确，D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题． 5．下列函数中最小值为4的是（　　） A． B．当x＞0时， C．当时， D． 【分析】利用举实例判断AC，利用基本不等式的性质判断BD． 【解答】解：A：当x＝﹣1时，y＝﹣5，∴y的最小值不为4，∴A错误， B：当x＞0时，yx+124， 当且仅当x+1，即x＝1时取等号，∴y的最小值为4，∴B正确， C：当x＝0时，y，∴y的最小值不为4，∴C错误， D：∵y24，当且仅当， 即x2＝﹣1时取等号，∴x不存在，∴D错误， 故选：B． 【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题． 6．正数x，y满足x+2y＝3xy，则2x+9y的最小值是（　　） A． B． C． D．8 【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解最小值． 【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝3xy，∴， ∴， 当且仅当且x+2y＝3xy， 即时取等号． 故选：A． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 7．若正数a，b满足2ab＝a+b+12，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【分析】由2ab＝a+b+12得到2ab﹣12＝a+b，直接利用基本不等式求解即可． 【解答】解：因为2ab＝a+b+12，a＞0，b＞0， 所以，所以， 所以，即， 解得，所以ab≥9， 当且仅当a＝b时取等号，即，解得a＝b＝3， 所以ab的最小值为9． 故选：A． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 8．若两个正实数x，y满足x+y＝2且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．m＜﹣3或m＞1 C．﹣3＜m＜1 D．m＜﹣1或m＞3 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数m的不等式，解之即可． 【解答】解：因为正实数x、y满足x+y＝2， 所以 ， 当且仅当x＝y＝1等号成立，即的最小值为3， 因为不等式有解，则m2﹣2m＞3，即m2﹣2m﹣3＞0， 即（m﹣3）（m+1）＞0，解得m＜﹣1或m＞3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．下列命题是真命题的有（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd 【分析】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断BCD． 【解答】解：当c＝0时，A错误； 由a＞b＞0，得a2＞b2，B正确； 由a＜b＜0，得，C正确； 由c＜d＜0，得﹣c＞﹣d＞0，而a＞b＞0， 由不等式性质可得，﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． （多选）10．已知a＞0，b＞0，2a+b＝2，下列选项中正确的有（　　） A．的最小值为4 B．ab的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【分析】利用“1”的代换法求解最小值可判断A；利用基本不等式积的最大值可判断B；利用消元思想化归到基本不等式求最小值可判断C；利用换元法化归到对勾函数求最小值可判断D． 【解答】解：已知a＞0，b＞0，2a+b＝2； 对于A选项，， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故A选项正确； 对于B选项，由基本不等式 ，代入2a+b＝2， 可得， 当且仅当2a＝b，即时等号成立，则ab的最大值为，故B选项正确； 对于C选项，将b＝2﹣2a 代入得：， 由基本不等式可得：，故， 当且仅当，即a＝1时等号成立，此时b＝2﹣2a＝0，不满足b＞0， 因此等号取不到，故C选项错误； 对于D选项，展开分子（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2，代入2a+b＝2可得：（a+1）（b+2）＝ab+4， 因此原式化简为：，令， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了基本不等式的应用计算，属于中档题． （多选）11．关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥4}，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 C．的最大值为﹣4 D．关于x的不等式x2+bx+c＜0解集中仅有两个整数，则a的取值范围是 【分析】由已知结合二次不等式与二次函数，二次方程的转化关系检验各选项即可判断． 【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥4}， 所以﹣1和4是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，选项A正确； 由根与系数的关系知，，所以b＝﹣3a，c＝﹣4a； 所以不等式cx2﹣bx+a＜0可化为a（﹣4x2+3x+1）＜0，即4x2﹣3x﹣1＞0，解得x或x＞1，选项B错误； 由c4a＝﹣（4a）≤﹣24，当且仅当4a，即a时取等号，所以c的最大值是﹣4，选项C正确； 关于x的不等式x2+bx+c＜0可化为x2﹣3ax﹣4a＜0， 令f（x）＝x2﹣3ax﹣4a，对称轴x0，f（0）＝﹣4a＜0， 因为不等式的解集中仅有两个整数，所以这两个整数是0，1或0，﹣1； 当这两个整数是0和1时， 则，解得， 当整数是0和﹣1时，由于对称轴x0时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，选项D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了“三个二次”的关系，也考查了根与系数的关系和一元二次不等式的解法，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．不等式的解集为 　（﹣2，3]　 ． 【分析】根据不等式的性质转化为同解不等式求解即可． 【解答】解：原不等式可化为， 即0， 等价于， 解得﹣2＜x≤3， 即不等式的解集为（﹣2，3]． 【点评】本题考查了解不等式问题，考查转化思想，是一道基础题． 13．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0在实数集上恒成立，且a＜b，则T的最小值为　3　 ． 【分析】从二次函数的二次项系数及判别式限制，得到a，b，c满足的不等关系；将M中的c利用得到的不等关系去掉；将代数式变形，利用基本不等式求出最小值， 【解答】解：∵一元二次不等式ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立， 当a＝0时，不符合题意； 当a≠0时，根据y＝ax2+bx+c的图象， ∴，由此， ∵b＞a＞0，∴b﹣a＞0， ∵b2≤4ac得c， 则 ， 即c＝b＝4a时，取等号， 故答案为：3． 【点评】主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0． 14．已知正实数a，b满足，则ab的最大值为 　2　 ． 【分析】根据题意，可以将ab转化可得ab，令t，则ab又可以变形为ab＝1，再令u＝t﹣1，ab进一步可以变形为ab＝1，利用基本不等式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由于， 则ab＝ab（）； 令t， 则ab1， 令u＝t﹣1，t＝u+1， 由于t＞0，则u＞﹣1， ab＝11， 当﹣1＜u＜0时，2u2+9u+9＞0，则ab＜0， 当u＝0时，ab＝0， 当u＞0时，有ab＝112， 当且仅当2u2＝9时等号成立； 此时ab的最大值2； 综合可得：ab的最大值2． 故答案为：2． 【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是利用，借助恒等变形将问题进行转化． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知a，b为正实数且a+b＝1，求下列式子的最值． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【分析】（1）根据基本不等式得出，开方即可得出答案； （2）根据已知得出2a+2b+1＝3，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为， 当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为a+b＝1，所以2a+2b+1＝3． 所以， 当且仅当，且a+b＝1，即时取到最小值． 所以， 所以的最小值为． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 16．（本小题满分15分）设集合． （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围． 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合A，B，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知A⊆B，列出不等式进行计算即可． 【解答】解：（1）当a＝3时，B＝{x|x2﹣6x+8＞0}＝{x|x＜2或x＞4}； ∵， ∴A∪B＝{x|x＜3或x＞4}； （2）∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B， ∵x2﹣2ax+a2﹣1＞0，即[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0， ∴x＜a﹣1或x＞a+1，∴B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1}， 而A＝{x|1＜x＜3}，要使得A⊆B， 需有a﹣1≥3或a+1≤1， ∴a的范围为{a|a≥4或a≤0}． 【点评】本题主要考查了集合基本运算，还考查了集合包含关系与充分必要条件的转化，属于基础题． 17．（本小题满分15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的x＞0恒成立，分离参数可得对任意的x＞0恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解． 【解答】解：（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m2， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（x＞0）， 设甲工程队报价为y元， 所以， 因为， 当且仅当，即x＝20时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； （2）根据题意可知对任意的x＞0恒成立， 即3x2+24x+48＞a（1+x）对任意的x＞0恒成立， 所以对任意的x＞0恒成立， 因为a＞0，， 当且仅当，即x＝2时等号成立， 所以0＜a＜36， 故当a∈（0，36）时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 18．（本小题满分17分）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）． （1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2； （3）若存在使关于x的方程ax2+（1﹣a）|x|＝m有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【分析】（1）分a＝0和a≠0，结合二次函数性质求解； （2）先整理不等式再因式分解，按a的取值分类讨论根的大小得解集； （3）将含绝对值方程转化为二次方程，利用根的分布及存在性条件求解． 【解答】解：（1）当a＝0时，不等式为x≥0，不满足对一切实数x恒成立． 当a≠0时，需， 解（1﹣a）2﹣4a2≤0，即3a2+2a﹣1≥0，（3a﹣1）（a+1）≥0，结合a＞0，得． （2）不等式整理为ax2+（1﹣a）x﹣2a﹣2＜0，因式分解为（ax+a+1）（x﹣2）＜0． 当a＝0时，不等式为x﹣2＜0，解得x＜2； 当a＞0时，不等式为，因，解得； 当a＜0时，不等式为； 若，，解得x＜2或； 若，，解得x≠2； 若，，解得或x＞2． 综上所述，当a＝0时，解集为（﹣∞，2）；当a＞0时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当时，解集为． （3）方程有四个不同实根，即at2+（1﹣a）t﹣m＝0（t＝|x|＞0）有两个不同正根， 需，解得a＞1． 又存在使4am+（1﹣a）2＞0，即a2﹣3a+1＞0，解得， 所以a的取值范围是． 【点评】本题主要考查二次函数恒成立问题、含参一元二次不等式解法、二次方程根的分布，属于难题． 19．（本小题满分17分）问题：已知a、b、c均为正实数，且，求证：a+b+c≥9． 证明：a+b+c＝（a+b+c）3+2+2+2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c＝1，求的最小值； （2）已知a、b、x、y均为正实数，且，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2； （3）求的最小值，并求出使得T取得最小值时t的值． 【分析】（1）将代数式与a+b+c相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式a2﹣b2与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得T＞0，利用（2）中的结论可得出，可求得T的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的t的值． 【解答】解：（1）因为a、b、c均为正实数，且a+b+c＝1， 则 ＝14+4+6+12＝36， 当且仅当，且，且时，即当时等号成立， 所以的最小值为36． （2）证明：因为a、b、x、y均为正实数，且， 则， 由重要不等式有， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以x2+y2﹣2xy， 故a2﹣b2≤（x﹣y）2． （3）对于代数式，有，可得t≥2， 此时，（5t﹣9）﹣（t﹣2）＝4t﹣7＞0，则5t﹣9＞t﹣2， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，T取最小值． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $