专题1.2 从立体图形到平面图形（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦“从立体图形到平面图形”，系统梳理几何体展开折叠（含正方体11种展开图、禁忌模型、相对面判定）、截面（定义及规律）、三视图（定义与对应规律）、由三视图还原（基底法与数量最值）等核心知识点，构建从立体到平面转化的学习支架。 资料通过分层题型（基础到压轴）设计，融入空间观念（如展开图折叠）、推理意识（截面规律探究）、创新意识（项目学习包装盒制作）。课中例题变式辅助教学，课后巩固练习助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题1.2 从立体图形到平面图形 知识点1：几何体的展开与折叠   1. 核心定义：将立体图形的表面沿棱剪开，平铺成平面图形的过程为展开；将平面图形沿边折叠还原成立体图形的过程为折叠，二者互为逆过程。   2. 正方体11种标准展开图分类：分为一四一型（6种）、二三一型（3种）、二二二型（1种）、三三型（1种），是考试核心考点。   3. 正方体展开图禁忌模型：出现“田字形”“凹字形”、一线超过四个正方形的图形，均无法折叠成完整正方体。   4. 正方体相对面判定口诀：相间、“Z”端是对面；间二、拐角邻面知，可快速区分相对面与相邻面。   5. 常见柱体、锥体展开特征：圆柱展开为两个全等圆形+一个长方形；圆锥展开为一个圆形+一个扇形；棱柱展开为两个全等多边形+若干长方形。 知识点2：几何体的截面   1. 截面定义：用一个平面去截立体图形，截出的封闭平面图形叫做截面，截面形状由几何体形状、截切角度与方向共同决定。   2. 常见几何体截面规律：球体任意截切，截面恒为圆形；正方体可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出七边形及以上图形。   3. 棱柱截面通用规律：n棱柱最多可截得n+2边形，截面边数取值范围为3≤边数≤n+2。   4. 圆柱、圆锥截面特征：圆柱可截出圆、长方形、椭圆；圆锥可截出圆、等腰三角形、椭圆、拱形曲面图形。 知识点3：从三个方向观察几何体   1. 三视图定义：数学中固定从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的平面图形，统称为几何体的三视图。   2. 三视图对应规律：主视图反映几何体的列数与层数；左视图反映几何体的行数与层数；俯视图反映几何体的行数与列数。   3. 组合体三视图绘制规则：仅绘制可见轮廓，轮廓为实线；根据小立方块分布，对应位置绘制正方形，无空缺、无多余图形。 知识点4：由三视图还原几何体   1. 还原核心思路：以俯视图为基底确定底层布局，结合主视图、左视图确定每一处位置的小立方块层数。   2. 数量取值规律：仅已知两个视图时，几何体小立方块数量存在最大值与最小值，需分类讨论求解。   3. 几何体不变性原则：固定俯视图与左视图/主视图，可在不改变三视图的前提下，增减部分小立方块。 【基础必考题型】 【题型1】正方体展开图识别判定 1.核心知识点   正方体11种标准展开图类型；田字形、凹字形等禁忌模型；正方体展开图基础特征。 2.解题方法技巧   ①优先用排除法，直接剔除含田字、凹字、一线超四的图形；   ②对照四类标准展开图，快速匹配合规图形；   ③无把握时通过空间折叠模拟，验证能否围成封闭正方体。 【例题1】.（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，第二种：“”结构；第三种：“”结构，；第四种：“”结构，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； B、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； C、符合“”结构，能折成一个正方体，故该选项符合题意； D、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； 【变式题1-2】.（2026·河南驻马店·三模）如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【答案】A 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，逐项分析，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：A． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形①后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； B． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形②后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； C． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形③后，得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，该项正确； D． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形④后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误． 【题型2】常见几何体展开图匹配 1.核心知识点   圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图结构；平面图形与立体图形的对应关系。 2.解题方法技巧   ①根据侧面形状（曲面/平面）区分柱体、锥体；   ②通过底面图形边数、形状，精准匹配棱柱、圆锥、圆柱；   ③牢记特殊模型：圆锥侧面为扇形、圆柱侧面为长方形。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折． (1) (2) 【答案】(1)解：经过折叠可以围成一个四棱柱； (2)解：经过折叠可以围成一个四棱柱． 【分析】分别利用已知平面展开图进而分析得出答案． 【详解】（1）解：图（1）可以折成四棱柱， （2）解：图（2）可以折成四棱柱． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？先想一想，再折一折． 【答案】图（1）是三棱柱的展开图，图（2）是圆柱的展开图，图（3）是六棱柱的展开图，图（4）是圆锥的展开图； 折后的图形为： 【分析】根据常见几何体展开图的特点逐一判断即可． 【详解】解：图（1）中侧面是三个长方形，上下底面是三角形，故该图形是三棱柱的展开图； 图（2）中侧面是一个长方形，上下底面是圆，故该图形是圆柱的展开图； 图（3）中侧面是六个长方形，上下底面是六边形，故该图形是六棱柱的展开图； 图（4）中侧面是一个扇形，底面是圆，故该图形是圆锥的展开图． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形中哪一个是四棱柱的侧面展开图？ 【答案】 （1） 【详解】 解： 四棱柱有个侧面，每个侧面均为四边形， 图（1）由个长方形并排组成，符合四棱柱侧面展开图特征； 图（2）由个三角形组成，属于四棱锥的侧面展开图， 图（3）是4个梯形组成，属于棱台的侧面展开图； 故图（1）是四棱柱的侧面展开图. 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 【题型3】正方体展开图相对面判断 1.核心知识点   正方体相对面、相邻面判定规则；相间、Z端对面判定口诀；立体与平面图形面的对应关系。 2.解题方法技巧   ①同行隔一个、同列隔一个为相对面；   ②Z字形两端的面为相对面，拐角相邻为邻面；   ③相邻面绝对不可能为相对面，可快速排除错误选项。 【例题3】.（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【答案】 的 【分析】根据正方体相对面的特征和正方体的表面积公式进行解答即可． 【详解】解：“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“的”， 如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 【答案】（1）1对4，2对6，3对5； （2）1对5，2对4，3对6； （3）1对6，2对4，3对5； （4）1对6，2对4，3对5． 【分析】先选定一个底面，再将其余各个面不重叠地折叠，使其形成一个正方体，此时6个数字两两相对，即可找出与“1”“2”“3”面相对的面． 【详解】（1）解：选定数字3为底面，再将各个面进行折叠，则数字1为左侧面，数字4为右侧面；数字2为背面，数字6为正面；数字5为顶面，可得到对应关系：1对4，2对6，3对5； （2）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字6为左侧面，数字3为右侧面；数字5为背面，数字1为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对5，2对4，3对6； （3）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字1为背面，数字6为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； （4）解：选定数字1为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字2为背面，数字4为正面；数字6为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将正方体的表面分别标上数字0、1、2、3、4、5，使任两个相对面的数字之和为5，展开后能形成下面的平面图形吗？ （1）   （2） 【答案】（1）（2）都能形成 【分析】根据正方体表面展开图中相对面的关系可判断作答． 【详解】解：图（1）中，，，， 图（2）中，，，， 故（1）（2）都能形成． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的表面展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置． 【答案】e在前面，d在上面，f在右面 【分析】由正方体各个面之间的关系可知，a与e是相对面，b与d是相对面，c与f是相对面，据此即可解答． 【详解】解：因为a在后面，b在下面，c在左面， 根据相对面的特点可知e在前面，d在上面，f在右面． 【题型4】基础几何体截面形状判断 1.核心知识点   正方体、圆柱、圆锥、球体的基础截面特征；截切角度对截面形状的影响。 2.解题方法技巧   ①球体截面恒为圆，可直接快速判定；   ②平行底面截柱体、锥体，截面与底面形状相同；   ③倾斜截切曲面几何体，截面多为椭圆、拱形等特殊图形。 【例题4】.（26-27七年级上·全国·课后作业）图中各几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】（1）三角形；（2）圆；（3）五边形；（4）长方形 【分析】本题考查截一个几何体，判断几何体的截面形状．根据用平面去截立体图形，得到的平面图形叫截面，截面形状取决于几何体类型和切割方向，逐一分析即可． 【详解】（1）平面截正方体，与正方体的个面相交，截面是三角形； 故答案为：三角形； （2）平面平行于圆锥底面截取，截面是圆； 故答案为：圆； （3）平面平行于五棱柱底面截取，截面与五棱柱的侧面相交，截面是五边形； 故答案为：五边形； （4）平面沿圆柱的高线截圆柱，截面是长方形． 故答案为：长方形． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用一个平面去截如图所示的三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做． 【答案】当平面平行于底面（三角形）去截时，截面为三角形： 当平面与三棱柱4个面相交时，截面为四边形（长方形、平行四边形、梯形）； 当平面斜着截，与三棱柱5个面相交时，截面为五边形： 【分析】用平面截几何体，截面多边形的边数平面与几何体相交的面的数量，根据截面与三棱柱相交面的数量判断形状，相交3个面得到三角形，相交4个面得到四边形，相交5个面得到五边形． 【详解】略 【变式题4-2】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 【题型5】单一方向视图识别 1.核心知识点   三视图的定义；简单几何体、组合体的单方向平面视图特征。 2.解题方法技巧   ①固定观察视角，只保留可见正方形轮廓；   ②数清行列方块数量，匹配视图形状；   ③区分曲面与平面几何体的视图差异，规避视觉误区。 【例题5】.（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从左面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】 解：从左面观察这个几何体，看到的是： 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用5个大小相同的小立方块分别搭成如图所示的几何体．请你用自己的方式描述一下每个几何体的具体形状． (1) (2) (3) 【答案】(1)该几何体共2层，第一层（底层）摆放4个小立方块，横向有3个小立方块并排对齐，最左侧横向位置的小立方块向前凸出1个小立方块；第二层摆放1个小立方块，叠放在第一层横向正中间的小立方块上方． (2)该几何体共2层，第一层（底层）横向并排摆放3个小立方块；第二层摆放2个小立方块，分别叠放在第一层最左侧和最右侧的小立方块上方，第二层中间位置空缺． (3)该几何体共3层，右侧竖列上下叠放3个小立方块；最底层右侧小立方块的左前方横向并排摆放2个小立方块． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【培优高频题型】 【题型6】n棱柱截面边数规律探究 1.核心知识点   n棱柱面数与截面最大边数的数量关系；几何规律归纳推理；截面截切极限原理。 2.解题方法技巧   ①牢记核心规律：n棱柱最多截得n+2边形；   ②截面最少边数恒为3，结合题意确定取值范围；   ③通过具体棱柱实例验证规律，避免公式误用。 【例题6】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的知识，需结合常见几何体的结构特征，分析可截出三角形截面的几何体． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用一个平面截一个几何体得到的截面是长方形，则这个几何体可能是_________（只写一个） 【答案】长方体（答案不唯一） 【分析】本题考查几何体的截面，根据常见几何体的几何特征，分析能截出长方形截面的几何体，任选其一作答即可． 【详解】解：长方体属于棱柱类几何体，当用一个与长方体的某一表面平行的平面去截该长方体时，所得的截面形状为长方形， 因此长方体满足题意． 故答案为：长方体（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线．用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案． 【详解】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 将流沙砖任意放置时，流沙面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 故不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形． 故选：D． 【题型7】三视图综合绘制与辨析 1.核心知识点   三视图行列层数对应关系；小立方块组合体三视图绘制方法；视图正误辨析。 2.解题方法技巧   ①俯视图定行列，主视图定列高，左视图定行高；   ②按位置逐一绘制方块，不遗漏、不冗余；   ③对比轮廓、层数、位置，快速辨析错误视图。 【例题7】.（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． 从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线） 【答案】 画出从左面看到的图形，从上面看到的图形． 【分析】从左面看所得的图形，从左往右有2列，分别有3，1个小正方形；从上面看所得的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形，据此画出图形即可． 【详解】略 【变式题7-2】.（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）如图所示的几何体是用6个大小相同的小正方体堆砌而成，分别画出从正面、左面、上面看到的形状图． 【答案】 如图所示； 【分析】从正面看的形状图有3列，每列小正方形的个数分别为1，1，2；从左面看的形状图有2列，每列小正方形的个数分别为2，1；从上面看的形状图有3列，每列小正方形的个数分别为2，1，2，由此作图即可． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥； （2） （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）略 【压轴素养题型】 【题型8】三视图几何体最值与改造探究 1.核心知识点   三视图不变性原理；组合几何体增减方块的约束条件；空间优化推理素养。 2.解题方法技巧   ①锁定固定不变的视图，明确方块增减限制区域；   ②在不改变视图轮廓的前提下，计算最多增减方块数量；   ③验证改造后几何体的三视图，确保完全一致。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：从图可得，，； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图，画出立体几何图形 ∴几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． （3）略． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1) 该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： (2)． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1) 如图所示 (2)①； 【详解】（1） 略 （2）解：当去掉一个小正方体①时，剩余部分从上面看到的形状没有改变． 保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，可在第一层的前面第一行添加2个小正方体． 【变式题8-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)将该几何体补全成为一个正方体至少需要添加_______个小立方块；补后的大正方体中包含_______个正方体； (3)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体的表面积是_______；该几何体的体积是底面积为，高为3的圆锥体体积的_______倍； (4)不改变从左面看到的形状图最多可添加_______个小立方块：既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加_______个小立方块． 【答案】(1) 解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， (2)20； (3)252； (4)无数；2 【分析】此题考查从不同方向看几何体，圆锥的体积； （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）正方体的个数减去原有个数即可求解； （3）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积，再计算该几何体的体积与圆锥的体积，即可求解． （4）根据从左面看到的图形不变求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 补全成一个正方体至少需要添加20个小立方块，补后的大正方体中包含27个正方体； 故答案为：20；27； （3）该几何体的表面积是， 该几何体的体积是， 底面积为，高为3的圆锥体体积为：， ， 该几何体的体积是底面积为27，高为3的圆锥体体积的倍； 故答案为：252；； （4）可以在L型四个方块右边在不改变左面看到的形状的时候最多可添加无数个小立方块． 既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加个小立方块； 故答案为：无数；． 【题型9】立体折叠几何计算应用题 1.核心知识点   长方体、正方体展开折叠的边长关系；立体图形棱长、表面积、容积计算；实际应用建模。 2.解题方法技巧   ①根据展开图边长，对应折叠后立体图形的长宽高；   ②套用长方体、正方体周长、面积、体积公式计算；   ③结合实际场景，取舍有效数据，规避无效计算。 【例题9】.（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【答案】任务1：长方体包装盒的容积为；任务2：容积变大；任务3：红红的方案节省材料 【分析】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积． 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：任务1，长方体包装盒的容积为， 任务2，容积变大； 理由：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴圆柱形包装盒的容积为：， ∵， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为， 则包装盒的表面积为：， 图2中的阴影部分面积为， 包装盒的表面积为：， ， ∴红红的方案节省材料． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2) 如图，有两种情况： (3) 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图形回答即可； （2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况； （3）根据题意求出这个长方体的高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：由图1可知，未剪开的棱还有4条，所以剪开的棱有（条）， 故答案为：8； （2）略 （3）解：这个长方体的高为， 所以体积为， 答：这个长方体纸盒的体积为． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·福建福州·期末）数学活动制作纸魔方 (1)观察图1中的展开图，想象折叠后得到的立体图形的形状．在黑色和白色卡纸上，按照图1中标注的尺寸绘制展开图，并制作成立体图形． ①该立体图形是三棱__________；（填“柱”或“锥”） ②该立体图形的表面积是多少？（不考虑接缝处部分） (2)按照图2的方式，将4个这种立体图形按黑白相邻用透明胶带“连接”在一起，连接处可以转动，这样就得到一个纸魔方．规定从物体的正上方往下看，所得到的图形，叫做这个物体的俯视图，图3就是从上方看纸魔方的俯视图，从侧面按压纸魔方A、B处，使它们碰在一起，想象它能变成什么形状．在虚框处画出变形后纸魔方的俯视图，并涂上黑白色； (3)用透明胶带将小组成员制作的4个纸魔方连接起来，俯视图轮廓如图4这样（未完成），请思考纸魔方的拼接方法，补充完成俯视图，并涂上黑白色． 【答案】(1)①柱；②； (2) 解：答案不唯一，正方形可以绕A（B）转动，是两个正方形一角有共点，黑白相间， (3) 解：俯视图如图所示， 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）由图形得，该立体图形是三棱柱，再计算立体图形的表面积即可； （2）画出从上面看到的图形即可； （3）画出从上面看到的图形即可． 【详解】（1）解：①由图形得，该立体图形是三棱柱， 故答案为：柱； ②． 答：该立体图形的表面积是； （2）略 （3）略 易错点 1、混淆正方体展开图禁忌模型，误将田字形、凹字形图形判定为合规展开图。 2、无法准确区分正方体相对面与相邻面，折叠后出现面位置对应错误。 3、对截面规律理解片面，误认为正方体、棱柱可截出任意多边形，记错截面边数极值。 4、绘制三视图时，多画、漏画正方形，混淆主视图、左视图、俯视图的观察视角。 5、双视图求小立方块数量时，忽略最值分类讨论，只计算单一数值导致答案不完整。 6、混淆曲面几何体的截面形状，错判圆柱、圆锥倾斜截切后的图形形态。 重点 1、熟练掌握正方体11种展开图及禁忌模型，精准完成展开图识别、折叠还原。 2、掌握相对面判定方法，解决正方体文字、数字、图案对应类题型。 3、熟记常见几何体的截面形状与变化规律，能双向判定几何体与截面。 4、掌握三视图绘制规则与还原方法，能准确识别、绘制三视图，计算组合体方块数量。 5、掌握n棱柱截面边数通用规律，完成规律探究与数值计算。 难点 1、空间想象能力：动态截切几何体、多角度折叠图形的形态分析与推理。 2、双视图限定下，几何体小立方块最大值、最小值分类讨论，精准取值。 3、创新探究题型建模，结合生活、跨学科情境，将实际问题转化为立体几何图形问题。 4、立体折叠结合边长、表面积、容积的综合计算应用，实现几何图形与代数计算结合。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：可以作为三棱柱的展开图的是． 2．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，寻找数字2的对立面即可找到答案． 【详解】由图可得，这是一个长方体的展开图，3的对立面是5，4的对立面是1，2的对立面是6，所以选D． 3．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 二、填空题 4．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 【答案】 【分析】由上面看确定底面小正方体的位置分布，由正面看确定每一列的最大高度，结合两者分析最少和最多的小正方体数量． 【详解】解：从上面看，该立体图形最底层有个小正方体，分别位于左列的前、后位置和右列的后位置， 从正面看，该立体图形左侧一列最高层数为，右侧一列最高层数为， ∵右侧一列在上面看中只有一个位置 ， ∴右侧位置的小正方体个数固定为， ∵左侧一列在上面看中有前、后两个位置，且从正面看显示最高为层， ∴左侧前、后两个位置中至少有一个位置的高度为层， 当左侧两个位置中一个高度为，另一个高度为时，小正方体数量最少，总数为个， 当左侧两个位置高度均为时，小正方体数量最多，总数为个． 5．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 6．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 【答案】或 【分析】由于题目未说明是绕长方形的长还是宽旋转，所以需要分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当绕长为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径，高， 根据圆柱体积公式得： ； 当绕宽为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径 ，高， 根据圆柱体积公式得： ， 因此所得圆柱体的体积为或． 三、解答题 7．折一折，连一连． 【答案】 【分析】第二个展开图，骑自行的选手与打网球的选手是面对面的，而第三个展开图的骑自行的选手与打网球的选手是背对背的，即第二个展开图对应下方中间的图，第三个展开图对应下方第一个图， 【详解】略 8．根据要求完成下面问题： (1)将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． (2)请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 【答案】(1) (2)答案不唯一，合理即可． 【分析】本题是一道有关正方体的展开图的题，结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】（1）略 （2）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请画出它的展开图． 解： 9．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，解题的关键是熟练掌握基本知识以及运用空间想象能力． （1）由题意直接画出图形即可； （2）由题意根据从左面和上面看到的图形进行分析解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以在右前方第二层再添加1个正方体． 故答案为：1． 10．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】(1)② (2)①2000，②1000 (3)70cm， 该展开图的最大外围周长如图所示： 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、长方体的体积计算及长方体表面展开图的外周长计算． （1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据正方体的表面展开图得出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； ②根据折叠的方法求出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； （3）画出它的表面展开图，尽可能沿着棱长为的棱剪开，棱长为的棱不剪开． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②． （2）解：①按照图1的方式折叠可得到底是边长为的正方形，高为的长方体，即底面边长为，高为， ∴体积为， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为，宽为，高为的长方体， ∴体积为， 故答案为：1000． （3）解：将一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形， ∴最大周长为， 即这个展开图的最大周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 从立体图形到平面图形 知识点1：几何体的展开与折叠   1. 核心定义：将立体图形的表面沿棱剪开，平铺成平面图形的过程为展开；将平面图形沿边折叠还原成立体图形的过程为折叠，二者互为逆过程。   2. 正方体11种标准展开图分类：分为一四一型（6种）、二三一型（3种）、二二二型（1种）、三三型（1种），是考试核心考点。   3. 正方体展开图禁忌模型：出现“田字形”“凹字形”、一线超过四个正方形的图形，均无法折叠成完整正方体。   4. 正方体相对面判定口诀：相间、“Z”端是对面；间二、拐角邻面知，可快速区分相对面与相邻面。   5. 常见柱体、锥体展开特征：圆柱展开为两个全等圆形+一个长方形；圆锥展开为一个圆形+一个扇形；棱柱展开为两个全等多边形+若干长方形。 知识点2：几何体的截面   1. 截面定义：用一个平面去截立体图形，截出的封闭平面图形叫做截面，截面形状由几何体形状、截切角度与方向共同决定。   2. 常见几何体截面规律：球体任意截切，截面恒为圆形；正方体可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出七边形及以上图形。   3. 棱柱截面通用规律：n棱柱最多可截得n+2边形，截面边数取值范围为3≤边数≤n+2。   4. 圆柱、圆锥截面特征：圆柱可截出圆、长方形、椭圆；圆锥可截出圆、等腰三角形、椭圆、拱形曲面图形。 知识点3：从三个方向观察几何体   1. 三视图定义：数学中固定从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的平面图形，统称为几何体的三视图。   2. 三视图对应规律：主视图反映几何体的列数与层数；左视图反映几何体的行数与层数；俯视图反映几何体的行数与列数。   3. 组合体三视图绘制规则：仅绘制可见轮廓，轮廓为实线；根据小立方块分布，对应位置绘制正方形，无空缺、无多余图形。 知识点4：由三视图还原几何体   1. 还原核心思路：以俯视图为基底确定底层布局，结合主视图、左视图确定每一处位置的小立方块层数。   2. 数量取值规律：仅已知两个视图时，几何体小立方块数量存在最大值与最小值，需分类讨论求解。   3. 几何体不变性原则：固定俯视图与左视图/主视图，可在不改变三视图的前提下，增减部分小立方块。 【基础必考题型】 【题型1】正方体展开图识别判定 1.核心知识点   正方体11种标准展开图类型；田字形、凹字形等禁忌模型；正方体展开图基础特征。 2.解题方法技巧   ①优先用排除法，直接剔除含田字、凹字、一线超四的图形；   ②对照四类标准展开图，快速匹配合规图形；   ③无把握时通过空间折叠模拟，验证能否围成封闭正方体。 【例题1】.（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·河南驻马店·三模）如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型2】常见几何体展开图匹配 1.核心知识点   圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图结构；平面图形与立体图形的对应关系。 2.解题方法技巧   ①根据侧面形状（曲面/平面）区分柱体、锥体；   ②通过底面图形边数、形状，精准匹配棱柱、圆锥、圆柱；   ③牢记特殊模型：圆锥侧面为扇形、圆柱侧面为长方形。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折． (1) (2) 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？先想一想，再折一折． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形中哪一个是四棱柱的侧面展开图？ 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【题型3】正方体展开图相对面判断 1.核心知识点   正方体相对面、相邻面判定规则；相间、Z端对面判定口诀；立体与平面图形面的对应关系。 2.解题方法技巧   ①同行隔一个、同列隔一个为相对面；   ②Z字形两端的面为相对面，拐角相邻为邻面；   ③相邻面绝对不可能为相对面，可快速排除错误选项。 【例题3】.（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将正方体的表面分别标上数字0、1、2、3、4、5，使任两个相对面的数字之和为5，展开后能形成下面的平面图形吗？ （1）   （2） 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的表面展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置． 【题型4】基础几何体截面形状判断 1.核心知识点   正方体、圆柱、圆锥、球体的基础截面特征；截切角度对截面形状的影响。 2.解题方法技巧   ①球体截面恒为圆，可直接快速判定；   ②平行底面截柱体、锥体，截面与底面形状相同；   ③倾斜截切曲面几何体，截面多为椭圆、拱形等特殊图形。 【例题4】.（26-27七年级上·全国·课后作业）图中各几何体的截面分别是什么形状？ 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用一个平面去截如图所示的三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·三模）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【题型5】单一方向视图识别 1.核心知识点   三视图的定义；简单几何体、组合体的单方向平面视图特征。 2.解题方法技巧   ①固定观察视角，只保留可见正方形轮廓；   ②数清行列方块数量，匹配视图形状；   ③区分曲面与平面几何体的视图差异，规避视觉误区。 【例题5】.（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A．B． C． D． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用5个大小相同的小立方块分别搭成如图所示的几何体．请你用自己的方式描述一下每个几何体的具体形状． (1) (2) (3) 【培优高频题型】 【题型6】n棱柱截面边数规律探究 1.核心知识点   n棱柱面数与截面最大边数的数量关系；几何规律归纳推理；截面截切极限原理。 2.解题方法技巧   ①牢记核心规律：n棱柱最多截得n+2边形；   ②截面最少边数恒为3，结合题意确定取值范围；   ③通过具体棱柱实例验证规律，避免公式误用。 【例题6】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用一个平面截一个几何体得到的截面是长方形，则这个几何体可能是_________（只写一个） 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型7】三视图综合绘制与辨析 1.核心知识点   三视图行列层数对应关系；小立方块组合体三视图绘制方法；视图正误辨析。 2.解题方法技巧   ①俯视图定行列，主视图定列高，左视图定行高；   ②按位置逐一绘制方块，不遗漏、不冗余；   ③对比轮廓、层数、位置，快速辨析错误视图。 【例题7】.（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． 从正面看该几何体，看到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面看和从上面看该几何体看到的形状图；（画出的图需涂上阴影或斜线） 【变式题7-2】.（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）如图所示的几何体是用6个大小相同的小正方体堆砌而成，分别画出从正面、左面、上面看到的形状图． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【压轴素养题型】 【题型8】三视图几何体最值与改造探究 1.核心知识点   三视图不变性原理；组合几何体增减方块的约束条件；空间优化推理素养。 2.解题方法技巧   ①锁定固定不变的视图，明确方块增减限制区域；   ②在不改变视图轮廓的前提下，计算最多增减方块数量；   ③验证改造后几何体的三视图，确保完全一致。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【变式题8-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)将该几何体补全成为一个正方体至少需要添加_______个小立方块；补后的大正方体中包含_______个正方体； (3)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体的表面积是_______；该几何体的体积是底面积为，高为3的圆锥体体积的_______倍； (4)不改变从左面看到的形状图最多可添加_______个小立方块：既不改变从左面看到的形状图，又不改变从正面看到的形状图最多可添加_______个小立方块． 【题型9】立体折叠几何计算应用题 1.核心知识点   长方体、正方体展开折叠的边长关系；立体图形棱长、表面积、容积计算；实际应用建模。 2.解题方法技巧   ①根据展开图边长，对应折叠后立体图形的长宽高；   ②套用长方体、正方体周长、面积、体积公式计算；   ③结合实际场景，取舍有效数据，规避无效计算。 【例题9】.（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·福建福州·期末）数学活动制作纸魔方 (1)观察图1中的展开图，想象折叠后得到的立体图形的形状．在黑色和白色卡纸上，按照图1中标注的尺寸绘制展开图，并制作成立体图形． ①该立体图形是三棱__________；（填“柱”或“锥”） ②该立体图形的表面积是多少？（不考虑接缝处部分） (2)按照图2的方式，将4个这种立体图形按黑白相邻用透明胶带“连接”在一起，连接处可以转动，这样就得到一个纸魔方．规定从物体的正上方往下看，所得到的图形，叫做这个物体的俯视图，图3就是从上方看纸魔方的俯视图，从侧面按压纸魔方A、B处，使它们碰在一起，想象它能变成什么形状．在虚框处画出变形后纸魔方的俯视图，并涂上黑白色； (3)用透明胶带将小组成员制作的4个纸魔方连接起来，俯视图轮廓如图4这样（未完成），请思考纸魔方的拼接方法，补充完成俯视图，并涂上黑白色． 易错点 1、混淆正方体展开图禁忌模型，误将田字形、凹字形图形判定为合规展开图。 2、无法准确区分正方体相对面与相邻面，折叠后出现面位置对应错误。 3、对截面规律理解片面，误认为正方体、棱柱可截出任意多边形，记错截面边数极值。 4、绘制三视图时，多画、漏画正方形，混淆主视图、左视图、俯视图的观察视角。 5、双视图求小立方块数量时，忽略最值分类讨论，只计算单一数值导致答案不完整。 6、混淆曲面几何体的截面形状，错判圆柱、圆锥倾斜截切后的图形形态。 重点 1、熟练掌握正方体11种展开图及禁忌模型，精准完成展开图识别、折叠还原。 2、掌握相对面判定方法，解决正方体文字、数字、图案对应类题型。 3、熟记常见几何体的截面形状与变化规律，能双向判定几何体与截面。 4、掌握三视图绘制规则与还原方法，能准确识别、绘制三视图，计算组合体方块数量。 5、掌握n棱柱截面边数通用规律，完成规律探究与数值计算。 难点 1、空间想象能力：动态截切几何体、多角度折叠图形的形态分析与推理。 2、双视图限定下，几何体小立方块最大值、最小值分类讨论，精准取值。 3、创新探究题型建模，结合生活、跨学科情境，将实际问题转化为立体几何图形问题。 4、立体折叠结合边长、表面积、容积的综合计算应用，实现几何图形与代数计算结合。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 3．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 5．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 6．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 三、解答题 7．折一折，连一连． 8．根据要求完成下面问题： (1)将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． (2)请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 9．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 10．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $