专题01 生活中的立体图形重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

该初中数学讲义通过梳理平面图形与立体图形两大知识点，结合框架图呈现立体图形分类、棱柱特征及点线面体关系，构建“概念-分类-性质”的知识脉络，突出几何体构成、平面旋转成体等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如“组合几何体的构成”通过14个正方体涂色问题培养空间观念，提高题型如“平面旋转成体计算”结合圆锥体积公式发展推理意识。自我检测覆盖不同难度，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学。

专题01 生活中的立体图形重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、常见的几何体 1 题型二、组合几何体的构成 2 题型三、立体图形的分类 3 题型四、几何体中的点、棱、面 4 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 5 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形 6 第二部分·练提高题型 题型一、几何体中的点、棱、面综合 1 题型二、平面旋转后所得的立体图形相关计算 2 第三部分・自我检测 知识点01 平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列图形中，属于平面图形的是___________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了认识平面图形和立体图形，熟练掌握平面图形和立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：①角是平面图形，②圆是平面图形，③圆锥是立体图形，④三角形是平面图形． 所有属于平面图形的是①②④． 故答案为：①②④． 知识点02 立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2． 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如果一个直棱柱有七个面，那么它一定是（    ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【分析】直棱柱由上下两个底面和侧面构成，根据直棱柱所有面的数量推得侧面的数量，即可知道答案． 【详解】解：∵直棱柱有七个面 ∴该直棱柱由上下2个面和5侧面构成 ∴它一定是五棱柱 故选：C 【点睛】本题考查棱柱的相关知识，牢记棱柱有关的知识点是解题关键. 2．（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 【答案】①②⑥ 【分析】本题考查了棱柱的定义． 根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱，即可作判断． 【详解】解：如图的图形属于棱柱的是：①②⑥． 故答案为：①②⑥． 【基础题型一 常见的几何体】 【例1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的特征，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据棱柱的特征进行求解． 【详解】解：A、是圆柱，故不符合题意； B、是圆锥，故不符合题意； C、是长方体，故符合题意； D、是四棱锥，故不符合题意； 故选C． 【例2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）观察图中的几何体，分别写出它们的名称．    __________    __________    __________    __________    __________    __________ 【答案】 六棱柱 圆锥 四棱柱 三棱柱 圆柱 四棱锥 【分析】根据立体图形的形状，写出它的名称即可． 【详解】解：它们的名称分别为：六棱柱；圆锥；四棱柱；三棱柱；圆柱；四棱锥， 故答案为：六棱柱；圆锥；四棱柱；三棱柱；圆柱；四棱锥， 【点睛】本题考查立体图形的名称，分为柱体、锥体、球体，也可以按照围成它的面有无曲面进行分类． 1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据图形直接得到答案． 【详解】解：如图的不锈钢漏斗的形状类似于圆锥． 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）①一段烟囱（无烟囱帽）；②一段圆钢；③铅锤；④烟囱帽．①②都呈________的形状；③④都呈________的形状． 【答案】 圆柱 圆锥 【详解】联系生活实际，结合几何体的概念，可知①②都承圆柱的形状，③④都呈圆锥的形状. 故答案为圆柱，圆锥. 点睛：此题主要考查了立体图形的认识，解题关键是联系生活实际，多留心生活中的事物，这类题就很容易解答． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 【答案】 解：如图所示： 【分析】本题主要考查了认识立体图形和对同学们从实物中抽象出立体图形的能力的考查，解决本题的关键是熟练掌握长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点． 根据长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点，从实物中抽象出立体图形进行连线即可． 【详解】略 【基础题型二 组合几何体的构成】 【例1】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【答案】A 【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案． 【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米， 最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米， 总面积为（平方分米）， 中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， 最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， （平方分米）， 被涂上颜色的部分面积为33平方分米． 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键． 【例2】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 【答案】9 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点睛】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 1．（24-25七年级上·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 2．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】 由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：略． 【基础题型三 立体图形的分类】 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的分类，掌握几何体分为柱体、锥体、球体是解题的关键． 根据几何体的分类，求解即可． 【详解】 解：A、是六棱柱，C、 是圆柱，D、是三棱柱，B、是球体， ∴A、C、D是柱体，属一类，B是球体不是一类， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、________、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无__________划分； （3）从顶点方面，按有无________划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 2．（25-26七年级上·山东青岛·课后作业）判断如图所示的图形中球体是_________；多面体是__________． 【答案】 【详解】解：没有曲面，是由平面多边形围成的几何体，故均为多面体； 是球体； 带有支架底座，不是纯球体； 含有曲面，也含有平面，是旋转体，不是球体和多面体． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 【基础题型四 几何体中的点、棱、面】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列几何体中，不含平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的认识，根据几何体的意义判断即可，熟练掌握几何体的意义是解题的关键． 【详解】解：正方体的六个面都是平面，圆锥体的底面是平面，圆柱体的上下表面是平面，球的表面是曲面， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的多面体有________个面，________条棱． 【答案】 【分析】本题考查了简单几何体，根据所给几何体能够解答该几何体有几个面构成，几条棱构成，几个顶点构成是解本题的关键． 【详解】解：该多面体有个面，条棱， 故答案为：，． 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）棱长为3英寸的正方体是由27个单位小正方体组成的，其中有21个红色小正方体，6个白色小正方体，若让大正方体的表面尽可能少地出现白色，则大正方体表面积中白色部分占整个正方体表面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】想使大正方体的表面尽可能少的出现白色，可将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱上放2个，剩下1个放在外层，再根据大正方体的表面积54，用1减去红色部分占整个表面积的多少即可求得结果． 【详解】解：根据题意：大正方体的表面尽可能少的出现白色， 将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱的中间放1个，剩下1个放在外层， ∵大正方体的表面积为＝54 ∴红色部分占整个表面积的， ∴白色部分占整个表面积的1． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是21个红色小正方体的摆放问题． 2．（25-26七年级上·海南·期中）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 【基础题型五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了______，把雨看成______，说明______（   ） A．点；面；点动成面 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．面；体；面动成体 【答案】B 【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体． 根据点动成线直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）把笔尖放在纸上划一下，就会出现一条线，用数学知识解释为点动成线．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为__________． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面． 1．（26-27七年级上·北京·课后作业）神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体的关系是解题的关键；因此此题可根据点动成线，线动成面，面动成体可进行求解． 【详解】解：神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线； 故选A． 2．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握四者之间的关系是做题的关键．根据题意，由“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，得出数学原理是点动成线，即可作答． 【详解】解：由题意得，这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【答案】(1)点动成线； (2)线动成面； (3)点动成线； (4)线动成面； (5)面动成体． 【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； （2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； （3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； （4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； （5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体. 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系． 【基础题型六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，将该平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据面动成体解答即可，正确理解知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将该平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是， 故选：． 【例2】（2025·黑龙江大庆·三模）如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的特征和体积公式的综合应用，关键是明确旋转后得到的圆锥的底面半径和高的值．以4的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，且底面半径为3，高为4，然后根据圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形为圆锥， 且底面半径为3，高为4， ∴该圆锥的体积为． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“面动成体”的原理，能够判断常见平面图形旋转后形成的立体图形是解题的关键． 根据“面动成体”的原理，分析各选项平面图形绕直线 旋转后得到的几何体，与题目中的几何体进行对比，选出正确答案． 【详解】解：选项A的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项B的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项C的图形绕直线 旋转得到的是两个底面重合的圆锥组成的几何体，与题目中的几何体一致， 选项D的图形绕直线 旋转得到的是一个球， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体，这个几何体的名称是___________，有___________个平面，___________个曲面． 【答案】 圆柱 2 1 【分析】本题考查面动成体，根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，进而可得出平面和曲面的个数． 【详解】解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， 得到的几何体是圆柱，有2个平面，1个曲面， 故答案为：圆柱，2，1． 3．（25-26七年级上· 陕西西安· 阶段检测）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体； (2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留） 【答案】(1)2 (2)立方厘米 【分析】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用． （1）将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到2种大小不同的几何体． （2）以所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】（1）解：将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到2种大小不同的几何体． 故答案为：2； （2）解：以边为轴： （立方厘米）； 答：以边为轴得到的圆锥的体积是立方厘米． 【提高题型一 几何体中的点、棱、面综合】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点； （2）六棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点； （3）由此猜想棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点． 【答案】 / 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键； （1）结合已知四棱柱特征，即可求解； （2）结合六棱柱的特征，即可求解； （3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点； 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)四，，； (2)棱柱的侧面积是． 【分析】（）根据正棱柱的特点直接进行求解即可； （）根据侧面积底面周长高进行求解即可； 本题主要考查了几何体的认识和几何体的表面积，熟练掌握棱柱的特点及侧面积的求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由正棱柱有条棱可知， 所以当有条棱时，，即为正四棱柱， 因此正四棱柱有个面，个顶点， 故答案为：四，，； （2）由（）得为正四棱柱，则侧面积为， 答：棱柱的侧面积是． 2．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 【答案】 填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                  顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 3．（25-26七年级上·山西晋城·期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)表见解析， (2)五 (3)6 【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 【提高题型二 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是__________立方厘米．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，以它的一条直角边为轴旋转一周得到一个以旋转边为高，另一直角边为底面半径的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答 【详解】解： （立方厘米） 所以：这个立体图形的体积是立方厘米 故答案为： 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥，面动成体 (2)圆锥的体积为或 【分析】（1）根据圆锥的特征，面动成体即可解答； （2）分两种情况进行计算，即可解答． 本题考查了面动成体，圆锥的体积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体； （2）解：①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为； ②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为． 综上所述，圆锥的体积为或． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）分绕和两边中点所在直线旋转一周和绕和两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可； （2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 故形成的几何体的表面积为或； （2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， 得到的几何体的体积． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 【答案】（1）球；面动成体； （2）如图： 【分析】本题考查了点、线、面、体，难度不大，学生应注意培养空间想象能力． （1）根据面动成体这个知识点解答即可； （2）根据三角形绕直线旋转的性质，找出对应的几何体并进行连线即可． 【详解】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”； 故答案为：球；面动成体. （2） 略 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了“平面图形旋转成立体图形”的问题，解决本题的关键是掌握基本平面图形旋转后对应的立体图形，并将复杂平面图形分解为基本图形，通过“分解—分析—组合”的思路推导结果． 要确定平面图形绕直线旋转一周得到的立体图形，需将平面图形分解为基本几何部分（直角三角形和矩形），再依据“面动成体”的原理，分析各部分旋转后形成的立体图形，最后组合判断对应选项． 【详解】解：观察给定平面图形，可将其拆分为上方的矩形和下方的直角三角形两部分， 根据“面动成体”的几何原理：矩形绕其一边所在直线旋转一周，会形成圆柱；直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，会形成圆锥．整体形成的立体图形是“圆柱圆锥”的组合体，且上方为圆柱下方为圆锥． 观察选项，只有选项D符合这一特征． 故选：D． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B 6．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）一个六棱柱有_____条棱，_____个面． 【答案】 18 8 【分析】根据六棱柱的特征解答即可． 【详解】解：一个六棱柱有18条棱，8个面． 故答案为：18，8． 【点睛】本题考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示是一座粮仓，它可以看作是由几何体_______和_______组成的． 【答案】 圆锥 圆柱 【分析】根据常见的几何体的形状可得答案． 【详解】解：一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的． 故答案为圆锥；圆柱． 【点睛】本题考查认识几何体，解题关键是认识常见的几何体，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等． 8．（25-26七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是__________，这其中蕴含的数学事实是__________．    【答案】 圆锥 面动成体 【分析】根据直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，以及面、体之间的关系进行作答即可． 【详解】解：由题意知，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，这其中蕴含的数学事实是面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体． 【点睛】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，面、体之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 9．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 【答案】 ②③④ ①⑤⑥ ①③⑤ ④⑥ ② 【分析】(1)根据曲面和没有曲面的特征进行求解即可； (2)根据柱体，锥体和球体的定义进行求解即可． 【详解】(1)按有无曲面分类：有曲面的是②③④，没有曲面的是①⑤⑥， 故答案为：②③④；①⑤⑥； (2)按柱体，锥体，球体分类：柱体的是①③⑤，锥体的是④⑥，球体的是②． 故答案为：①③⑤；④⑥；②． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类的有关知识．正确把握相关定义是解题关键． 10．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是______ 厘米，表面积是______ 平方厘米，体积是______ 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有______ 个 【答案】 36 54 27 8 【分析】本题考查正方体的表面积及体积，熟知正方体的表面积和体积公式及涂色时小正方体的各面涂色情况是解题的关键． （1）根据正方体有12条棱，正方体的表面积和体积公式即可解决问题． （2）分析出三个面涂色的小正方体的位置即可解决问题． 【详解】因为正方体有12条棱，且大正方体的棱长是3厘米， 所以这个大正方体的棱长总和是：厘米． 又正方体的六个面是相同的正方形， 所以正方体的表面积是：平方厘米． 又正方体的体积是棱长的立方， 所以正方体的体积是：立方厘米． 故答案为：36，54，27． （2）由给大正方体的表面涂上颜色可知， 小正方体最多有三个面涂有颜色，且这些小正方体在大正方体顶点的位置， 所以三个面涂色的小正方体有8个． 故答案为：8． 11．（25-26七年级上·全国·课堂例题）如图所示的立体图形的表面中分别包含哪些平面图形？分别指出这些平面图形在立体图形中的位置． 【答案】 （1）包含的平面图形有三角形、四边形，其中三角形位于四棱锥的侧面，四边形位于四棱锥的底面． （2）包含的平面图形有圆，圆位于圆柱的上、下底面． （3）包含的平面图形有四边形、六边形，其中四边形位于六棱柱的侧面，六边形位于六棱柱的上、下底面． 【分析】根据立体图形的侧面和底面的形状即可得到答案． 【详解】解：略． 【点睛】此题考查了常见立体图形的侧面和底面，熟练掌握常见立体图形的特征是解题的关键． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可. 【详解】解：都不正确. 若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体. 若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法. 13．（25-26七年级上·江苏·单元测试）十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支 “拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的带、瓶 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 【答案】 解：如图所示： 或 【分析】根据题意用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查了数学常识，关键是根据题意要求连线． 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，有一个长、宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是___________ (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积较大． 【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一 【分析】本题考查了面动成体，圆柱的体积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出两个方案所得几何体的体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述操作能形成的几何体是圆柱体，说明的事实是面动成体； 故答案为：圆柱体，面动成体； （2）解：方案一得到的几何体的体积为：， 方案二得到的几何体的体积为：， ， 方案一得到的几何体的体积较大． 15．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12 (2) 【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形； （1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可； （2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式； 【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数； ②正六面体的顶点数，面数，棱数； ③正八面体的顶点数，面数，棱数； 故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12； （2）根据（1）中数据可得： ① ② ③ 故v，f，e之间的数量关系是： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 生活中的立体图形重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、常见的几何体 1 题型二、组合几何体的构成 2 题型三、立体图形的分类 3 题型四、几何体中的点、棱、面 4 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 5 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形 6 第二部分·练提高题型 题型一、几何体中的点、棱、面综合 1 题型二、平面旋转后所得的立体图形相关计算 2 第三部分・自我检测 知识点01 平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列图形中，属于平面图形的是___________．（填序号） 知识点02 立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2． 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如果一个直棱柱有七个面，那么它一定是（    ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 2．（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 【基础题型一 常见的几何体】 【例1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）观察图中的几何体，分别写出它们的名称．    __________    __________    __________    __________    __________    __________ 1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）①一段烟囱（无烟囱帽）；②一段圆钢；③铅锤；④烟囱帽．①②都呈________的形状；③④都呈________的形状． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 【基础题型二 组合几何体的构成】 【例1】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【例2】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 1．（24-25七年级上·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 2．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【基础题型三 立体图形的分类】 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、________、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无__________划分； （3）从顶点方面，按有无________划分． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26七年级上·山东青岛·课后作业）判断如图所示的图形中球体是_________；多面体是__________． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【基础题型四 几何体中的点、棱、面】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列几何体中，不含平面的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的多面体有________个面，________条棱． 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）棱长为3英寸的正方体是由27个单位小正方体组成的，其中有21个红色小正方体，6个白色小正方体，若让大正方体的表面尽可能少地出现白色，则大正方体表面积中白色部分占整个正方体表面积的（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·海南·期中）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【基础题型五 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了______，把雨看成______，说明______（   ） A．点；面；点动成面 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．面；体；面动成体 【例2】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）把笔尖放在纸上划一下，就会出现一条线，用数学知识解释为点动成线．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为__________． 1．（26-27七年级上·北京·课后作业）神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 2．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【基础题型六 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，将该平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·黑龙江大庆·三模）如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体，这个几何体的名称是___________，有___________个平面，___________个曲面． 3．（25-26七年级上· 陕西西安· 阶段检测）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体； (2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留） 【提高题型一 几何体中的点、棱、面综合】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点； （2）六棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点； （3）由此猜想棱柱有 ___________个面，___________条棱，___________个顶点． 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 2．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 3．（25-26七年级上·山西晋城·期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【提高题型二 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是__________立方厘米．    【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 体，用数学知识可解释为“__________”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 6．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）一个六棱柱有_____条棱，_____个面． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示是一座粮仓，它可以看作是由几何体_______和_______组成的． 8．（25-26七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是__________，这其中蕴含的数学事实是__________．    9．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 10．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是______ 厘米，表面积是______ 平方厘米，体积是______ 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有______ 个 11．（25-26七年级上·全国·课堂例题）如图所示的立体图形的表面中分别包含哪些平面图形？分别指出这些平面图形在立体图形中的位置． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 13．（25-26七年级上·江苏·单元测试）十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支 “拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的带、瓶 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，有一个长、宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是___________ (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积较大． 15．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 学科网（北京）股份有限公司 $