4.1 投影 新课预习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦投影概念与应用，通过基础辨析、情境应用、综合实践三层设计，构建从概念理解到问题解决的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行投影/中心投影概念、简单影长计算|以选择4（中心投影辨析）、填空11（日晷投影类型）为主，强化概念理解与空间观念| |中档层|影长比例计算、相似三角形应用|以选择2（标杆影长计算）、填空12（平行投影比例）为主，突出数学推理与运算能力| |提升层|综合情境问题、测量方案设计|以解答18（革命亭高度测量）、20（建筑物高度误差分析）为主，培养模型意识与应用能力|

· 4.1 投影 新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A. B. C. D. 2．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，测得长为米的标杆，其影子长度为米，并测得旗杆的影子长度为6米，则旗杆的高度为（ ） A. 3米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 3．某校数学小组在测量校园内一颗古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ） A. 9米 B. 9.2米 C. 9.5米 D. 11米 4．下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子 C. 阳光下窗框的影子 D. 探照灯下物体的影子 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 6．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（ ） A. 2米 B. 1.5米 C. 3米 D. 2.5米 7．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 8．在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（ ） A. B. C. D. 9．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10．下列说法错误的是（ ） A. 若线段，，则 B. 若A，B两地在地图上的距离为，比例尺为，则两地实际距离为 C. 若线段，C是的黄金分割点，且，则 D. 在平坦的空地立一根木杆，从上午到中午木杆的影长变化是从长变短 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 12．如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 13．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 14．如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 15．如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 三、解答题（共5小题，满分75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． （1）画出木杆在轴上的投影； （2）求出其投影的长． 17. 【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 18. 革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 19. 在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． （1）若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． （2）在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 20. 由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第1页（共6页） ◎ 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C D B D A D B 11. 平行 12. 13. 10 14. 15. 丙 16．【答案】 （1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）连接，并延长分别交x轴于点C，D即为所求； （2）如图，过作轴于，交于，证明出，得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，投影即为所求； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于，交于， ． ， ， ， ， ， ． 17．【答案】 （1）平行投影 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【小问1详解】 解：太阳光下形成的投影属于平行投影； 【小问2详解】 解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影： 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 18．【答案】 【解析】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 19．【答案】 （1） （2）3m 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，建立等量关系即可求解； （2）先证，，根据相似三角形的性质建立等量关系即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，掌握平行投影是解题关键． 【小问1详解】 解：,, ， , , , 则， ， 故答案为：． 【小问2详解】 即为所求． ，，， ，，， ，， 又， ， 设， 则， 解得， 由（1）得， ， 假山的高度为． 故答案为：． 20．【答案】 任务1：小明的说法正确，理由见解析；任务2：建筑物的高是；任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 答案第4页（共5页） 答案第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $