4.1投影 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上§4.1投影同步练，通过三级分层设计（基础概念→关联应用→综合建模），覆盖投影类型、正投影性质及实际测量，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|投影概念与正投影性质|选择填空为主，如判断正投影形状、区分平行与中心投影| |提升层|投影关联应用|结合位似与比例，如影子长度计算、投影周长比| |综合层|综合实践与建模|作图与测量问题，如确定光源位置、旗杆高度测量，体现推理能力与应用意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §4.1投影 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题3分）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（ ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 5．（本题3分）如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（ ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 6．（本题3分）如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列判断正确的是（  ） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 8．（本题3分）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 10．（本题3分）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（   ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为_____． 12．（本题3分）台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 13．（本题3分）城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 14．（本题3分）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 15．（本题3分）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 17．（本题7分）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（本题8分）地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆．为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为米，身高为米的学生的影长为米．依据这些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)求旗杆的高度． 19．（本题8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 20．（本题8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 21．（本题9分）古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 22．（本题9分）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §4.1投影 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（  ） A． B． C． D． 解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． 2．（本题3分）当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（  ） A． B． C． D． 解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 3．（本题3分）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解:北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，．故选：B 4．（本题3分）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（ ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解：阳光照射形成的投影是平行投影， ∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形．故选：D 5．（本题3分）如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（ ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 解:在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 故选：D 6．（本题3分）如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为，∴， ∴，∴．故选：C 7．（本题3分）下列判断正确的是（  ） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，错误； B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，错误； C、∵， ∴， ∵，∴，∴点在第二象限， ∴点关于轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确；故选：C D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，错误． 8．（本题3分）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（  ） A． B． C． D． 解：A选项，圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意； B选项，竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意； C选项，球体的截面是圆，不符合题意； D选项，三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ．故选：B 9．（本题3分）一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 解：∵太阳光是平行投影，长方形卡纸的两组对边互相平行， ∴平行直线在平行投影下得到的投影仍然互相平行， 因此长方形影子的两组对边依然分别平行，影子一定是对边平行的平行四边形，矩形，正方形都是特殊的平行四边形，都可以形成， 梯形只有一组对边平行，不可能满足两组对边分别平行的特点，因此不可能得到梯形的影子．故选：A 10．（本题3分）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（   ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形．故选：D 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 12．（本题3分）台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 解：∵台灯的灯光是从点光源发出的光线，而由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影， ∴台灯照射书本所形成的影子属于中心投影． 13．（本题3分）城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 解：在投影的分类中，由点光源发出的光线所形成的投影称为中心投影，台灯属于点光源，其光线是从同一点发出的，因此架花在台灯下的影子为中心投影． 故答案为：中心． 14．（本题3分）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 15．（本题3分）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 解:如图，点即为所求，线段即为所求． 17．（本题7分）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） （1）画出三视图，如图所示： （2）由题意，作图如下： 18．（本题8分）地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆．为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为米，身高为米的学生的影长为米．依据这些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)求旗杆的高度． （1）解：该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的，故答案为：平行． （2）解：设旗杆的高度为x米， 根据题意可得，解得：米， 故旗杆的高度为米． 19．（本题8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． (1)如图． (2) （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 20．（本题8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． (1)解：所求图形，如图所示； (2) （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 21．（本题9分）古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 22．（本题9分）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； （2）如图所示，即为所作； （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $