1.2 空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“例题引领+基础夯实”分层设计，通过正方体、平行六面体等情境，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|空间向量基底表示、夹角与长度计算|3道例题均结合几何体情境，从证明到计算，渗透模型观念| |基础夯实|基底判定、线性运算、异面直线夹角等单一知识点|选择填空聚焦概念辨析，解答题衔接例题，强化运算能力|

1.2　空间向量基本定理 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点G在棱上，且.    (1)证明：； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设，则构成空间的一个正交基底，分别表示出、，应用向量数量积的运算律求，即可证结论； （2）由（1）基底表示出，应用数量积的运算律求得、，再由向量夹角公式求与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，则构成空间的一个正交基底. 所以，， 所以，故. （2）由，则，； 由，则，， ∴， 即与所成角的余弦值为. 【例2】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 【例3】如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【详解】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 【基础夯实】 一、单选题 1．在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 2．棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 【答案】C 【分析】结合空间向量的数量积判断即可. 【详解】因为， 所以. 所以，即. 所以直线AB与CD垂直. 故选：C.    3．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 5．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 6．空间四边形ABCD的对角线，，M，N分别为AB，CD的中点，，则异面直线AC和BD所成的角等于（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】取BC的中点P，连接MP，NP，故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角，利用余弦定理可求其大小. 【详解】 取BC的中点P，连接MP，NP，则且， 且． 故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角. 由余弦定理可知，， 而为三角形内角，故，故异面直线AC和BD所成的角为． 故选：B． 二、多选题 7．已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（   ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 【答案】BC 【分析】利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，， ∴，A选项错误； 对于B选项，因为空间向量,,都是单位向量，且两两垂直， 则、、均为非零向量， ∵，，， 所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，， ，同理可得， 所以，， ∵，则，D选项错误. 故选：BC. 8．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是（    ）    A． B． C．的长为 D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据空间向量基本定理进行求解；C选项，表达出，平方后由空间向量数量积公式得到，得到模长；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，A正确， B选项，，B错误： C选项，， 则 ， 则，C错误： D选项，对于， ， 故，又， 则，D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 11．在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 12．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1, 由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案; (2) 设异面直线与所成角为,将用基底，，表示,代入公式计算得出答案. 【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则 (1) . (2)由(1) ，又. 又.设异面直线与所成角为, 则 . 故答案为: ; 【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用,考查了向量加法、减法和数量积的运算以及向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 四、解答题 13．在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点G在棱上，且.    (1)证明：；(2)求与所成角的余弦值. 【例2】如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示；(2)求的值. 【例3】如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【基础夯实】 一、单选题 1．在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 3．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．空间四边形ABCD的对角线，，M，N分别为AB，CD的中点，，则异面直线AC和BD所成的角等于（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 二、多选题 7．已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（   ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 8．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是（    ）    A． B． C．的长为 D． 三、填空题 10．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 11．在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 12．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题 13．在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $