滚动习题(一) [范围1.1～1.2] (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练以空间向量为核心，通过基础概念辨析、运算应用到综合探究的三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，培养数学空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量基本概念（零向量、基底等）|单选题1-2直接考查定义辨析，强化概念理解| |中档|向量运算与简单应用（共线、数量积）|多选题7-8结合几何体判断向量关系，填空题9-11训练运算技能| |提升|综合应用（三点共线、四点共面、空间距离）|解答题12-14依托三棱锥、平行六面体等模型，培养逻辑推理与模型观念|

滚动习题(一) 1.D　[解析] 对于A选项,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量,A错误;对于B选项,方向相同且模相等的两个向量是相等向量,B错误;对于C选项,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,C错误;对于D选项,任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,D正确.故选D. 2.C　[解析] =-,=-,=-,=-,所以-=-+=-,故A错误;-=-+=-,故B错误;+++=----=-(+++),故C正确;-=-+=- ,故D错误.故选C. 3.D　[解析] 根据空间向量的线性运算法则,可得=++=++(-)=++.故选D. 4.B　[解析] 由题意得=,所以·=·=×1×1×cos 60°=,故选B. 5.B　[解析] 因为14=8+t+5,所以=++,因为M是平面ABC内一点,所以++=1,解得t=1.故选B. 6.D　[解析] 由题设知=++=-++,故=λ=-λ+λ+λ,故=++=λ-λ-λ+-=(λ-1)+(1-λ)-λ,同理,=(λ-1)+(1-λ)-λ,因为∠APC为直角,所以·=0,故(λ-1)2-2λ(1-λ)=0,即3λ2-4λ+1=0,解得λ=1(舍)或λ=,故选D. 7.ACD　[解析] 对于A,向量ta+2b与向量a+3b共线,若a与b共线,则t∈R,故A中说法错误;对于B,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形AA1B1B为平行四边形,所以=,故B中说法正确;对于C,当e1⊥e2时,e1·e2=0,此时a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2=x1x2+y1y2,当e1与e2不垂直时,e1·e2≠0,此时a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2 =x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2,故C中说法错误;对于D,若x≠0,则a=-b-c,此时a,b,c共面,矛盾,故x=0,同理可得y=0,z=0,故D中说法错误.故选ACD. 8.ACD　[解析] 如图,因为=++,所以=(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×cos 90°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=5,即||=,故A正确;=+=+=+(-)=-++,故B错误;因为·=·=(-)·=·-·=1×1×cos 60°-1×1×cos 60°=0,所以BB1⊥BD,四边形B1BDD1为矩形,其面积S=B1B×BD=1×=,故C正确;=+-,因为+-1=1,所以M,O,O1,B1四点共面,即M在平面B1BDD1内,故D正确.故选ACD. 9.-6　[解析] 由题意知,存在实数λ,使得n=λm,则xa-2yb+2c=λ(a+3b-c)=λa+3λb-λc.又{a,b,c}为空间的一个基底,则解得则xy=-6. 10.5a+b+4c　　[解析] 如图,由题意可知=++=++=a+b+c,且=+=+=a+c,所以2+4=2+4=5a+b+4c. 11.　[解析] 如图,两条异面直线a,b所成的角为θ.∵AA1⊥a,AA1⊥b,∴·=0,·=0.∵=++,∴=(++)2=+++2·+2·+2·,又A1E=AF=1,EF=,AA1=2,<,>=θ或π-θ,∴5=1+4+1±2×1×1×cos θ,解得cos θ=或cos θ=-(舍去). 12.解:(1)因为B,C,D三点共线,所以=λ, 由题可知=-=-a+3b-2c,=-=-3a+(m+1)b+(n-1)c, 所以解得故m=8,n=-5. (2)因为A,B,C,D四点共面,所以=x+y, 则-a+mb+nc=x(2a-b+c)+y(a+2b-c), 所以得3m+5n=3(-x+2y)+5(x-y)=2x+y=-1. 13.解:(1)=+=+=+×(+)=+(+)=a+(b-a+c-a)=(a+b+c). (2)由题意知=(+)=(b-a+c-a)=(b+c-2a),=+=-b+a, 所以·=·(b+c-2a)==×=-. 14.解:(1)证明:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ∵A1E=2EA,BF=2FB1,DG=2GD1 , ∴=,=-,=, 又=,==, ∴=++=+-=+=+=, 又EG,FC1不重合,∴EG∥FC1. (2)由题意可知A1A⊥AD,AB⊥AD,平面ABCD∩平面AA1D1D=AD,∴∠A1AB为二面角A1-AD-B的平面角,即∠A1AB=120°,∴·=2×2×=-2. 连接AC1,AG,∵P是C1G的中点, ∴=(+)=(++++)=++, ∴==+++·+·+· =4+×4+×4+0+×(-2)+0=,则||=,即AP=. 学科网（北京）股份有限公司 $ (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.下列关于空间向量的说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.零向量是任意直线的方向向量 B.方向相同的两个向量是相等向量 C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各结论中正确的是 (　 ) A.-与-是一对相反向量 B.-与-是一对相反向量 C.+++与+++是一对相反向量 D.-与-是一对相反向量 3.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,=2,若点N为棱B1C1的中点,则= (　 ) A.++ B.++ C.++ D.++ 4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1,F,G分别是AD,DC的中点,则·= (　 ) A. B. C. D. 5.[2026·四川南充高级中学高二月考] 在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC内一点,且14=8+t+5,则t= (　 ) A. B.1 C.2 D.3 6.如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1上(不含端点),=λ,当∠APC为直角时,λ的值是 (　 ) A.2 B.1 C. D. 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 7.[2026·重庆万州二中高二月考] 下列说法错误的是 (　 ) A.若向量ta+2b与向量a+3b共线,则t= B.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量相等 C.e1,e2为空间中两个不共线的单位向量,若a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,则a·b=x1x2+y1y2 D.若a,b,c为空间中不共面的三个向量,则存在不全为0的有序实数组(x,y,z),使得xa+yb+zc=0 8.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,AA1=AB=1,∠A1AB=∠A1AD=60°,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,则下列说法正确的是 (　 ) A.AC1= B.=-+ C.四边形B1BDD1的面积为 D.若=+-,则点M在平面B1BDD1内 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 9.已知空间的一个基底为{a,b,c},m=a+3b-c,n=xa-2yb+2c,且满足m∥n,则xy=　　　　.  10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,则2+4用向量a,b,c可表示为　　　　.  11.两条异面直线a,b所成的角为θ,在直线a上取点A1,E,在直线b上取点A,F,使得AA1⊥a,且AA1⊥b.已知A1E=AF=1,EF=,AA1=2,则cos θ=　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)[2026·无锡高二阶段练] 已知a,b,c是空间中不共面的向量,=2a-b+c,=a+2b-c,=-a+mb+nc. (1)若B,C,D三点共线,求m,n的值; (2)若A,B,C,D四点共面,求3m+5n的值. 13.(15分)[2026·山东滕州二中高二月考] 如图,在空间四边形OABC中,D,E分别为BC,OA的中点,点G为△ABC的重心,设=a,=b,=c. (1)试用向量a,b,c表示向量; (2)若OA=OC=2,OB=1,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,求·的值. 14.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在A1A,B1B,D1D上,且A1E=2EA,BF=2FB1,DG=2GD1. (1)求证:EG∥FC1; (2)若底面ABCD和侧面A1ADD1都是正方形,且二面角A1-AD-B的大小为120°,AB=2,P是C1G的中点,求AP的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $